精品解析：山东省日照市五莲县2025-2026学年九年级下学期期中数学试题

2025～2026学年度下学期期中学科学业水平监测 九年级数学试题 （满分120分, 时间120分钟） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4.第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域,不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题　30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 俯视图是从物体正上方观察得到的平面图形，只需确定底层小正方体的分布位置． 【详解】解： 从正上方观察该立体图形，底层小正方体的分布为：第一行有2个小正方形，靠左排列；第二行有4个小正方形，其中第一个小正方形与第一行的右侧小正方形对齐．对比选项，只有C选项的图形与该分布一致． 3. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 科学记数法，将原数表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，逐项计算即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 5. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 6. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出，则，根据圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程根的判别式．先根据新定义得到方程，再根据方程有两个实数根，即可利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴方程有两个实数根， ∴方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质、线段中点定义，结合勾股定理可得出，，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接并延长交于点D；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于P，Q两点，作直线，分别交，于点E，F.若，，则的长为（ ） A. 1.5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，由作图可得：平分，垂直平分，连接、，令交于点，证明四边形为正方形，得出，，再证明，得出，设正方形的边长为，则，，代入计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，垂直平分， 如图：连接、，令交于点， ， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 10. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（　　） A. B. C. 或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况，分别求出y的最大值和最小值，即可求解． 【详解】解：当时， ∵对称轴为， 当时，y有最小值为2，当时，y有最大值为， ∴． ∴， 当时，同理可得：y有最大值为2； y有最小值为， ∴， ∴． 综上，a的值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题　90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 使式子有意义，则x的值为__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式，分式有意义的条件，根据代数式的特点可得且，再进一步可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得：且； 故答案为：且 13. 若关于x的方程无解，则a的值是________． 【答案】或1 【解析】 【分析】先去分母，然后根据方程无解可分当时，当时，进而问题可求解． 【详解】解：由关于x的方程去分母、合并得：， ∵该方程无解， ∴当时，即，符合题意； 当时，即分母为0，符合无解，此时； 综上所述：当或1时，原方程无解． 14. A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键；  设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形与相交于点M．若经过点M的反比例函数的图象交于点N，矩形的面积为8，，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，设OC=A′B′=a，则BC=OA′=2a，CM=，推出B（2a，a），M（，a），设N（2a，m），则有2am=推出m=，推出BN=AB-AN=，再根据矩形的面积求出a，即可解决问题； 【详解】解：根据题意， ∵， 设OC=A′B′=a，则BC=OA′=2a，CM=， ∴B（-2a，a），M（，a）， 设N（2a，m）， 则有2am=， ∴m=， ∴BN=AB-AN=， ∵2a2=8，a＞0， ∴a=2， ∴BN=． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 计算与化简求值： （1）计算∶ ； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据零次幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、算术平方根的性质化简运算即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 ； 当时， ． 17. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 18. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为： （2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 19. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当时，___________． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价的范围为．”你认为他的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 【答案】（1）400； （2）当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元； （3）不正确；当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润×销售盒数=总利润可得W关于x的关系式，结合的取值范围，由二次函数性质可得答案； （3）根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是， 当时，， 故答案为：400． 【小问2详解】 解：由题意可得，， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ∴， 即， 解得． ∴当时，W取得最大值，此时， 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元； 【小问3详解】 解：不正确；当日销售利润不低于8000元时，． 理由：当日销售利润不低于8000元时， 即，， 解得：， ， ∴当日销售利润不低于8000元时，． 故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，． 20. 阳春三月，某景区的油菜花盛开，吸引了大批游客．为了给游客提供更好的观光体验，景区安装了观光电梯．如图，电梯从地面A点上行30米到达点B，测得地面上一点D的俯角为，电梯再上升15米到达点C，测得地面上一点E的俯角为．已知A，D，E三点在同一直线上，求的长（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】先解求出，再解求出，最后由求解即可． 【详解】解：由已知得，，． 在中，，， 米． 在中， ， ， 米． 米． 答：的长为米． 21. 如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）是的切线 （2）1 【解析】 【分析】（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论； （2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ． ， ． ∵是半径， 是的切线． 【小问2详解】 设与相交于点D． ， ． ∵， ． ， ， ． ， ． 设，则． ∴在中，． ． ． ． ， ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点P的坐标为，的最小值为 （3）点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为； 如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 23. 已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）根据四边形为矩形，同角的余角相等可证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）当时，成立，理由为：如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）当时，成立， 证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，即． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度下学期期中学科学业水平监测 九年级数学试题 （满分120分, 时间120分钟） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4.第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域,不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题　30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接并延长交于点D；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于P，Q两点，作直线，分别交，于点E，F.若，，则的长为（ ） A. 1.5 B. C. 2 D. 10. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（　　） A. B. C. 或 D. 1或 第Ⅱ卷（非选择题　90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 分解因式：______． 12. 使式子有意义，则x的值为__________． 13. 若关于x的方程无解，则a的值是________． 14. A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形与相交于点M．若经过点M的反比例函数的图象交于点N，矩形的面积为8，，则的长为______________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 计算与化简求值： （1）计算∶ ； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 18. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 19. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当时，___________． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价的范围为．”你认为他的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 20. 阳春三月，某景区的油菜花盛开，吸引了大批游客．为了给游客提供更好的观光体验，景区安装了观光电梯．如图，电梯从地面A点上行30米到达点B，测得地面上一点D的俯角为，电梯再上升15米到达点C，测得地面上一点E的俯角为．已知A，D，E三点在同一直线上，求的长（结果保留根号）． 21. 如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 23. 已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $