2026年中考数学必考知识点专题特训-二次函数与面积综合题

**基本信息** 聚焦二次函数与面积综合，以题载法构建“解析式求解-面积计算-动态综合”三阶方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|1-3题|待定系数法、对称性求坐标|从点坐标到函数表达式的转化| |面积计算|4-8题|铅锤法、分割法、二次函数最值|面积公式与函数性质的融合应用| |动态综合|9-15题|分类讨论、存在性分析、几何变换|动点/图形变换中数量关系的推理|

2026年中考数学必考知识点专题特训 二次函数与面积综合题 1．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 4．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点，分别从点，出发，沿线段和方向以相同的速度匀速运动，点运动到点时停止，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)①点是平面内一点，若四边形是平行四边形，求点的坐标； ②如图2，连接和，求的最小值． 5．已知抛物线（为常数，且）与轴交于，两点，其中点的坐标是，与轴交于点，点的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，连接，，． ①如图1，若，求的值． ②如图2，延长交轴于点，连接，若线段与轴交于点．记，，，的面积分别为，，，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求出点A、B、C的坐标； (2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．点坐标为，点坐标为，点为抛物线上一点，点的横坐标为，点与点不重合．过点作轴，交直线于点，延长至点，使，过点作，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，当的面积最大时，求的值，并求面积的最大值； (3)当抛物线在内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标的差是时，求的值； 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于三点，且，P是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在直线下方，点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标． (3)直线上是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当点P在第一象限的抛物线上时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点是抛物线在第一象限上的一点，满足，请求出点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为，点是抛物线上一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合），过点作，垂足为点，连接交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长；（用含的式子表示） (3)若，请直接写出的取值范围． 12．如图1，二次函数的图象交轴于点及点，交轴于点，是二次函数图象上在第一象限内的动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，交直线于点D，当点D是线段的三等分点时，求的值． 13．如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 14．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，，点在抛物线上运动，连接，，． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)点从点运动到点的过程中（点与点，不重合），作点关于轴的对称点，连接，，若满足，求的面积 15．如图，二次函数 的图像与x轴交于A、两点（A在B的左侧）， 与y 轴交于点， 点P在抛物线上， 连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如图2，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，点P是否落在二次函数图象上？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学必考知识点专题特训-二次函数与面积综合题》参考答案 1．(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 2．(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求解函数解析式，与面积的综合问题． （1）先令求解，再由三角形面积公式求解，即可得到点坐标； （2）将点代入即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴，即 ∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴ （2）解：将点代入， 则， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 3．(1) (2)10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点 ，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 4．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）将代入求解即可； （2）根据二次函数交点式可知，，根据勾股定理求出，设（），根据三角函数可知到轴的高，求出的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可； （3）①设，根据平行四边形的性质及中点坐标公式作答即可； ②设，得，作交于点F，可知，即，可知，根据勾股定理可知，，则可转化为：轴上动点到点和点的距离和，根据两点之间线段最短可知最小值． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴， 解得：， 即； （2）解：∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 设（），则， 在中，， 可知到轴的高， 则的面积：， ∵， ∴当​时，取最大值，最大值为； （3）解：①设， ∵平行四边形对角线互相平分，平行四边形中为对角线，中点坐标为， ∴， 解得：， 即； ②设，得， 作交于点F， 可知， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴，， 则可转化为：轴上动点到点和点的距离和， 由两点之间线段最短可知，最小值为． 5．(1) (2)①；②是， 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①先求出，设，与轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，得到，再用表示出，根据比值求即可； ②根据①，用表示，利用待定系数法求出直线的解析式，得到，再求出，然后化简求值即可． 【详解】（1）解：由题可知，解得， 则抛物线的解析式为； （2）①令，解得或，则 设，与轴交于点， 则， 设直线的解析式为， ，解得， ，则，， ， ， 解得； ②由①知， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， ，则， ， ， ． 6．(1)，， (2)，面积的最大值是8 【分析】本题考查二次函数与几何综合，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）分别令，代入抛物线解析式即可解答； （2）设，过点作轴交于点，则，由此可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，或， ，； 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得， 直线的解析式为， 点D为抛物线上在第一象限内的动点， 可设，过点D作轴交于点E， 则， ， ， 当， 当时，面积的最大值是8， 此时点D的坐标是． 7．(1)； (2)，面积的最大值为； (3)的值为或或． 【分析】（1）运用待定系数法将和点代入抛物线解析式，解方程组即可得出答案； （2）先求出直线的解析式，再根据题意分别判断、是等腰直角三角形，根据三角形面积公式得到，求出最大值，即可求出的面积最大值； （3）由（2）得出，，结合题意推出点坐标，再进行分类讨论：①，②，③，④，⑤，分别画出草图，即可判断出抛物线在内部（包括边界）的最高点与最低点，最后根据最高点与最低点的纵坐标的差是代入坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，为抛物线上的点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵设直线的解析式为：，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为抛物线上，点的横坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∵点在直线上， ∴， ∵点在直线下方， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故当取最大值时，的面积最大， ∵， ∵， ∴当，的最大值为，； ∴综上，时，面积的最大值为； （3）∵由（2）得，，点与点关于点对称， ∴，即， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， 分类讨论： ①如图，当时， ∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和点， ∵最高点与最低点的纵坐标的差是， ∴， 整理得，，方程无解； ②如图，当时， ∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和顶点， ∵最高点与最低点的纵坐标的差是， ∴，不符合题义； ③当直线过抛物线的顶点时，，解得：，（舍）， 如图，当时，即直线在抛物线顶点上或下方时， ∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和抛物线顶点， ∵最高点与最低点的纵坐标的差是， ∴， 整理得， 解得，(舍去)； ④如图，当时，即当直线在抛物线顶点的上方时，抛物线与交于点， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴， ∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和点， ∵最高点与最低点的纵坐标的差是， ∴ 整理得， 解得，(舍去)； ⑤如图，当时，抛物线与交于点， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴， ∴抛物线在内部(包括边界)的最高点与最低点分别是点和点， ∵最高点与最低点的纵坐标的差是， ∴， 整理得， 解得，(舍去)； ∴综上所述，符合题意的值为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查抛物线与坐标轴的交点，构造二次函数求最值等，熟练掌握抛物线的最值，分类思想，转化思想是解题的关键． 8．(1) (2) (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）由，且，得，设二次函数的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设，过作轴于点，交直线于点，由，，得直线解析式为， ，当最大时，四边形的面积最大，而，由二次函数性质得当点坐标为时，四边形的最大面积为； （3）设，，而，，分三种情况：①若为平行四边形对角线，则的中点重合，，得；②为对角线，，方程组无实数解；③ 为对角线，，得． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点，如图： ∵， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为，， ∴，当最大时，四边形的面积最大， ∴ ∴ ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴当P点坐标为时，， 故此时四边形的最大面积，最大面积为； （3）解：直线上存在一点，使得以点组成的四边形是平行四边形，理由如下： 设，，而， ①若为平行四边形对角线，则的中点重合， ∴， 解得（此时Q与B重合，舍去）或， ∴； ②为对角线，， 方程组无实数解； ③为对角线，， 解得（此时P与A重合，舍去）或， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． 9．(1)， (2)， (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线方程，求出，，即可求出抛物线的解析，然后再求出点C的坐标即可； （2）过点P作轴，交于点D，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则，得出，根据二次函数的性质求出最值即可； （3）分类讨论：当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形，当四边形为平行四边形时，分别画出图形，求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线 与x轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线解析式为， 把代入得：， ∴点C的坐标为． （2）解：如图，过点P作轴，交于点D，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取最大值， 此时点P的坐标为. （3）解：存在．理由如下： ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， 当四边形为平行四边形，如图所示： 此时点C向右平移3个单位，向下平移3个单位到达点B， ∴点Q向右平移3个单位，向下平移3个单位到达点P， ∴， 即， 把代入得： ， 解得：， ∴此时点Q坐标为； 当四边形为平行四边形时，如图所示： 此时点B向左平移3个单位，向上平移3个单位到达点C， ∴点Q向左平移3个单位，向上平移3个单位到达点P， ∴， 即， 把代入得： ， 解得：， 此时点； 当四边形为平行四边形时，如图所示： 设点，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴点， 把代入得： ， 解得：， 此时点； 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质，平移的性质，中点坐标公式，会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用点平移的坐标规律表示平行四边形的顶点坐标，是解题的关键． 10．(1) (2) (3)存在，． 【分析】此题考查了二次函数的面积问题、角度问题、解直角三角形的应用，正确理解题意并数形结合是关键． （1）利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）过点作轴于点，设，证明，得到，则，得到，，即可求出答案； （3）过点作轴于点，交于点F，设，求出直线的解析式为，则，根据的面积等于面积的一半得到,解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：把点和点代入二次函数中得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴于点，设， 当时，， ∴或， ∴， ∴， ∵点是抛物线在第一象限上的一点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：过点作轴于点，交于点F，设， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴ ∴的面积 ∵的面积， 由题意可得，, 即或 解得， ∴ 11．(1)抛物线的表达式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据抛物线的性质，确定点B，点C的坐标，再确定直线的解析式，再根据解析式确定点D的坐标， 则，解答即可． （3）设， 直线的解析式为，解得直线的解析式为：．设与的交点为G，故故， 根据三角形面积关系，构造不等式，构造二次函数确定取值范围，结合已知确定答案即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求不等式的解集，面积分割法，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为，点C的坐标为， 又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合）， 故，且， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 令， 解得， 故， ∴. （3）解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为，点C的坐标为， 又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合）， 故，且， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设与的交点为G， 故 故， 故， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 当时，解得或， ∴时，t的取值范围是， ∵， ∴． 12．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将A、C的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）过点作轴交于点，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式为，根据求出，再求出，结合，得出，即可求解； （3）证明，，再分、两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将，代入函数表达式， 得，解得， 所求二次函数的表达式为； （2）解：过点作轴交于点， 将代入中，得或3． ． 设直线对应的函数表达式为， 将代入解析式得，解得， ． 设，， ． ， 而， ， ， ，（舍）． ； （3）解：过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ． ，． ． ． ． ，， ． ． 设，则，． 点是线段的三等分点， 或． ①当时，点． ，． ． ． ； ②当时，点． ，． ． ． ， 综上，的值为或． 13．(1)抛物线的解析式为，顶点 (2) (3)存在，N的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数与面积的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后运用待定系数法求得函数解析式，然后化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）如图：过E作轴交于H，设，则，则，易得，当时，取最大值，再确定点E的坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，先求得，结合，可得，，， ， ，则，以B，P，N为顶点的三角形与相似时，N在B左侧，只需满足或，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点B，点C， ∴令得：，令得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点． （2）解：如图：过E作轴交于H， 设，则， ∴， ， ， ∴当时，取最大值， 此时， ∴． （3）解：存在以B，P，N为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图：过P作轴于Q， 在中，令得，解得：或， ∴， ∵，， ∴，，， ， ， ∴， 以B，P，N为顶点的三角形与相似时，N在B左侧，只需满足 或， 当时，， 解得：，即； 当时， 解得：，即． 综上，点N的坐标为或． 14．(1)； (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合等知识点，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）先运用待定系数法求出函数解析式； （2）由，同理可得：，然后求出点P的坐标，进而完成解答． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得： ，解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：设的面积为，的面积为， ∵， ∴点， 设点 ，则点， 如图：连接交于点E， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：，则点， 同理由点B、P的坐标得，直线的解析式为：， 设直线交y轴于点D，则点， 则， 同理可得：， ∵ ∴， 解得：（舍去）或， ∴点， ∴的面积为． 15．(1) (2) (3)不在图象上，见解析 【分析】（1）将、两点代入即可求解； （2）设点，由，可得即可求解； （3）依据题意可知，是等边三角形，设P点坐标为，依据三角形的三边长度相等，求得点P的坐标，代入二次函数即可确定点P的位置． 【详解】（1）解：将、两点代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由，令，， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， ， ∵，，， ∴， ∴， ∵点P在第四象限， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； （3）∵线段绕点B顺时针旋转，得到线段，P在第二象限， 是等边三角形， 、， ， 设P点坐标为， ， 解得：或（舍去）， ∴P点坐标为， 当时，， ∴点P不落在二次函数图象上． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，三角形的面积计算，旋转的性质，勾股定理，掌握相关知识正确计算是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $