3.二次函数综合题- 【一战成名新中考】2026陕西数学中考必考知识点题组特训

二次函数综合题 题型一 二次函数性质应用（针对第8题） 1．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A． B． C． D． B【解析】将抛物线化为顶点式，即：， 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：，A选项代入，，不符合； B选项代入， ，符合；C选项代入， ，不符合； D选项代入，，不符合；故选：B． 2．将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变 D【解析】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故选D． 3．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ） A．或2 B． C．2 D． B【解析】函数向右平移3个单位，得：；再向上平移1个单位，得：+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴+1 解得：或，∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴＞0，∴＜0，∴，故选：B． 4．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 D【解析】∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6． 故选：D． 5．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A． B．函数的最大值为 C．当时， D． D【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴，即b=2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＞0，故A正确；当x=-1时，y取最大值为，故B正确；由于开口向上，对称轴为直线x=-1，则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），∴当时，，故C正确；由图像可知：当x=-2时，y＞0， 即，故D错误；故选D． 6．已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 A【解析】当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意； 对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意； 故选A． 7．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A． B．函数的最大值为 C．当时， D． D【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴，即b=2a，则b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＞0，故A正确；当x=-1时，y取最大值为，故B正确；由于开口向上，对称轴为直线x=-1，则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），∴当时，，故C正确；由图像可知：当x=-2时，y＞0， 即，故D错误；故选D． 8．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ） A．或2 B． C．2 D． B【解析】函数向右平移3个单位，得：；再向上平移1个单位，得：+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴+1即解得：或∵抛物线的对称轴在轴右侧 ∴＞0∴＜0∴故选：B． 9．已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 A【解析】∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点∴＜0，故②错误 ∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x交于这两点∴＜0可化为，根据图象，解得：1＜x＜3故④错误．故选A． 10．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ） A． B． C． D． D【解析】∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴 ，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限，∴D选项满足题意．故选D． 11．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C．D． A【解析】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．故选A． 12.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 7 5 5 7 11 … 若点P（1，y1），Q（m﹣1，y2）都在该函数图象上，则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2 D【解析】∵x＝﹣1时，y＝5；x＝0时，y＝5，∴抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向上， ∵点Q（m﹣1，y2），P（1，y1）在抛物线上，∵（，∴|m﹣1|≤|1|，∴y1≥y2，故选：D． 13.已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 1 ﹣1 1 7 17 … 则关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A．有最小值 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 C．图象对称轴是直线x＝2 D．图象开口向上 C【解析】∵当x＝﹣2时，y＝1，当x＝0时，y＝1，∴对称轴直线为x＝﹣1，故C说法错误，符合题意； ∵x＝﹣1，y＝﹣1，∴函数有最小值，开口向上，故A、D选项说法正确，不符合题意；∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故B选项说法正确，不符合题意．故选：C． 题型二 二次函数的实际应用 类型一 抛物线型问题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论正确的是（　　） A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球距离地面的最大高度为 C．足球被踢出时落地 D．足球被踢出时，距离地面的高度是 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，根据表格中的数据和题意可以求得相应的函数解析式，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 代入表中前三对值得， 解得， ∴， ∴足球飞行路线的对称轴是直线，故选项A的结论正确，符合题意； 当时，取得最大值，此时， ∴足球距离地面的最大高度为，故选项B的结论错误，不符合题意； 当时，得或， ∴足球被踢出时落地，故结论C的结论错误，不符合题意； 当时，， ∴足球被踢出时，距离地面的高度是，故选项D的结论错误，不符合题意； 故选：A． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 3．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 4．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 5．某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，能用待定系数法求出二次函数表达式及将一般式化成顶点式是解决本题的关键． （1）设抛物线表达式为：，将，代入求解即可； （2）将（1）中抛物线配成顶点式即可求出最大高度，再求出函数值为0时自变量的值即可得到最远飞行距离； （3）设平移后的抛物线为：，将，代入求出对应的k即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入中得，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴飞机飞行的最大高度为． 当时，，解得，（舍去）， ∴飞机飞行的最远距离为． （3）解：∵，， ∴，． 设平移后的抛物线的解析式为， 将代入得，解得， 将代入，得，解得， ∴，即． 6．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】(1)①3，6；②； (2)①8，② 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 7．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)水火箭距离地面的竖直高度米 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 8．如图是身高为的小明在距篮筐处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方的A处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，最终投入篮筐所在的B内．以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式； (2)当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到，则小刚与小明的距离在什么范围内才能在空中截住篮球？ (3)当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向前走多远？ (投篮时，球从下方穿过篮筐无效) 【答案】(1) (2)小明投篮出手时，小刚与小明的距离在以内才能在空中截住篮球 (3)若小明想投中篮筐，则应该向前走 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设抛物线的函数表达式为，可得抛物线为，代入，求出后即可得解； （2）令，求得，，据此求解即可； （3）依据题意，设球出手时，小明跳离地面的高度为，则球出手时，球的高度为，代入抛物线，从而可得，故球出手时，小明跳离地面的高度是，再结合当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，可得小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为，再令时，，求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的函数表达式为， ， 抛物线为， 由于抛物线过， ． ． 抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 此时小明与篮筐的距离为， ， 小明投篮出手时，小刚与小明的距离在以内才能在空中截住篮球； （3）解：设球出手时，小明跳离地面的高度为，则球出手时，球的高度为． 抛物线 过点A， ． ． 球出手时，小明跳离地面的高度是． 当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同， 小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为． ， 当时，， 解得，， 小明与篮筐的距离为或时，可以投中篮筐， 他应该向前走或（不符合题意，舍去）， 若小明想投中篮筐，则应该向前走． 类型二 利润费用最值问题 9．食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元 (2)W的最大值为10562.5元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键． （1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可； （2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，                         依题意得： ， 解得， 答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元． （2）解：依题意：获得的利润 ， 由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么 ， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为10562.5， 答：W的最大值为10562.5元． 10．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大 (3)2 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键． （1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解； （3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少， ∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值． ∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； （3）解：设日获利为元，由题意得： ， 对称轴为， 当时，，则当时，有最大值，将代入，得： ， 当时， ， 解得（舍去）； 当，，则当时，有最大值，将代入，得： 当时， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为． 11．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 12．某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 13．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】(1) (2)销售产品所获利润是万元； (3)当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【详解】（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； （3）解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 14．“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】(1)， (2) (3)在试销售的天中，共有天销售额超过元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 类型三 几何图形（面积）问题 15．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 16．某小型花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元． (1)设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______． (2)育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？ (3)若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值． 【答案】(1)；； (2) (3)38400元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，正方形和长方形的面积，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式． （1）根据矩形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据，C两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先根据花卉与的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设，，三种花卉的总产值之和元，得到关于的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵育苗区的边长为，活动区的边长为， ∴花卉的面积为：， 花卉的面积为：， 花卉的面积为：， 故答案为：；； （2）由（1）知：花卉A的面积为：， 花卉的面积为：， 由图可知：， ∵，C花卉每平方米的产值分别是100元、300元， ∴，C两种花卉的总产值分别为百元和百元， ∵，C两种花卉的总产值相等， ∴ 解得：(舍去)，， ∴当育苗区的边长为时，，C两种花卉的总产值相等； （3）根据题意得：， 解得：， ∴ 设，，三种花卉的总产值之和百元， ∴， 整理，得：， ∵，对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，最大，且(百元)， ∴，，三种花卉的总产值之和的最大值是元． 17．一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)直接写出图2中抛物线的解析式______； (2)倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； (3)将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先确定，，，的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，可得旋转前与水平方向的夹角为，即，求出点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，并与抛物线解析式联立，求出点的坐标，进而求出的长；把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度，联立和抛物线得到一元二次方程，根据有位于交点，利用根的判别式等于0，求出的值，确定的解析式，进而求出点的坐标，的长，利用三角函数求出即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意知：，，，，，， 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 把点，代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）解：液面下降了cm， 此时液面距碗底距离为，即， 当时，， 解得（舍去），， 液面的宽度为cm； （3）解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，如图： 将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤， 当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，即， 设直线的解析式为，与轴交于点，如图： 由题意知：点，， ，， ， 即点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 由，解得或， ，， ． 把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度， 联立， 整理为：， 只要一个交点， ， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 点， ， 与水平面的夹角为， 直线与水平面的夹角为，即， 在中， ， 即碗内面汤的最大深度为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数以及解直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 18．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 19．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 20．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 类型四 喷水问题 21．某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 /米 (1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围； (2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值； (3)喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？ 【答案】(1)； (2)米 (3)至少要为米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，灵活运用二次函数的性质解题是关键． （1）依据题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴，得顶点为，可得最大高度；由题意可设抛物线的关系式为，结合过，即可求解； （2）依据题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上，可得此时解析式为，又过点，求出后得出解析式，然后令即可； （3）依据题意，设喷泉口升高的最大值为米时，解析式为，又过点，从而可得解析式，再令，求出，然后与喷水池半径比较即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴是直线， 顶点为， 水流喷出的最大高度为2米， 故答案为：2； 由题意可设抛物线的关系式为：， 又抛物线过， ， ， 函数关系式为； （2）解：由题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上， 此时解析式为， 由题意此时抛物线过点， ， ， 此时解析式为， 令， ， 喷水口升高的最小值为（米； （3）解：由题意，喷泉口升高的最大值为米时，此时， 设抛物线解析式为， 又过点， ， ， 解析式为， 令， ， 或（不合题意，舍去）， 花卉的种植宽度至少为：（米． 花卉的种植宽度至少要为米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外． 22．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 23．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 类型五 拱桥问题 24．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 25．某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 【答案】(1) (2) (3)方案一中的种植宽度要大些 【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求得抛物线的函数表达式是解答的关系． （1）根据垂径定理和勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可； （3）根据题意，分别求得两个方案中的长，然后比较大小可得结论． 【详解】（1）解：如图1，设圆的半径为， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，解得， 即圆的半径为； （2）解：根据题意，，，， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入中，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （3）解：如图1，连接， 由题意，，，，， 在中，，， 由勾股定理得， ∴； 如图4，由题意，点H和点G的纵坐标均为1， 将代入得，解得， ∴， ∵， ∴方案一中的种植宽度要大些． 26．贵州都匀是一座以河为伴、山水交融的“山水桥城”，大大小小的桥梁随处可见，被誉为“桥梁博物馆”．都匀市某石拱桥如图1，拱桥截面可视为抛物线的一部分，若拱顶到水面的距离为，水面宽度为，以水面与桥截面左侧的交点为原点，水面为横轴建立平面直角坐标系（如图2）． (1)求桥拱所在抛物线的函数解析式． (2)若水位下降，有一只宽为，高为的清洁船能否顺利通过该石拱桥？请说明理由． (3)某相关部门要对石拱桥进行维护，为了安全，现将一块三角形形状的安全围布通过平移后遮住桥体（如图3）．已知，，且，．若安全围布向桥拱所在抛物线方向平移个单位长度后，桥体全部在安全围布内部（不包括边界），求的取值范围． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当船从桥的正中间经过时，即，，当水面下降1米时，水面距离桥的距离为（米）米，即可求解； （3）当向左平移个单位和抛物线相切时，则平移后的的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式为：，则，求出；同理可得：的表达式为：，当向左平移个单位和抛物线相切时，则平移后的的表达式为：，同理可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将代入上式得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：可以，理由： 当船从桥的正中间经过时，即，， 当水面下降1米时，水面距离桥的距离为（米）米， 故清洁船能顺利通过该石拱桥； （3）解：过点作于点， 在中，，． 故设，则， 则，则， 即，则， 如图3，则点、的坐标分别为：、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当向左平移个单位和抛物线相切时， 则平移后的的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式为：， 则， 解得：； 由点、的坐标得， 设的表达式为 把、， 的表达式为：， 当向左平移个单位和抛物线相切时， 则平移后的的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式为：， 则， 解得：； 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的实际应用，平移性质，涉及到解直角三角形、二次函数的应用，分类求解是解题的关键． 题型三 二次函数与几何图形综合题 类型一 与线段有关问题 1.已知抛物线y=a(x－2)2+c经过点A(－2,0)和点C(0,)，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长． 解：（1）将点A(-2,0)，C(0,)代入 y = a(x - 2)2 + c，得：，解得：． ∴抛物线的解析式为y=(x－2)2+3 ． ∴顶点D的坐标为(2,3)． （2）∵A,B两点为抛物线与x轴两交点，D为坐标顶点， ∴DA=DB，故∠DAB=∠DBA， ∵DE=EF， ∴∠EDF=∠EFD． ∵∠EFD=∠FEB+∠EBD，∠DEF=∠DAB， ∴∠EDF=∠FEB+∠DEF， ∴∠BDE=∠BED， 故BD=BE． ∵A(-2,0)，D(2,3)， ∴利用对称性可得B(6,0)， 经计算BD=5, 故BE=5． 【变式1】在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P的坐标； (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (1)解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． (2)解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为， 设点的坐标为，则， 由旋转的性质得：， ，即， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 当时，， 所以点的坐标为． (3)解：抛物线的顶点的坐标为， 则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点， 这时点落在点的位置，且， ，即，恰好在对称轴直线上， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为． 【变式2】抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长． 解：（1）由题意，将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）对于二次函数， 当时，，解得或， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ，解得， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 将点代入得：， 解得或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，点的坐标为或； （3）二次函数的顶点坐标为， 设点的坐标为， ， ，解得， ， 则平移后的二次函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接， ， 轴， ， ， 由两点之间线段最短得：的最小值为， 由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合， 则点的纵坐标与点的纵坐标相等， 即，解得， 则， ， ． 类型二 与图形面积有关问题 2.已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积； （3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 解：（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中， ， 解得， ， 当时，y=4， （2） 令或x=3 设BC的解析式为 将点代入，得 ， 解得， 设直线EF的解析式为,设点E的坐标为， 将点E坐标代入中，得， 把x=m代入 即 解得m=2或m=-3 ∵点E是BC上方抛物线上的点 ∴m=-3舍去 ∴点 （3）过点A作AN⊥HB， ∵点 ∵点，点 设，把（-1，0）代入，得b= 设点 过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR 且点S的坐标为 若 在和中， 或 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）， 则， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知： AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E， ∴AE=PE==t，即E（3-t，0）， 又Q（-1+t，0）， ∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ = = ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC=，AB=4， ∴0≤t≤3， ∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4； （3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F， ∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°， ∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°， ∴∠PMF=∠QPE， 在△PFM和△QEP中， ， ∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t， ∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t， ∴点M的坐标为（3-2t，4-t）， ∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3， 解得：t=或（舍）， ∴M点的坐标为（，）． 【变式2】已知：直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一动点，连接，为锐角，在上方以为边作正方形，连接，设． （1）如图1，当点在线段上时，判断与的位置关系，并说明理由； （2）真接写出点的坐标（用含的式子表示）； （3）若，经过点的抛物线顶点为，且有，的面积为．当时，求抛物线的解析式． 解：（1）BE⊥AB，理由如下： 对于直线y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1， ∴B（0，1），A（1，0）， ∴OA=OB=1， ∴∠OBA=∠OAB=45°， ∵四边形OCDE是正方形， ∴OC=OE，∠COE=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠BOE， ∴△AOC≌△BOE（SAS）， ∴∠OBE=∠OAC=45°， ∴∠EBC=∠EBO+∠OBA=45°+45°=90°， 即BE⊥AB； （2）作CM⊥OA于点M，作EN⊥x轴于点N，如图1，则∠CMO=∠ENO=90°， ∵∠EON+∠NEO=∠EON+∠COM=90°， ∴∠NEO=∠COM， 又∵OC=OE， ∴△MOC≌△NEO， ∴CM=ON，OM=EN， 在△ACM中，∠CMA=90°，∠MAC=45°，AC=BE=t， ∴， ∴， ∵点E在第二象限， ∴点E的坐标是（）； （3）∵抛物线过点A（1，0）， ∴a+b+c=0， ∵， ∴消去c可得b=-4a， ∴抛物线的对称轴是直线x=2， 如图1，当时，由（2）可得， ∴， ∴， ∴，即k=1， ∴△POA的面积为， 即，解得， ∵a＞0， ∴顶点P的纵坐标是-1， ∴点P（2，-1）， 设， 把点A（1，0）代入，可求得a=1， ∴抛物线的解析式是． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得 ，解得：， ∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4， （2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4， ∴C（0，-4）， 抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为 ∵点D与点C关于直线l对称， ∴D（3，-4）， ∵A（-1，0）， 设直线AD的解析式为y=kx+b； ∴，解得：， ∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1， 设P（m，m2-3m-4）， 作PE∥y轴交直线AD于E， ∴E（m，-m-1）， ∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3， ∴， ∴， ∴当m=1时，的面积最大，最大值为：8 （3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1， ∴直线AD与x轴正方向夹角为45°， ∴抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位， ∵，，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4）， 设平移后的抛物线的解析式为 则，解得：， ∴平移后y1=x2-11x+20， ∴抛物线y1的对称轴为：， ∵P（1，-6）， ∴E（5，-10）， ∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 设G（n，n2-11n+20），F（，y）， ①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ∴或或 类型三 与特殊四边形有关问题 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴OB=1， ∴， 把点B、D坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线， ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴由两点距离公式可得， 设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； ②当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或； （3）由题意可得如图所示： 连接OM、DM， 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，， ∴，DM=EM， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴， ∴四边形BOMP是平行四边形， ∴OM=BP， ∴， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：， ∴线段OD的解析式为， ∴． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键． 【变式1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． 解：（1）∵点在抛物线的图象上， ∴ ∴， ∴点的坐标为； (2)过作于点，过点作轴交于点，如图： ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为，即点到直线的距离值最大； (3)存在．∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，） 分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图， ∵A（-5，0），C（0，5）， ∴，即 解得，x=3. ∴ ∴点M的坐标为（3，-16） ②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图， 方法同①可得，， ∴ ∴点M的坐标为（-7，-16）； ③当AC为对角线时，如图， ∵A（-5，0），C（0，5）， ∴线段AC的中点H的坐标为，即H（） ∴，解得，。 ∴ ∴点M的坐标为（-3，8） 综上，点的坐标为：或（3，-16）或． 【变式2】若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． (1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． (1)解：二次函数的图象经过点， ． 又抛物线经过点，对称轴为直线， 解得∶ 抛物线的表达式为． (2) 解∶①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得∶ ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 点M坐标为． 【变式3】如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 类型四 全等问题 4.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3， 故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3）， 故OA＝OC＝3， ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等， 设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2， 故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5）， 故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）； 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上， 综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)． (1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8）， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2−3x−8； ∵y＝x2−3x−8＝ (x−3)2− ， ∴抛物线的对称轴为直线x=3． 又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）． ∴点B的坐标为（8，0）， 设直线L的函数表达式为y=kx． ∵点D（6，-8）在直线L上， ∴6k=-8，解得k=- ， ∴直线L的函数表达式为y=-x， ∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点， ∴点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4， ∴点E的坐标为（3，-4）； （2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE． ∵OE=CE=5， ∴FO=FC， ∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4， ∴x2-3x-8=-4，解得x=3± ， ∴点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）． 【变式2】已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点． 　　　 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，； 解：（1）将点，代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）由题意得：点的坐标为， 对于二次函数， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， ， ，， ， ，即， 解得或（与不符，舍去）， 故当时，； 类型五 特殊三角形的判定问题 5.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：yx2x+4； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，4）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4； 设点M（m，0），则点P（m，m2m+4），点Q（m，﹣m+4）， ∴PQm2m+4+m﹣4m2m， ∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°， ∴∠PQN＝∠BQM＝45°， ∴PN＝PQsin45°（m2m）（m﹣2）2， ∵0，故当m＝2时，PN有最大值为； （3）存在，理由： 点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5， ①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E， 则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25， 解得：m＝±（舍去负值）， 故点Q（，）； ②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5， 在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0）， 故点Q（1，3）； ③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m（舍去）； 综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）． 【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC， 设点E（0，m），则AE，CE＝|m+3|， ∵△ACE是等腰三角形， ∴①当AC＝AE时，， ∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去）， ∴E（0，3）， ②当AC＝CE时，|m+3|， ∴m＝﹣3±， ∴E（0，﹣3）或（0，﹣3）， ③当AE＝CE时，|m+3|， ∴m， ∴E（0，）， 即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3）、（0，﹣3）、（0，）； 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BCE的形状，并说明理由； 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8）， ∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8， ∵与y轴交于点C（0，6）， ∴把点C（0，6）代入得：a=， ∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6； （2）△BCE是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6， ∴A（-2，0），B（6，0）， ∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80， ∴BE2=BC2+CE2， ∴∠BCE=90°， ∴△BCE是直角三角形； 【变式3】如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点． （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点的坐标及直线的表达式； （3）判断的形状，试说明理由； 解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点 ∴，二次函数表达式可设为： 将，代入得： 解这个方程组得 ∵二次函数的函数表达式为 （2）∵点为二次函数图像的顶点， ∴， ∴顶点坐标为：， 设直线的函数表达式为，则有： 解之得： ∴直线的函数表达式为 （3）是等腰直角三角形， 过点作于点，易知其坐标为 ∵的三个顶点分别是，，， ∴， 且满足 ∴是等腰直角三角形 【变式4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE． ①求直线BD的解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x+2）（x﹣4）x2+x+4； （2）①如图1， 设直线AC的解析式为y＝kx+b'， 将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝2x+4， 过点E作EF⊥x轴于F， ∴OD∥EF， ∴△BOD∽△BFE， ∴， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， ∵BD＝5DE， ∴， ∴BFOB4， ∴OF＝BF﹣OB4， 将x代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（）+4， ∴E（，）， 设直线BD的解析式为y＝mx+n， ∴， ∴， ∴直线BD的解析式为yx+2； ②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点Q（1，1），如图2， 设点P（x，x2+x+4）（1＜x＜4）， 过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H， ∴PG＝x﹣1，GQx2+x+4﹣1x2+x+3， ∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°， ∴∠GPQ+∠PQG＝90°， ∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°， ∴∠PQG+∠RQH＝90°， ∴∠GPQ＝∠HQR， ∴△PQG≌△QRH（AAS）， ∴RH＝GQx2+x+3，QH＝PG＝x﹣1， ∴R（x2+x+4，2﹣x）， 由①知，直线BD的解析式为yx+2， ∴x＝2或x＝4（舍）， 当x＝2时，yx2+x+44+2+4＝4， ∴P（2，4）． 类型六 相似三角形问题 6.已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）令，则， ∴， ∴． 令，则． ∴． （2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∵点P在y轴上， ∴ ∴当时，． 设， i）当时，则， ∴． ∴ ii）当时，则， ∴ ∴． iii）当时，则，与矛盾． ∴点P不存在 ∴或． 【变式1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式和m的值； （2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由； （1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，对称轴为直线， ∴A（1，0）， 设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1， ∴二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即：， ∵直线y＝－2x＋m经过点A， ∴0=-2×1+m，解得：m=2； （2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2， 又∵直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E， ∴当x=0时，y=2，即D（0，2）， 联立，解得：，， ∵点E在第二象限， ∴E（-5，12）， 过点E作EP⊥y轴于点P， ∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°， ∴， ∴P（0，12）； 过点E作，交y轴于点，可得， ∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°， ∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE， ∴，即：，解得：， ∴（0，14.5）， 综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）； 【变式2】如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． (1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； (3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由翻折可知：. 令，解得：，， ∴，， 设图象的解析式为，代入，解得， ∴对应函数关系式为=． (2) 解：联立方程组， 整理，得：， 由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根， 由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点； (3) 解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称， ∴点N的横坐标为1，∴； 如图2，当时，，此时，点纵坐标为2， 由，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以； 如图3，当时，，此时，直线的解析式为， 联立方程组：，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以， 因此，综上所述：点坐标为或或． 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 （1）求证：∠ACB=90° （2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F． ①求DE+BF的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标． 解：（1）令x=0，得 令得 ， （2）①设直线BC的解析式为：，代入，得 设 即DE+BF的最大值为9； ②点G是AC的中点， 在中， 即为等腰三角形， 若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似， 则① 又 ， 或 经检验：不符合题意，舍去， ②， 又 整理得， ， 或， 同理：不合题意，舍去， 综上所述，或． 【变式4】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E． （1）求二次函数的表达式； （2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度； 解：（1）∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴B(3，0)，C(0，3)， ∵二次函数的图象过B、C两点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为：； （2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y轴， ∴OB=OC， ∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°， ∴以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或， 设F(m，-m+3)，则E(m，)， ∴EF=-(-m+3)= ，CF=， ∴或， ∴或（舍去）或或（舍去）， ∴EF==或； 【变式5】如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． （1）抛物线过点和点 抛物线解析式为： （2） 为等腰直角三角形 抛物线的对称轴为 点E的横坐标为3 又点E在直线BC上 点E的纵坐标为5 设 ①当MN=EM，,时 解得或（舍去） 此时点M的坐标为 ②当ME=EN，时 解得：或（舍去） 此时点M的坐标为 ③当MN=EN，时 连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，， 此时四边形CMNE为正方形 解得：（舍去） 此时点M的坐标为 在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【变式6】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设． 当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2） 将B、C坐标代入抛物线得 ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵抛物线的解析式为：， ∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2） ∴AO=1，CO=2，BO=4， ∴，又=90°， ∴， ∴， ∵与相似 ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得 解得：（舍去），， ∴点P的坐标为：（3，-2） 学科网（北京）股份有限公司 $