6.3.4空间距离的计算分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 以“空间距离的计算”为核心，通过A、B、C三层设计，构建从基础模型应用到综合问题解决再到拓展探究的梯度路径，强化空间观念与运算能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|点面、点线、面面距离基础计算|三棱锥、正方体等基础模型，单选题为主，巩固公式直接应用| |B层|含参数几何体、动态点距离、综合计算|长方体动态点（如P在棱上运动）、多选题，培养推理与空间想象能力| |C层|参数探究、存在性问题|含λ参数（如G点位置）、存在性论证，发展创新意识与逻辑思维|

6.3.4　空间距离的计算 A层 基础达标练 1.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 2.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(　　) A. B.1 C. D.2 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面 AB1C 与平面 A1C1D之间的距离为(　　) A. B. C. D. 4.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D.3 5.(多选题)已知空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(1,2,3),则下列说法错误的是(　　) A.点P到原点O的距离是 B.点P到x轴的距离是 C.点P到平面xOy的距离是3 D.点P到平面yOz的距离是3 6.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为　　　　. 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,A1D1的中点,求点A到直线EF的距离. B层 能力提升练 8.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　) A.10 B.3 C. D. 9.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A.5 B.8 C. D. 10.若Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是(　　) A.3 B. C. D. 11.(多选题)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱DC上运动(不与顶点重合),则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A. B. C.2 D. 12.(多选题)已知空间中四个点D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),则下列结论正确的是(　　) A.=0 B.的夹角为 C.平面PDM的一个法向量为n=(2,1,1) D.点N到平面PDM的距离为 13.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为　 . 14.已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=2,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为　　　　.  15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点. (1)求点M到直线AC1的距离; (2)求点N到平面MA1C1的距离. C层 拓展探究练 16.(2024江苏南通高二月考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G到平面D1EF的距离为　　　　.  17.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为. 参考答案 1.D　以P为坐标原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=. 2.A　 ∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴=(1,0,0),=(-1,2,-2), ∴cos<>=-,sin <>=, ∴点A到直线BC的距离d=||sin <>=. 3.B　以D1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1), 所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0). 设平面 A1C1D 的法向量为m=(x,y,1) , 则 解得故m=(1,1,1), 显然平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d=. 4.B　∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1), ∴两平面间的距离d=. 5.AD　由题可知,|OP|=,A中说法错误;由点P的坐标可知,点P到x轴的距离为,B中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面xOy的距离为3,C中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面yOz的距离为1,D中说法错误.故选AD. 6.　由题意,设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), ∴n·=0,n·=0. 又=(2,-2,1),=(4,0,6), ∴ 令z=-2,则n=(3,2,-2). 又=(-7,-7,7), ∴点D到平面ABC的距离d= =. 7.解 如图,以{}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz. 设DA=2,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2), ∴=(1,-2,1),=(1,0,-2). 设<>=φ, 则cos φ==-, ∴sin φ=, ∴点A到直线EF的距离d=||·sin φ=. 8.D　由题意可知,=(1,2,-4).设点P到平面α的距离为h, 则h=. 9.C　以D为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,12,0),D1(0,0,5). 设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0). 设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c), 由n⊥,n⊥, 得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0, 所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12). 又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为. 因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 10.A　以C为坐标原点,CA,CB,CP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(4,0,0),B(0,3,0), P0,0,, ∴=(-4,3,0), =-4,0,. 设φ=<>,则cos φ=, ∴sin φ=, ∴点P到AB的距离d=||·sin φ==3. 11.CD　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3).设P(0,t,0), 所以=(-3,t,0),=(-3,0,3),=(0,3,0). 设n1=(x1,y1,z1)为平面AD1P的法向量, 则有 令y1=3,可得n=(t,3,t), 则点B到平面AD1P的距离d=. 因为0<t<3,所以所求距离的取值范围是(,3). 故选CD. 12.ACD　由D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),得=(1,-1,-1),=(0,1,-1),=(-1,-1,0). =0,故A正确; 因为cos<>==- ,又<>∈[0,π],故的夹角为,故B错误; 设平面PDM的法向量为n=(x,y,z), 由 不妨令z=1,则n=(2,1,1), 设点N到平面PDM的距离为d, 则d=,故C,D正确.故选ACD. 13. 　如图,设AB的中点为O,CD的中点为F,连接OE,OF,易知OE,OF,OB两两垂直. 以{}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz(其中z轴平行于BC),则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2). 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), 则 令y=1,得n=(-1,1,-1). 故点D到平面ACE的距离d=. 14. 　以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2),=(-2,-2,0),=(-1,-1,0). 因为=2,所以BD∥EF,所以直线BD与EF之间的距离即为点D到直线EF的距离. 又=(0,1,2), 设<>=θ,则cos θ==-, 所以sin θ=, 所以直线BD与EF之间的距离d=||sin θ=3×. 15.解 (1)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2), 直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,,=(2,0,1), 设<,s0>=θ,故点M到直线AC1的距离d=||·sin <,s0>=. (2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z), 则取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量. 因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1), 故N到平面MA1C1的距离d=. 16.　 由题意,得A1B1∥EF,A1B1⊄平面D1EF,EF⊂平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离. 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),A1(2,0,2),所以. 设平面D1EF的法向量为n=,则 令x=1,则y=0,z=2, 所以平面D1EF的一个法向量n=. 点A1到平面D1EF的距离d=,即点G到平面D1EF的距离为.故答案为. 17.解 假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),=(0,0,2),=(2,-2,2). 设=λ,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ), =(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ). 设n=(x,y,z)为平面AED的一个法向量, 则 取x=1,则y=,z=2, 即n=1,,2为平面AED的一个法向量. 由于点A1到平面AED的距离d=, 所以, 又λ∈(0,1),所以λ=. 故存在点E,且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $