精品解析：山东烟台市龙口市（五四制）2025-2026学年度第二学期期中阶段性测试初三数学试题

2025—2026学年度第二学期期中阶段性测试 初三数学试题 （120分钟） 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4.保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5.请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分） 书写规范 卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列是二次根式的是：（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两种方法均正确 B. 甲方法正确，乙方法错误 C. 甲方法错误，乙方法正确 D. 甲、乙两种方法均错误 5. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 6. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 9. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 方程的解是______． 13. 当时，化简_____． 14. 若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的________段． 15. 若方程的两个实数根为，，则的值为______． 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是______． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 已知对，，求的值． 20. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 21. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 22. 在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：______； （3）若，求的值． 23. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？     24. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中阶段性测试 初三数学试题 （120分钟） 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4.保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5.请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分） 书写规范 卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列是二次根式的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必是非负数成为解题的关键．根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可． 【详解】解：A、无意义，不符合题意； B、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、，a为任意实数，，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的步骤为：把常数项移到等号右边；把二次项系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．用配方法解一元二次方程得到，即可得到答案． 【详解】解∶ ， 用配方法解一元二次方程，配方结果为， 故选：B． 3. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 4. 在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两种方法均正确 B. 甲方法正确，乙方法错误 C. 甲方法错误，乙方法正确 D. 甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 5. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并， ，解得， 故选：C． 6. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则、分式性质、二次根式的性质，运用相关知识对各选项逐一分析判断，找出成立的等式． 【详解】解：Ａ、，故A不成立； B、分式的分子分母无公因式，无法约分得到，故B不成立； C、，当时，，故C不成立； D、∵，∴，∴，故D成立． 故选：D． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 8. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 9. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 10. 把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：由题意，二次根式在实数范围内有意义， 故， 解得； ∵分式有意义， 故， 解得； 因此，的取值范围为且． 故答案为：且． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 13. 当时，化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：要使根式有意义，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的________段． 【答案】② 【解析】 【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可． 【详解】解：由条件可得， ∵， ∴表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的②段． 15. 若方程的两个实数根为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查的是一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 将代入方程可得，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算． 【详解】解：∵为方程的实数根， ∴，即， ∴ ∵方程的两个实数根为，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程． 【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）． ∴． 故答案为：9． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）10 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）原式先化简二次根式，再去括号，最后合并即可； （2）原式先计算括号内的，再进行乘、除法运算，最后进行加减运算即可； （3）原式先根据二次根式的性质化简，再进行除法运算，最后再合并即可； （4）原式分别根据零指数幂、完全平方公式、绝对值和负整数指数幂运算法则化简各项后再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项：， 配方：， 即， 开方： 解得：． 【小问2详解】 解： 移项： 因式分解： 或 解得：． 19. 已知对，，求的值． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 20. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 21. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）每件降价20元 （2） 解：不可能，理由如下： 依题意得： （90-x-50）（20+2x）=2000， 整理得：x2-30x+600=0， Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0， 则原方程无实数解． 则不可能每天盈利2000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去； （2）根据题意列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元． 由题意得： （90-x-50）（20+2x）=1200， 解得：x1=20，x2=10， 为使顾客得到较多的实惠，应取x=20； 答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22. 在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：______； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 故答案为：9； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 23. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？     【答案】（1）这个车棚的长为10米，宽为8米．（2）小路的宽度是1米． 【解析】 【分析】（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，依据题意列方程求解即可； （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，依据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得：x•＝80， 整理得：x2﹣28x+160＝0， 解得：x1＝8，x2＝20． 又∵这堵墙的长度为12米， ∴x＝8， ∴＝10． 答：这个车棚的长为10米，宽为8米． （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形， 依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54， 整理得：m2﹣14m+13＝0， 解得：m1＝1，m2＝13． 当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意； 当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去． 答：小路的宽度是1米． 【点睛】此题考查了一元二次方程与几何图形面积的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键． 24. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $