专题02矩形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题02矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形。 2.熟记矩形特有性质：四个角均为直角、对角线相等且互相平分，兼具平行四边形所有性质。 3.掌握矩形判定定理，理解矩形与平行四边形、直角三角形的关联。 4.知晓矩形轴对称、中心对称的图形特征。 1.运用性质计算边长、角度、对角线长度、周长与面积。 2.依据已知条件，灵活判定四边形是否为矩形。 3.结合直角三角形、全等三角形知识完成几何推理证明。 4.能分析矩形折叠、动点、拼接类图形变式问题。 1.准确完成基础计算类题型，减少计算差错。 2.规范书写证明过程，逻辑严谨、步骤合规。 3.熟练应对选择、填空、基础证明常规考题。 4.融会贯通矩形与平行四边形、多边形知识点，解答综合题型。 题型01.矩形性质理解 题型02.矩形性质求角度 题型03.矩形性质求线段长 题型04.矩形性质求面积 题型05.矩形性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形判定定理理解 题型09.证明四边形是矩形 题型10添条件使四边形是矩形 题型11.矩形性质与判定求角度 题型12.矩形性质与判定求线段长 题型13.矩形性质与判定求面积 题型14.矩形中的动点问题 题型15.矩形中最值问题 题型16.矩形与中位线综合 题型17.矩形存在性问题 题型18.矩形多结论问题 知识点01:矩形的本质：特殊的平行四边形 1. 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 从属关系：平行四边形 ⊃ 矩形 关键：在平行四边形基础上，*多了 “一个直角”* 这个限定条件 2. 与平行四边形的关系 图形 相同点 不同点（矩形独有） 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 —— 矩形 同上 四个角都是直角、 知识点02:矩形的三大核心性质（必考考点） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04:常用结论（直接用，提速 50%） 1.对角线分矩形为4 个等腰三角形 2.直角三角形斜边中线＝斜边一半（矩形推导） 3.矩形对角线：长 ²＋宽 ²＝对角线 ²（勾股直通） 一句话秒懂矩形 “一垂定矩形，对角线相等定矩形，三角直角定矩形” 知识点05:矩形的计算与面积公式 1. 周长公式 C=2(a+b) · 与平行四边形周长公式一致，本质是 “四边之和” 2. 面积公式 S=ab 易错警示（避坑指南） ❌ 错误：对角线相等的四边形是矩形。 ✅ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形。 ❌ 错误：矩形的对角线互相垂直。（×，菱形才是） ✅ 正确：矩形的对角线相等。 题型01.矩形性质理解 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 2．从知识结构来看，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可以如图表示，则其中最大的椭圆表示的是______形，阴影部分表示的是______形． 【答案】 平行四边 正方 【详解】解：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 所以最大的椭圆表示的是平行四边形，阴影部分表示的是正方形． 3．数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故符合题意； C、由两组对边相等得到该四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、先由对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，再由对角线相等得到该四边形是矩形，故不符合题意． 题型02.矩形性质求角度 4．如图，已知在矩形中，于点（垂足在线段上），，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】根据矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，设，根据，解方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，，， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ 5．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，再由角平分线得出是等腰直角三角形，得出，证明是等边三角形，得出，，得出，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ . ∵ 平分， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ． 6．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）如图，连接，可求，则，证明，则，，可得，进而可证四边形是正方形； （2）由题意知，，由勾股定理得，，由（1）可知，四边形是正方形，进而可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由题意知，， 由勾股定理得，， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴四边形的面积为8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型03.矩形性质求线段长. 7．如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义推出，结合等角对等边和线段的和差求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点，， 是斜边上的中线， ． 8．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 9．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，利用平行线+中点模型构造全等三角形，可得，从而可得，，再利用勾股定理在求出即可解题． 【详解】解：延长交延长线于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 10．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，由矩形的性质可得，结合平行线的性质得出，即可得证； （2）先证明为等边三角形，设，则，由直角三角形的性质可得，求出，从而可得，，，最后求出，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴为等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型04.矩形性质求面积 11．若一矩形的长是，宽是，则它的面积是_______． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的运算，平方差公式，矩形的性质，熟练掌握相关性质和运算公式是解题的关键．利用矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴它的面积是， 故答案为：2． 12．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 13．如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 【答案】 【分析】先求出电子屏总面积，再根据展开面积达到总面积的条件，分情况求出开始播放的时间t，计算时的展开面积，最后用总面积减去该值得到未展开面积． 【详解】解：设点P的运动时间为t（单位：s）， 电子屏总面积：，展开面积达到时，， ， 解得， 播放结束时， ∴， ∴未展开面积为． 14．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接．过点作交的延长线于点，连接．求证： (1)； (2)四边形是矩形； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）由，则，又是的中点，所以，然后通过“”证明即可； （）由≌，得，则可证四边形是平行四边形，然后通过菱形的性质可得，则有四边形是矩形； （）由四边形是菱形，则，，根据勾股定理得，然后通过面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理， ∵四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 题型05.矩形性质证明 15．如图，在矩形中，若，则的大小是________． 【答案】/60度 【分析】根据矩形的性质可得，再由，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 16．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 17．如图，正方形和正方形的顶点E，F，G，M，N在长方形的边上，已知，，则的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形和矩形的性质，解二元一次方程组．过点P作于点K，先证和全等，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，联立解方程组即可，从而求出三角形的面积． 【详解】解：过点P作于点K， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，即②， 联立①②得， ， 解得， ∴，， ∴的面积， 故答案为：16． 18．如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据中点的定义得，进而得出，然后说明四边形是平行四边形，则此题可证； （2）先说明，进而得出，再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 19．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 【答案】5 【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长． 【详解】如图，连接OB， ∵B的坐标为（4，3）， ∴ ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 21．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式； （3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】（1）；（2）；（3）不变，48 【分析】（1）根据矩形的性质和点A 的坐标即可得解； （2）根据题意可得PC的长，利用三角形的面积公式即可求得S与t之间的函数关系式； （3）设P，Q运动时间为t，利用t表示出△ABQ和△BCP的面积，根据S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP即可求解，根据结果进行判断即可． 【详解】（1）∵四边形ABCO是长方形， ∴OC=AB=12， ∵BC=8， ∴ （2）P运动t秒时，CP=3t S=×3t×8=12t(0≤t≤4)， （3）四边形OPBQ的面积不会发生变化，理由如下：                        设P，Q运动时间为t，则OQ=2t，PC=3t， ∴AQ=AO-OQ=8-2t， ∴S△ABQ=AQAB=×(8-2t)×12=48-12t， S△BCP=PCBC=×3t×8=12t， ∴S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP=12×8-(48-12t)-12t=48， ∴四边形OPBQ的面积不会发生变化，其值始终为48． 【点睛】本题考查了点的坐标，矩形的性质，三角形的面积等知识．正确表示四边形OPBQ的面积是解题的关键． 题型07.矩形与折叠问题 22．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，，则的面积为________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，，从而得到，进而得到，设，则，然后在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，     ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴的面积为． 故答案为∶10 23．如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，设，则，证明，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13． 24．如图，在长方形中，M，N分别是边，上的一点，连接，将沿折叠得到，点落在线段上，连接，作点关于的对称点，点恰好落在边上，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，过点作，由题意易得，则有，，然后可得四边形是平行四边形，由折叠的性质可知：，，进而可得，，则有，设，则有，由勾股定理可得，最后问题可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（负根舍去）， ∴． 25．如图1所示，四边形是矩形，，点O位于对角线上，将分别沿，翻折，使点、点都恰好落在点处． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是直线上的一个动点，请在图1中，作于，作于，的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由． (3)如图2，若是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，定值为2 (3) 【分析】（1）先由矩形性质与折叠全等，推出垂直关系与线段等量关系，证得一组对边平行且相等判定平行四边形，再结合对角线互相垂直，证出平行四边形为菱形． （2）利用菱形四边相等的特点，把大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，代入面积公式化简，消去边长后直接求出两条垂线段长度之和为定值． （3）如图所示，连接，，点在上运动时，根据折叠的性质可得，，根据点到各顶点距离最小，可知，当时，的值最小，根据（1）中菱形的性质，可得，运用含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将分别沿翻折，点，点都恰好落在点处， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵与相互垂直平分，即对角线相互垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）解：的值不会发生变化，为定值2． 连接 由（1）可知四边形是菱形， ． ，， ，． ， ． 又， ． 由矩形性质可知，以为底边时，这条边上的高等于， ． ． 综上，的值不变，定值为． （3）如图所示，连接，， 点在上运动时，根据折叠的性质可得，， ∴， ∴根据点到各顶点距离最短，可知，当时，的值最小， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，且，， . ∴， ∴，， ∴，，即， ∴． 题型08.矩形判定定理理解 26．如图，在四边形中，点，，，分别为各边的中点，按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是（  ） A．对角线不相等的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线垂直的平行四边形 D．对角线垂直且相等的平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质，正确拼出矩形是解题的关键． 拼成的四边形为矩形，根据矩形是对角线相等的平行四边形，即可解答． 【详解】解：按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形如图，其中点重合于点O， ∴拼成的四边形为矩形，则矩形是对角线相等的平行四边形． 故选B． 27．如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 28．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（    ） A．15 B．10 C． D．5 【答案】D 【分析】先证明，根据平行四边形的性质，得，再证明，得到矩形，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，M是边的中点， ∴，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的周长为30， ∴， 解得， 故选：D． 题型09.证明四边形是矩形 29．如图，在中，O是对角线，的交点，且，分别延长边到点F，延长边到点E，使，连接，，．则四边形的形状是__________．    【答案】矩形 【分析】首先根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，进一步证明，可得，即可证明矩形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形和平行四边形的判定定理． 30．四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定需满足对角线互相平分且相等，或有一个直角的平行四边形. 选项D中，说明对角线互相平分且相等，可判定矩形． 【详解】解：A选项：，，四边形是平行四边形，但是不能判定四边形是矩形，故A选项不符合题意； B选项：，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故B选项不符合题意； C选项：，，无法判定四边形是平行四边形或矩形，故C选项不符合题意； D选项：，四边形的对角线相等且互相平分，可以判定四边形是矩形，故D选项符合题意． 故选：D． 31．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 题型10添条件使四边形是矩形 32．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件_____，则四边形AEDF是矩形；若添加条件_____，则四边形AEDF是菱形；若添加条件_____，则四边形AEDF是正方形． 【答案】 ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一） 【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形； 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形； ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形． ,∠BAC＝90°， 故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 33．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，结合平行四边形对角线互相平分的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 若添加条件， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 对于A，可判定四边形为菱形； 对于B，可判定四边形为菱形； 对于C，是平行四边形固有的性质，无法判定为矩形． 34．已知：如图，平行四边形中，、分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当、满足怎样的数量关系时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合线段中点的定义证明即可； （2）根据三线合一可得，再根据矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别为和的中点， ∴， ∴， ∵，即 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 题型11.矩形性质与判定求角度 35．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 36．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形是长方形，F是延长线上一点，连接与相交于点E，G是上一点，．试证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质及三角形外角定理的推论，综合性较强． 由四边形是长方形，得，可得，最后可求证. 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴由题意得， ∴， ∴， ∴ . 37．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 题型12.矩形性质与判定求线段长 38．如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 【答案】 3 【分析】作，交的延长线于点H，连接，则，先说明四边形是矩形，可得，再根据中点的定义得，结合线段垂直平分线的性质得，然后根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：过点G作，交的延长线于点H，连接，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ． ∵垂直平分， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得． 39．一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中，， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值25， 即当时，矩形桌面面积最大． 40．如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设，先证明，然后证明，再证明，最后通过矩形的性质以及对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设 ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形，， ∴， ∵翻折， ∴，，， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 解得 ∴的长为． 41．已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，折叠，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据勾股定理，进行解答，即可； （2）连接，，设，则，根据勾股定理，则，求出，得到的值；作，垂足为，，则四边形是矩形，根据，求出； （3）由折叠可得，可得，根据勾股定理，求出，根据所对的直角边是斜边的一半的逆定理，可得，，过点作交于点，根据矩形的判定和性质，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，，连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，，当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长；根据等腰直角三角形的判定和性质，求出，过点作交于点，利用勾股定理求出，，同理求出，，根据线段的等量关系，，，，即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， 是边的中点， ， 在中，． （2）解：如图1，连接，， ∵，为的中点， ∴， 设，则， 由（1）知，在中，， ∴，解得， ∴， 作，垂足为，，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在，依题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴， 连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过点作交于点， 在中，， ∴， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型13.矩形性质与判定求面积 42．如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 【答案】 【分析】过C作于H，先证明四边形是矩形得到，，再证明是等腰直角三角形得到，进而利用矩形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过C作于H，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，又，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴这块四边形菜地的面积为． 43．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】过点作，分别交于点，根据矩形的性质得到，，通过证明四边形是矩形，得到，同理可得：四边形、、都是矩形，则有，，，再根据图形面积之间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：四边形、、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即． 44．菱形的两边与位于四边形上，其中，四边形对角线相交于点O，，，，求四边形的面积？ 【答案】32 【分析】根据菱形的性质得到，，，，，根据勾股定理得到，则，证明，得到，证明四边形是矩形，根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，，，， ∴． ∴． ∴． ∵，． ∴． ∴． ∵，． ∴是平行四边形． ∵ ∴四边形是矩形． ∴四边形的面积． 题型14.矩形中的动点问题 45．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ． 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，，进而可得，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，证明四边形为矩形，由矩形的性质易得，，进一步可知，在中，由勾股定理解得的长度，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 46．如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】先连接，再利用矩形的性质和勾股定理，得出，，最后根据，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， ． 在中，， ， ． ，，， ， 即， ． 47．如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． (1)当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； (2)如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 【答案】(1)①作图见解析；②证明见解析 (2)或． 【分析】（1）①作线段的垂直平分线，得到中点，连接即可；②当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图，线段即为所求； ②∵矩形， ∴，， 当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点P在边上时（点P不与点D重合）， ∵，矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 则， 解得：或． 题型15.矩形中最值问题 48．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，证四边形是矩形，可得，再由垂线段最短可得：时，线段的长最小，进而解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得：时，线段的长最小， 在中，， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为． 49．如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使最小，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：连接． ，， ； 又， 四边形是矩形， ， ∵M是的中点， ∴M也是的中点， ∴， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， ， ． 线段长的最小值为，即最小值是． 50．如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，且，，，分别是对角线上的四等分点，顺次连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空： ①当______时，四边形是矩形； ②当______时，四边形是菱形； (3)求四边形的周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质及轴对称性质的应用， （1）证明，进而得，，便可得结论； （2）①连接，证明四边形为平行四边形，得，进而得四边形是矩形； ②连接、、，证明四边形是菱形，得，便可得四边形是菱形； （3）过作于，连接到点，使得，连接，与交于点，过作于点，求得的最小值为，进而便可求得四边形的周长的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ，，分别是对角线上的四等分点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①当时，四边形是矩形．理由如下： 连接，如图， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，分别是对角线上的四等分点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 故答案为：； ②当时，四边形是菱形．理由如下： 连接、、，如图， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：； （3）解：过作于，延长到点，使得，连接，，过作于点，如图， 则，，， ， ， ， ， ， 当、、三点共线，的值最小，其值为， 四边形的周长的最小值为：． 题型16.矩形与中位线综合 51．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则四边形的周长是___________． 【答案】14 【分析】利用矩形的性质求出相关线段的长度，再结合三角形中位线定理得到的长度，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． 在矩形中，，，， 根据勾股定理，可得． ∴． ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴， ∵是中点，， ∴， ∵是中点，， ∴， 则四边形的周长为． 52．如图，矩形中，平分交于点，，分别为，的中点，，，则的长是（    ） . A． B．8 C．10 D．14 【答案】D 【分析】连接，由矩形的性质推出，，，， 由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 53．如图，在中，、分别为、的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型17.矩形存在性问题 54．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 55．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用含t的式子表示出，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有1个． 56．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 题型18.矩形多结论问题 57．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题先通过矩形性质与折叠性质，过点作交于点，利用平行线性质推出，结合，得到，证明结论Ⅰ正确；再结合折叠后角相等、平分及平行线内错角相等的性质，推导出，根据平角为列出方程，解得，证明结论Ⅱ正确，最终得出两个结论均成立． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 58．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②，共2个． 59．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形。 2.熟记矩形特有性质：四个角均为直角、对角线相等且互相平分，兼具平行四边形所有性质。 3.掌握矩形判定定理，理解矩形与平行四边形、直角三角形的关联。 4.知晓矩形轴对称、中心对称的图形特征。 1.运用性质计算边长、角度、对角线长度、周长与面积。 2.依据已知条件，灵活判定四边形是否为矩形。 3.结合直角三角形、全等三角形知识完成几何推理证明。 4.能分析矩形折叠、动点、拼接类图形变式问题。 1.准确完成基础计算类题型，减少计算差错。 2.规范书写证明过程，逻辑严谨、步骤合规。 3.熟练应对选择、填空、基础证明常规考题。 4.融会贯通矩形与平行四边形、多边形知识点，解答综合题型。 题型01.矩形性质理解 题型02.矩形性质求角度 题型03.矩形性质求线段长 题型04.矩形性质求面积 题型05.矩形性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形判定定理理解 题型09.证明四边形是矩形 题型10添条件使四边形是矩形 题型11.矩形性质与判定求角度 题型12.矩形性质与判定求线段长 题型13.矩形性质与判定求面积 题型14.矩形中的动点问题 题型15.矩形中最值问题 题型16.矩形与中位线综合 题型17.矩形存在性问题 题型18.矩形多结论问题 知识点01:矩形的本质：特殊的平行四边形 1. 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 从属关系：平行四边形 ⊃ 矩形 关键：在平行四边形基础上，*多了 “一个直角”* 这个限定条件 2. 与平行四边形的关系 图形 相同点 不同点（矩形独有） 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 —— 矩形 同上 四个角都是直角、 知识点02:矩形的三大核心性质（必考考点） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04:常用结论（直接用，提速 50%） 1.对角线分矩形为4 个等腰三角形 2.直角三角形斜边中线＝斜边一半（矩形推导） 3.矩形对角线：长 ²＋宽 ²＝对角线 ²（勾股直通） 一句话秒懂矩形 “一垂定矩形，对角线相等定矩形，三角直角定矩形” 知识点05:矩形的计算与面积公式 1. 周长公式 C=2(a+b) · 与平行四边形周长公式一致，本质是 “四边之和” 2. 面积公式 S=ab 易错警示（避坑指南） ❌ 错误：对角线相等的四边形是矩形。 ✅ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形。 ❌ 错误：矩形的对角线互相垂直。（×，菱形才是） ✅ 正确：矩形的对角线相等。 题型01.矩形性质理解 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 2．从知识结构来看，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可以如图表示，则其中最大的椭圆表示的是______形，阴影部分表示的是______形． 3．数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（   ） A． B． C． D． 题型02.矩形性质求角度 4．如图，已知在矩形中，于点（垂足在线段上），，则的度数是______． 5．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的面积． 题型03.矩形性质求线段长. 7．如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为______． 8．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当时，求的面积． 题型04.矩形性质求面积 11．若一矩形的长是，宽是，则它的面积是_______． 12．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 13．如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 14．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接．过点作交的延长线于点，连接．求证： (1)； (2)四边形是矩形； (3)若，，求四边形的面积． 题型05.矩形性质证明 15．如图，在矩形中，若，则的大小是________． 16．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 17．如图，正方形和正方形的顶点E，F，G，M，N在长方形的边上，已知，，则的面积为______． 18．如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 19．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 21．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式； （3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 题型07.矩形与折叠问题 22．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，，则的面积为________． 23．如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 24．如图，在长方形中，M，N分别是边，上的一点，连接，将沿折叠得到，点落在线段上，连接，作点关于的对称点，点恰好落在边上，若，则的长为___________． 25．如图1所示，四边形是矩形，，点O位于对角线上，将分别沿，翻折，使点、点都恰好落在点处． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是直线上的一个动点，请在图1中，作于，作于，的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由． (3)如图2，若是线段上的动点，求的最小值． 题型08.矩形判定定理理解 26．如图，在四边形中，点，，，分别为各边的中点，按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是（  ） A．对角线不相等的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线垂直的平行四边形 D．对角线垂直且相等的平行四边形 27．如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    28．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（    ） A．15 B．10 C． D．5 题型09.证明四边形是矩形 29．如图，在中，O是对角线，的交点，且，分别延长边到点F，延长边到点E，使，连接，，．则四边形的形状是__________．    30．四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 31．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 题型10添条件使四边形是矩形 32．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件_____，则四边形AEDF是矩形；若添加条件_____，则四边形AEDF是菱形；若添加条件_____，则四边形AEDF是正方形． 33．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 34．已知：如图，平行四边形中，、分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当、满足怎样的数量关系时，四边形是矩形，请说明理由． 题型11.矩形性质与判定求角度 35．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 36．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形是长方形，F是延长线上一点，连接与相交于点E，G是上一点，．试证明：． 37．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 题型12.矩形性质与判定求线段长 38．如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 39．一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 40．如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 41．已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型13.矩形性质与判定求面积 42．如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 43．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 44．菱形的两边与位于四边形上，其中，四边形对角线相交于点O，，，，求四边形的面积？ 题型14.矩形中的动点问题 45．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ． 46．如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 47．如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． (1)当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； (2)如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 题型15.矩形中最值问题 48．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 49．如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（   ） A． B． C． D．2 50．如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，且，，，分别是对角线上的四等分点，顺次连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空： ①当______时，四边形是矩形； ②当______时，四边形是菱形； (3)求四边形的周长的最小值． 题型16.矩形与中位线综合 51．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则四边形的周长是___________． 52．如图，矩形中，平分交于点，，分别为，的中点，，，则的长是（    ） . A． B．8 C．10 D．14 53．如图，在中，、分别为、的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 题型17.矩形存在性问题 54．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 55．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 题型18.矩形多结论问题 57．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 58．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵四边形为矩形， 59．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $