6.3.4空间距离的计算同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.3.4　空间距离的计算 一、基础达标 1.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 2.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(　　) A. B.1 C. D.2 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面 AB1C 与平面 A1C1D之间的距离为(　　) A. B. C. D. 4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 5.(多选题)已知空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(1,2,3),则下列说法错误的是(　　) A.点P到原点O的距离是 B.点P到x轴的距离是 C.点P到平面xOy的距离是3 D.点P到平面yOz的距离是3 6.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(,0,)为l的一个单位方向向量,则点P(4,3,2)到l的距离为　　　　　.  7.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.求: (1)点N到直线AB的距离; (2)点C1到平面ABN的距离. 二、能力提升 8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 9.在正三棱锥P-ABC中,AB=PA=,且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上,设点O到平面PAB的距离为m,到平面ABC的距离为n,则=(　　) A.3 B. C. D. 10.(多选题)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱DC上运动(不与顶点重合),则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A. B. C.2 D. 11.(多选题)已知空间中四个点D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),则下列结论正确的是(　　) A.=0 B.的夹角为 C.平面PDM的一个法向量为n=(2,1,1) D.点N到平面PDM的距离为 12.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AB=2,E,F分别为PD,PB的中点,则下列结论正确的是(　　) A.EF⊥平面PAD B.AB∥平面EFC C.点F到直线CD的距离为 D.点A到平面EFC的距离为 13.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1靠近D1的三等分点,F为线段BB1靠近B的三等分点,则直线FC1到平面AB1E的距离为　　　.  14.已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=2,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为　　　　.  15.如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求点C到平面AEC1F的距离; (2)设过点B平行于平面AEC1F的平面为α,求平面AEC1F与平面α之间的距离. 三、拓展探究 16.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设点P为底面A1B1C1D1内(含边界)的动点,则点A,C1到平面PBD距离之和的最小值为(　　) A. B. C. D. 17.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为. 参考答案 1.D　以P为坐标原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=. 2.A　 ∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴=(1,0,0),=(-1,2,-2), ∴cos<>=-,sin <>=, ∴点A到直线BC的距离d=||sin<>=. 3.B　以D1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1), 所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0). 设平面 A1C1D 的法向量为m=(x,y,1), 则 解得故m=(1,1,1),显然平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d=. 4.A　由正方体性质可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离,连接A1C1,交B1D1于O1(图略),A1O1的长即为所求,由题意可得A1O1=A1C1=. 5.AD　由题可知,|OP|=,A中说法错误;由点P的坐标可知,点P到x轴的距离为,B中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面xOy的距离为3,C中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面yOz的距离为1,D中说法错误.故选AD. 6.　∵=(-2,0,-1),n=(,0,)为l的一个单位方向向量,∴点P到l的距离d=. 7.解 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4). ∵N是CC1的中点, ∴N(0,4,2). (1)由=(0,4,2),=(2,2,0),得||=2,||=4. 设点N到直线AB的距离为d1, 则d1==4. (2)设平面ABN的一个法向量为n=(x,y,z),则由n⊥,n⊥,得令z=2,则y=-1,x=,即n=(,-1,2).易知=(0,0,-2),设点C1到平面ABN的距离为d2,则d2=. 8.A　以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则E(1,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),=(-1,-2,2),=(0,0,2),=(1,0,0),设u=(x,y,z),u⊥,u⊥,则u·=(x,y,z)·(0,0,2)=0,∴z=0,u·=(x,y,z)·(-1,-2,2)=-x-2y+2z=0,∴y=-x,令x=1,则y=-,∴u=(1,-,0),∴异面直线D1E与CC1的距离为d=.∵P在D1E上运动,∴P到直线CC1的距离的最小值为d=.故选A. 9.D　在正三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=1,AB=,所以PA2+PB2=AB2,所以PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PC⊥PB,即PA,PB,PC两两垂直,把该三棱锥补成一个正方体,则三棱锥的外接球就是正方体的外接球,正方体的体对角线就是外接球的直径,易得m=,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),O(),所以=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(-).设平面ABC的一个法向量为s=(x,y,z),则令x=1,则y=z=1,所以s=(1,1,1),则点O到平面ABC的距离n=,所以.故选D. 10.CD　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3).设P(0,t,0), 所以=(-3,t,0),=(-3,0,3),=(0,3,0). 设n1=(x1,y1,z1)为平面AD1P的法向量, 则有 令y1=3,可得n=(t,3,t), 则点B到平面AD1P的距离d=. 因为0<t<3,所以所求距离的取值范围是(,3).故选CD. 11.ACD　由D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),得=(1,-1,-1),=(0,1,-1),=(-1,-1,0). =0,故A正确; 因为cos<>==-,<>∈[0,π],所以的夹角为,故B错误; 设平面PDM的法向量为n=(x,y,z), 由不妨令z=1,则n=(2,1,1),设点N到平面PDM的距离为d,则d=,故C,D正确.故选ACD. 12.D　以A为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空直角坐标系. 由题意可知,A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),所以=(1,-1,0),=(0,2,0),=(2,1,-1),=(2,0,0),=(-1,-2,1),对于选项A,因为=0-2+0=-2,所以不垂直,即EF,AD不垂直,所以直线EF与平面PAD不垂直,故A错误;对于选项B,设平面EFC的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=3,所以m=(1,1,3).因为=(2,0,0),所以·m=2≠0,所以直线AB与平面EFC不平行,故B错误;对于C,设点F到直线CD的距离为h,=(-1,-2,1),=(-2,0,0),则h2==5,即h=,所以点F到直线CD的距离为,故C错误;设点A到平面EFC的距离为d,=(2,2,0),则d=,所以点A到平面EFC的距离为,故D正确. 13.　如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),E(0,0,2),F(3,3,1),C1(0,3,3),B1(3,3,3),所以=(-3,0,2),=(-3,0,2),所以,而AE⊂平面AB1E,FC1⊄平面AB1E,故FC1∥平面AB1E,所以直线FC1到平面AB1E的距离即为点F到平面AB1E的距离.又=(-3,0,2),=(0,3,3),设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),故取z=3,则n=(2,-3,3),又=(3,3,-1),故点F到平面AB1E的距离为d=||=. 14.　以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2),=(-2,-2,0),=(-1,-1,0). 因为=2,所以BD∥EF,所以直线BD与EF之间的距离即为点D到直线EF的距离. 又=(0,1,2),设<>=θ,则cos θ==-,所以sin θ=,所以直线BD与EF之间的距离d=||sin θ=3×. 15.解 (1)由题意,以D为原点,以DA,DC,DF所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,如图所示,可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z),因为AEC1F为平行四边形,可得,即(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2,即F(0,0,2),则=(0,4,1),=(-2,0,2),设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,可得y=-,z=1,所以n=(1,-,1), 又由=(-2,4,0),所以点C到平面AEC1F的距离为d=. (2)由(1)知平面AEC1F的一个法向量为n=(1,-,1),又由=(0,0,1),可得点B到平面AEC1F的距离为d=,因为过点B平行于平面AEC1F的平面为α,所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离,即平面AEC1F与平面α之间的距离为. 16.B　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DA,DC,DD1两两互相垂直,建立空间直角坐标系,如图所示. 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),设P(a,b,2),0≤a≤2,0≤b≤2,所以=(2,2,0),=(a,b,2),设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),则令x=2,则y=-2,z=b-a.于是m=(2,2,b-a),则点A,C1到平面PBD距离之和为d1+d2=,设b-a=t,则t∈[-2,2],d1+d2==2=2=2, 因为t∈[-2,2],所以t+4∈[2,6],所以∈[],函数y=1-开口向上,对称轴为,在∈[]上单调递增, 所以当时,d1+d2=2取到最小值,为d1+d2=2.故选B. 17.解 存在.理由如下:假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),=(0,0,2),=(2,-2,2). 设=λ,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ),=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ). 设n=(x,y,z)为平面AED的一个法向量, 则 取x=1,则y=,z=2, 即n=(1,,2)为平面AED的一个法向量. 由于点A1到平面AED的距离d=, 所以,又λ∈(0,1),所以λ=. 故存在点E,且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为. 5 学科网（北京）股份有限公司 $