2026年中考数学二轮复习备考：二次函数中的面积问题专题练

**基本信息** 聚焦二次函数面积问题，以“基础求解—面积最值—动态综合”分层设计，强化从代数表达到几何应用的知识迁移，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数解析式求解|每题第(1)问，通过待定系数法巩固函数概念，占比约30%| |提升层|面积计算与最值|第(2)问，结合割补法、铅垂高法求面积，渗透函数最值思想，占比约40%| |综合层|动态几何与多知识点融合|第(3)问，涉及动点、相似、平移等，需代数几何综合推理，占比约30%|

2026年初中数学中考二轮复习备考：二次函数中的面积问题专题练 1．如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 2．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 3．已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 5．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 6．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 7．如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，若，试求点的坐标； (3)教材中对投影是这样描述的：一般的，用光线照射物体，在某平面上得到的影子，叫做物体的投影．同样，我们也可以得到图象在直线上的投影．如图，用光线沿水平方向左右照射，抛物线，两点之间的部分在轴上的投影就是线段．如图，点是抛物线上两点．设抛物线上，两点间的部分在轴上的投影为， ①当线段时，试求的值：②当线段时，直接写出的取值范围． 9．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点，点分别是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点在直线下方时，求面积的最大值； (3)如图，直线与线段相交于点，当与相似时，符合条件的点有_____个位置，直接写出此时点的坐标． 10．如图所示，已知抛物线经过点，，，与直线交于两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； (2)在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的面积为？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标； (4)当时，函数有最小值为，请写出的值． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为，点是抛物线上一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合），过点作，垂足为点，连接交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长；（用含的式子表示） (3)若，请直接写出的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 13．已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是直线　　； (2)当且时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； (3)若二次函数图象经过点，且交y轴于B点，B、C两点关于对称轴对称． ①如图1，该图象的顶点为D，其对称轴与交于点E，在该图象上是否存在点F，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点F坐标，若不存在，请说明理由； ②如图2，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，画出草图，并求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 2．(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 3．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）代入点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）（i）先通过对称轴公式求出D的坐标，设出点P的坐标，利用等腰直角三角形的性质，确定的中点与点P和点D的关系，并构建方程求出点P的坐标，即可计算求出各线段长，进而计算出面积； （ii）待定系数法求出直线的解析式，从而表示出点N的坐标，进而用含p的式子表示，得到关于p的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：代入和，得， 解得， ∴； （2）解：（i）由（1），得抛物线的对称轴为直线， ∴， 如图，设的中点为，则，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴； （ii）设直线：， 代入，，得， 解得， ∴， 由题意，得，， ∴， ∵， 当时，取得最大值． 4．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式和点C的坐标求解即可； （2）求出，得到，则；设，则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，可求出，据此可得答案； （3）求出图象M对应的抛物线解析式，进而求出图象M对应的抛物线恰好经过点A，点C和恰好与直线只有一个交点时m的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，的面积分别为，， ∴， ， ∴ ， ∵点P是抛物线在第四象限内的一点， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：原抛物线的函数解析式为，则顶点坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G， 则图象G对应的抛物线的顶点坐标为， ∵将图象G沿直线平移，得到新的图象M， ∴图象M对应的抛物线的顶点在平行于的直线上运动，即在直线上运动， 图象对应的抛物线的顶点坐标为， ∴图象对应的抛物线解析式为， 当图象过点（由（2）可得点A坐标）时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； ∴由函数图象可知，当时，符合题意； 同理可得直线的解析式为， 当抛物线与直线恰好只有一个交点时， 联立得， 即； 则， 解得， ∴， ∵， ∴此时抛物线与直线的交点恰好在线段上，符合题意； 综上所述，的范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 5．(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 6．(1)，顶点 (2)存在， (3)满足条件的点坐标为或或或 【分析】（1）点和代入解方程组求出a、b的值即抛物线解析式，配方即得顶点坐标； （2）过点作轴的平行线交于点，求出直线的解析式，设点，点，由，建立方程，解方程即得； （3）设点，点,分当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，两种情况解答． 【详解】（1）解（1）∵抛物线经过两点和， ∴， 解得 抛物线的表达式为：， ∵， ∴顶点； （2）解：存在． 理由：设直线的解析式为, 把，代入， 得, 解得， ∴直线， ∵二次函数对称轴为直线， ∴点， 过点作轴的平行线交于点， 设点，点， ， 又， 即， 即，解得：或（舍去）， 故点； （3）设点，点， 当是平行四边形的一条边时， ∵，， 点向左平移个单位向下平移个单位得到， 同理，点向左平移个单位向下平移个单位为，即为点， 即：，， 而， 解得：或， 故点或； 当是平行四边形的对角线时， ∴由中点公式得：，而， 解得：， 故点或； 综上，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，二次函数与平行四边形综合，分类讨论，是解题的关键． 7．(1)抛物线的解析式为，顶点 (2) (3)存在，N的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数与面积的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后运用待定系数法求得函数解析式，然后化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）如图：过E作轴交于H，设，则，则，易得，当时，取最大值，再确定点E的坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，先求得，结合，可得，，， ， ，则，以B，P，N为顶点的三角形与相似时，N在B左侧，只需满足或，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点B，点C， ∴令得：，令得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点． （2）解：如图：过E作轴交于H， 设，则， ∴， ， ， ∴当时，取最大值， 此时， ∴． （3）解：存在以B，P，N为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图：过P作轴于Q， 在中，令得，解得：或， ∴， ∵，， ∴，，， ， ， ∴， 以B，P，N为顶点的三角形与相似时，N在B左侧，只需满足 或， 当时，， 解得：，即； 当时， 解得：，即． 综上，点N的坐标为或． 8．(1) (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，投影的定义；理解物体的投影、熟练利用二次函数的性质进行求解是解题关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）①根据投影的定义结合题意，分别求得的表达式，根据，建立方程，解方程，即可求解； ②同①可得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ 解得： ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴ 如图，设交轴于点， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，则 ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： 直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）①∵点在抛物线上， ∴， ∵ ∴顶点坐标为 情形一，当即时，当时，随的增大而减小， ∴ ∵ ∴，解得： 情形二，当时，则时，随的增大而增大， ∴ 解得： 情形三，当时，即，，同理解得： （舍去）（舍去）， 综上所述，或 ②同①可得 ∵ ∴ 解不等式或或 解得：或 综上所述：或 9．(1)抛物线的解析式为； (2)面积的最大值为； (3)，此时点的坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设与轴相交于点，直线与抛物线相交于点，先求出直线的解析式为，当时，，则它与轴的交点坐标为，所以，则，又点在直线下方，则，故当时，面积的最大值为； （）先求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后分如图，当时，如图，当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将点，点，点代入得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设与轴相交于点，直线与抛物线相交于点， 设，直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为，当时，， ∴它与轴的交点坐标为， ∴， ∴ ， ∵点在直线下方， ∴， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴， 同理得：直线的解析式为，直线的解析式为， 如图，当时， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，， 联立，解得：， ∴，，； 如图，当时，作轴于， 由，，得，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 设， ∴，解得：或（舍去）， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立，解得，， ∴， 故答案为：， 综上可得：符合条件的点有个位置，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．(1)， (2)存在，或 (3)最大值为，此时 (4)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何应用等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再联立函数解析式，解方程组可求出点坐标； （）由二次函数解析式可得对称轴为直线，设直线与对称轴的交点为，可得，设，则，即得，解方程求出的值即可求解； （）设，过点作轴的垂线交直线于点，则，可得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分，和三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由， 解得或， ∴； （2）解：存在，理由如下： ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线与对称轴的交点为， 把代入，得， ∴， ∵点在抛物线对称轴上， ∴可设，则， ∴， 解得或， ∴在抛物线对称轴上，存在一点或，使的面积为； （3）解：设， 过点作轴的垂线交直线于点，如图，则， ∵点为直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时； （4）解：由（）知，抛物线的对称轴为直线， ①当，即时，自变量都在对称轴左侧， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 解得（不合题意，舍去）或， ∴； ②当即时，自变量位于对称轴两侧， 当时，有最小值，此时， 解得（不合题意，舍去）； ③当时，自变量都在对称轴右侧， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，的值为或． 11．(1)抛物线的表达式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据抛物线的性质，确定点B，点C的坐标，再确定直线的解析式，再根据解析式确定点D的坐标， 则，解答即可． （3）设， 直线的解析式为，解得直线的解析式为：．设与的交点为G，故故， 根据三角形面积关系，构造不等式，构造二次函数确定取值范围，结合已知确定答案即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求不等式的解集，面积分割法，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为，点C的坐标为， 又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合）， 故，且， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 令， 解得， 故， ∴. （3）解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为，点C的坐标为， 又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合）， 故，且， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设与的交点为G， 故 故， 故， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 当时，解得或， ∴时，t的取值范围是， ∵， ∴． 12．(1)； (2)①的最大值为；②点的坐标为． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设点坐标为，结合题意分别求出，进而可得，运用二次函数的性质求解即可； ②延长交轴于点，设点横坐标为，结合题意分别求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设点的横坐标为，则点坐标为， ∵是线段下方， ∴， ∵设直线表达式为， 把，代入得，解得， 直线表达式为， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∵将代入，解得， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； ②延长交轴于点，设点横坐标为，则点坐标为， ∴点坐标为，由①得， ∵， ∴， ∵ ∴， 整理得：，即：， 解得，（舍去） 当时，， ∴点的坐标为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想是解题的关键． 13．(1)； (2)， (3)①存在，点F的坐标为或；②图见解析， 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可； （2）首先得到二次函数开口向上，判断出当时，取得最大值，当时，取得最小值，得到；然后代入解析式求出，得到，然后将代入即可求出点R的坐标； （3）①求出所在直线的表达式为，得到，设，如图所示，连接，，，过点F作轴交所在直线于点G，得到，然后分两种情况讨论，根据的面积和的面积相等列方程求解即可； ②过点作交轴于点，则，当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值，进而求解． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴对称轴是直线； （2）解：∵对称轴是直线 ∵ ∴二次函数开口向上 ∵当时，，， ∴当时，取得最大值，当时，取得最小值， ∵函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为， ∴； 将代入得， 解得 ∴二次函数 将代入得， ∴； （3）解：①∵二次函数图象经过点， ∴ 解得， ∴二次函数 ∴ 当时， ∴ ∵B、C两点关于对称轴对称 ∴ 设所在直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 ∴当是， ∴ ∴， 设 如图所示，连接，，，过点F作轴交所在直线于点G， 当时， ∴ 如图所示，当点F在上方时， ∴ ∴ ∴， ∵的面积和的面积相等 ∴ 解得（舍去）， 将代入得，； 如图所示，当点F在下方时，过点F作轴交延长线于点G， ∴ ∴ ∴， ∵的面积和的面积相等 ∴ 解得，（舍去） 将代入得，； 综上所述，点F的坐标为或； ②设点，的横坐标分别为，， 联立和抛物线的表达式得， 整理得：， ，， ∴， 代入得， 整理得，， ∵，， ∴可得所在直线表达式为， 当时，， ， 点在直线上， 设直线交轴于点S， 当时， 解得， ∴， ∴， 过点作交轴于点， ∴， ∴当取得最大值时，有最大值， ∴当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值，如图， 设的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式并整理得：， ∴， 解得，此时， 的最大值为． 【点睛】主要考查了二次函数和与几何综合，一次函数的解析式与性质，平行线分线段成比例，一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $