精品解析：山东临沂市郯城县新村银杏产业开发区初级中学等校2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试题（一）

2026年初中学业水平考试模拟试题（一）数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 为传承中华优秀传统文化，弘扬非物质文化遗产，学校开展非遗剪纸进校园主题实践活动．在老师的指导下，同学们动手创作剪纸作品，在实践中感受传统艺术与数学知识的融合之美．请判断下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A选项：是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数的可能是（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上叶片遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】A、因为 ，所以，则 ，不符合数轴上叶片遮挡点的位置． B、因为，所以，则，符合数轴上叶片遮挡点的位置． C、因为，不符合数轴上叶片遮挡点的位置． D、因为，所以，不符合数轴上叶片遮挡点的位置． 3. 临沂新琅琊以深厚人文底蕴、璀璨夜景与沉浸式演艺，成为临沂文旅新地标，广迎八方来客．据统计，新琅琊景点春节期间接待游客超45万人次．数据“45万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将“45万”转化为，再根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】解：∵ 45万，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数， 将转化为符合要求的形式时，可得，小数点向左移动了位，因此， ∴ 45万用科学记数法表示为． 4. 已知，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并、积的乘方、同底数幂除法等对应法则逐一判断选项即可． 【详解】选项A：与不是同类项，不能合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：根据同底数幂除法法则，，等式成立，D正确． 5. AI模型的出现为我们带来了极大的便利．某数学小组计划从“豆包”“DeepSeek”“千问”“元宝”这四款模型中任选两款使用，若选择每一款的可能性相等，则其中必有一款是“豆包”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题用列举法求古典概型的概率，先找出所有等可能的选法，再找出符合“必有一款是豆包”的选法，代入概率公式计算即可得到结果． 【详解】将“豆包”“DeepSeek”“千问”“元宝”分别记为，，，. ∵从四款模型中任选两款，所有等可能的结果为：，，，，，，共种， 其中必有一款是豆包（即包含）的结果有，，，共种， ∴所求概率． 6. 我国古籍《九章算术》中有一个“禾麦共实”问题，内容为：今有上禾三秉、麦二秉，实共四石二斗；上禾二秉、麦三秉，实共三石七斗．（注：1石斗，）问上禾、麦一秉各实几何？设一秉上禾有斗，一秉麦有y斗，则根据条件所列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵石斗， ∴四石二斗换算为斗是斗，三石七斗换算为斗是斗， 设一秉上禾有斗，一秉麦有斗， 由题意可列方程组为． 7. 如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，以及点的坐标平移方式，进行解答即可． 【详解】解：点B，C两点的坐标分别为，，且，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合． 四边形是平行四边形， ，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合， 点A的坐标为． 8. 如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，证明，求得，再利用圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，下底面半径，上底面半径，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， 由题意得， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴小圆锥的侧面积，大圆锥的侧面积 ， ∴圆台的侧面积为 ． 9. 如图，四边形是的内接四边形，，．则的半径为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据，利用解直角三角形即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，过点O作交于点E， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即的半径为2． 10. 画二次函数的图象时，先列表得到自变量x与函数值y的部分对应值，有下列结论： x … 0 1 … y … 2 m 2 n … ①；②；③若，则一元二次方程有两个不等的实数根；④若，，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由表格易得，，然后可得二次函数表达式为，进而根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由表格可知二次函数图象经过点，则有：该二次函数的对称轴为直线，即，，故①正确； ∴该二次函数表达式为， ∴当时，则有，即，故②错误； 当时，即，则有， ∴当时，即，则根据一元二次方程根的判别式可得：， ∴一元二次方程有两个不等的实数根；故③正确； 当时，则二次函数经过点，代入得：， 解得：， ∴该二次函数的开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，由表及二次函数的增减性可知：或，故④错误； 综上所述：正确的有①③，共2个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于原点对称，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查原点对称的性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标的特点是：横纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，； ∴ ． 12. 因式分解：___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 13. 如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 【答案】 【解析】 【分析】将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解：是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数的图象记为，它与轴的交点为、．将绕点旋转得到，点的对称点为；将绕点旋转得到，点的对称点为；……，按此方法操作，直至得到，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像旋转与坐标规律探究，解题核心是先求出初始交点坐标，再根据旋转 的性质，找出点的坐标规律，进而求解的坐标． 【详解】解：令得 解得，， ， 由旋转的性质可知 由旋转的性质可知 … 依此类推 ． 15. 如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上点D在边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，连接与交于点G，其中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，求出的值，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形，， ∴ 轴， ∴， ∵正方形， ∴设， ∴ ， ∴， ∵点B、F落在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； ∴ ， ∵， ∴ ∴，即， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 16. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂和特殊角的正切值分别计算，再合并加减计算即可； （2）分别求解两个不等式，再取公共部分的解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴此不等式组无解． 17. 在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，得到，则可证明，进而证明四边形是菱形； （2）求出的长，则可由勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 18. 我县某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求m，n的值并把条形统计图补充完整： （2）若该校有1500名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？ （3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议． 【答案】（1），，补全图形见解析 （2）375人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据乒乓球所占的比例和人数可求出抽取的总人数，因此可求得参加篮球的人数，根据摄影的人数可求出的值，再根据扇形图可求得的值； （2）根据书法所占的比例，可求得参加书法活动的学生人数； （3）根据参加活动人数的多少可适当调整课后服务活动项目． 【小问1详解】 解：根据乒乓球所占的比例和人数可得，抽取的人数为（人）， 参加篮球的人数有：（人）， 补全条形统计图如图所示： 参加摄影的人数为10人， ， ； 根据扇形图可得： ； 【小问2详解】 根据统计图可知“书法”所占， （人）， 若该校有1500名学生，估计该校参加“书法”活动的学生有375人； 【小问3详解】 根据条形统计图和扇形统计图可知，参加乒乓球的学生人数是最多的，其次是书法、篮球，参加摄影的学生人数相对来说是较少，最少的是参加足球的学生人数，所以可以适当的增加乒乓球这项课后服务活动项目的开设，减少足球课后服务活动项目的开设，以满足大部分同学的需求． 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 19. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】（1）300，2 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； 【小问2详解】 ∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 20. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，由题意可得，． ． ． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 21. 如图，是的直径，是上一点，过作的切线交的延长线于点，连接、，过作，交于，交于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）由题意易得，则有 ，，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵为的切线， ∴， ∴， 即， ∵是的直径， ∴ 即， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如（1）中解图，在中，， ∴， ∴ ，， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ， ∴， 在 ，， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求的取值范围； （3）当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，一般形式化为顶点式，进行解答，即可． （1）把代入抛物线解析式，把抛物线解析式化为顶点式，即可； （2）根据二次函数的对称性，可得 ，利用，， 可得，即可； （3）根据二次函数的性质，可得抛物线开口向上，对称轴为直线 ，分类讨论：①；②； ，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：当时，则抛物线为：， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为： ， ∵， ∴，是一组对称点， ∴ ， ∵当，， ∴ ， ∴， ∴ 即 【小问3详解】 解：∵ ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ①当时，即时， ∵在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值为， ∴ ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最小值为， ∴ ， 解得：， （舍去） ③当 时，即时， ∵在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即 ， 解得：， 综上所述，的值为． 23. 已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． （1）如图1，若的延长线经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接； ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）①见解析；②等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边以及勾股定理，进行解答即可； （2）①根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质、等边对等角以及三角形的内角和定理，即可得证；②先作交于点，交于点，再根据平行线的判定、三角形的中位线定理，以及全等三角形的判定与性质，进行解答即可． 【小问1详解】 解：为正方形， ，，． 是线段的垂直平分线， ，． 又， ∴， ， ． 又， ， ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ． 【小问2详解】 ①证明：是线段的垂直平分线， ，． 又， ， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ②解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，作交于点，交于点， ∵， ∴点为的中点． 又 ， ∴， ∴易得是的中位线，． ∵，，且， ∴， ∴，即点E为的中点． 又是线段的垂直平分线， ，即点为的中点， 是的中位线， ∴， ， ∴， 同理可证，， ， ∴是等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟试题（一）数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 为传承中华优秀传统文化，弘扬非物质文化遗产，学校开展非遗剪纸进校园主题实践活动．在老师的指导下，同学们动手创作剪纸作品，在实践中感受传统艺术与数学知识的融合之美．请判断下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数的可能是（　　） A. B. C. 0 D. 3. 临沂新琅琊以深厚人文底蕴、璀璨夜景与沉浸式演艺，成为临沂文旅新地标，广迎八方来客．据统计，新琅琊景点春节期间接待游客超45万人次．数据“45万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 已知，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. AI模型的出现为我们带来了极大的便利．某数学小组计划从“豆包”“DeepSeek”“千问”“元宝”这四款模型中任选两款使用，若选择每一款的可能性相等，则其中必有一款是“豆包”的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 我国古籍《九章算术》中有一个“禾麦共实”问题，内容为：今有上禾三秉、麦二秉，实共四石二斗；上禾二秉、麦三秉，实共三石七斗．（注：1石斗，）问上禾、麦一秉各实几何？设一秉上禾有斗，一秉麦有y斗，则根据条件所列方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，，．则的半径为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 10. 画二次函数的图象时，先列表得到自变量x与函数值y的部分对应值，有下列结论： x … 0 1 … y … 2 m 2 n … ①；②；③若，则一元二次方程有两个不等的实数根；④若，，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于原点对称，则___． 12. 因式分解：___． 13. 如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数的图象记为，它与轴的交点为、．将绕点旋转得到，点的对称点为；将绕点旋转得到，点的对称点为；……，按此方法操作，直至得到，则的坐标为______． 15. 如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上点D在边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，连接与交于点G，其中点，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 16. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组． 17. 在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求菱形的面积． 18. 我县某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求m，n的值并把条形统计图补充完整： （2）若该校有1500名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？ （3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议． 19. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 20. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 21. 如图，是的直径，是上一点，过作的切线交的延长线于点，连接、，过作，交于，交于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求的取值范围； （3）当时，二次函数的最小值为，求的值． 23. 已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． （1）如图1，若的延长线经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接； ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，，若，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $