6.3.4 第1课时 空间距离的计算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

6.3.4 第1课时 空间距离的计算 [课时跟踪检测] 1.已知A(1,2,0),B(3,1,2),C(2,0,4),则点C到直线AB的距离为 (　　) A.2 B. C.2 D.2 解析:选B　设点C到直线AB的距离为d,因为=(2,-1,2),=(1,-2,4),所以d===. 2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),=(-1,-1,2),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为 (　　) A.1 B. C. D. 解析:选B　因为=(-1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(1,2,1),所以点A到平面α的距离为=. 3.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d= ==. 4.如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则直线FC1到平面AB1E的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意易知直线FC1∥平面AB1E,所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离.建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),E,B1(1,1,1),F,C1(0,1,1),所以=,=(0,1,1),=,设平面AB1E的法向量n=(x,y,z),则即取z=2,则x=1,y=-2,所以n=(1,-2,2),所以F到平面AB1E的距离d===. 5.在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=2,AA1=6,点E,F分别为棱BB1,AC的中点,则点C1到平面A1EF的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,取A1C1的中点G,连接FG,以F为坐标原点,FB,FC,FG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 则F(0,0,0),A1(0,-1,6),E(,0,3),C1(0,1,6),所以=(0,-1,6),=(,0,3),=(0,1,6),设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),所以令z=1,解得x=-,y=6,所以平面A1EF的一个法向量为n=(-,6,1),所以点C1到平面A1EF的距离d==. 6.如图,已知三棱柱ABC⁃A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=2,AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,P是A1B1的中点,则点A到平面MNP的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AM,则A(0,0,0),M(0,2,1),N(1,1,0),P(1,0,2), 所以=(-1,2,-1),=(0,1,-2),=(0,2,1),设平面MNP的法向量为u=(x,y,z),则 令y=2,则x=3,z=1, 所以平面MNP的一个法向量u=(3,2,1),所以点A到平面MNP的距离为==. 7.如图,在三棱锥A⁃BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则O到直线EF的距离为 (　　) A.2 B.1 C. D. 解析:选C　以A为原点,AB,AC,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,0,6),E(3,0,0),F(0,0,4), 得O(2,2,2),=(-3,0,4),取a==(-1,2,2),u==(-3,0,4)=,则a2=9,a·u=,所以点O到直线EF的距离为 =. 8.(5分)在四棱锥S⁃ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-5),则这个四棱锥的高h为　　　　 .  解析:设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则所以x=y=0,所以取n=(0,0,1),所以此四棱锥的高h===5. 答案:5 9.(5分)在空间直角坐标系O⁃xyz中,A(1,2,1),B(2,1,m),C(0,1,2),若点C到直线AB的距离不小于,写出一个满足条件的m的值:　　　　.  解析:因为=(1,-1,m-1),=(-1,-1,1),所以点C到直线AB的距离d==≥,解得1-≤m≤1+. 答案:1(答案不唯一,只要1-≤m≤1+即可) 10.(5分)正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为　　　　.  解析:因为B1D1∥BD,B1D1⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,所以B1D1∥平面BDC1,同理AD1∥平面BDC1,又B1D1∩AD1=D1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),D1(0,0,a),则=(0,a,a),=(-a,-a,0),=(0,-a,0).设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=-1,z=1,则n=(1,-1,1),则点B到平面AB1D1的距离d===a,所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a. 答案:a 11.(5分)如图,四棱锥P⁃ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PBC是等边三角形,M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为　　　　　.  解析:连接AC,BD相交于点O,O点为底面ABCD的中心,取BC中点为E,连接EO,EP,则EP⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,则EP⊥平面ABCD,以点E为原点,分别以,,为x,y,z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,且底面ABCD的边长为2,△PBC是等边三角形, 则D(2,1,0),M(1,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,),则N,O(1,0,0),则=,=,=(1,1,0).设平面DMN的法向量为n=(x,y,z), 则 解得令z=7,则y=-,x=2,所以n=(2,-,7),且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离,则d===. 答案: 12.(10分)如图,长方体ABCD⁃A'B'C'D'的顶点坐标为B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),A'(0,0,2),B'(1,0,2),D'(0,2,2),E和F分别是棱DD'和BB'的中点,求CE与A'F之间的距离. 解:因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点, 则E(0,2,1),F(1,0,1).又=(-1,0,1), =(1,0,-1),且直线CE与A'F无公共点, 所以CE∥A'F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离. 又因为=(-1,0,1),=(0,2,-1), 所以点F到直线CE的距离d===. 因此CE与A'F之间的距离为. 13.(10分)如图,在直二面角D⁃AB⁃E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,求点D到平面ACE的距离. 解:取AB的中点O,连接OE. 因为△AEB是等腰直角三角形,所以OE⊥AB,OE=OA=1. 由已知得,平面ABCD⊥平面AEB,平面ABCD∩平面AEB=AB, 所以OE⊥平面ABCD. 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC), 则C(0,1,2),A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2), 所以=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2). 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), 则即令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d===. 14.(17分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,△PAB是等腰直角三角形,且∠APB=90°,平面PAB⊥平面ABCD,点E是线段PC(不含端点)上的一个动点. (1)设平面ADE交PB于点F,求证:EF∥平面PAD;(5分) (2)当点E到平面PAD的距离为时,求平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值.(12分) 解:(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AD∥BC.因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC. 因为AD⊂平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以EF∥AD. 因为EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD. (2)在AB上取中点O,连接PO,OC,因为△PAB是等腰直角三角形,所以PO⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.又OC⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PO⊥OC,PO⊥AB,又底面ABCD是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,所以OC⊥AB. 故以O为原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,,0),D(-2,,0),P(0,0,1),=(1,,0),=(-1,,0),=(1,0,1),=(0,-,1),设=λ=(1,-λ,λ)(0<λ<1),则=+=(1,-λ,λ). 设m=(x,y,z)是平面PAD的法向量, 则即 令y=,得m=(3,,-3),由点E到平面PAD的距离为得=,所以=,解得λ=或λ=(舍去), 故点E为CP中点,所以E,所以=,又=(-1,,0). 设n=(a,b,c)是平面ADE的法向量, 则即 令b=可得n=(3,,-9). 又⊥平面ABCD,故=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量, 得cos<,n>===-,所以平面ADE与平面ABCD所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $