7.2 排列（第1课时 排列、排列数公式）分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，实现从排列概念理解到综合应用再到拓展探究的递进，培养数学抽象、逻辑推理与创新意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|排列概念、排列数公式、简单应用|多选题辨析排列本质（如加减乘除是否为排列），基础计算题（如第3题解排列数方程），培养抽象能力与运算能力| |B层|相邻/不相邻排列、有限制条件排列|综合应用题（如第12题0-5组成6位数且个位小于十位），证明题（如第16题排列数恒等式推导），发展推理能力与模型意识| |C层|新定义“n!!”及阶乘性质|探究题（如第18题分析双阶乘与阶乘关系），拓展数学眼光，提升创新思维|

7.2　排列 第1课时　排列、排列数公式 A层 基础达标练 1.(多选题)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做以下数学运算,并分别计算它们的结果.在这些问题中,相应运算可以看作排列问题的有(　　) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 2.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有(　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 3.已知=10,则n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 4.若要在某跨海大桥上建造风格不同的3个报警电话亭和3个观景区,要求它们各自互不相邻,则不同的排法种数为(　　) A.144 B.72 C.36 D.9 5.要从a,b,c,d,e 5个人中选出1名组长和1名副组长,但a不能当副组长,则不同的选法种数是(　　) A.20 B.16 C.10 D.6 6.(多选题)下列等式恒成立的是(　　) A.=(n-2) B. C.n D. 7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法　　　　　种.  8.不等式-n<7的解集为　　　　　.  9.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案? B层 能力提升练 10.下列各式中与排列数相等的是(　　) A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. D. 11.某班级从A,B,C,D,E,F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛,其中第一棒只能在A,B中选一人,第四棒只能在A,C中选一人,则不同的选派方法共有(　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 12.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有(　　) A.300个 B.464个 C.600个 D.720个 13.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有(　　) A.504种 B.960种 C.1 008种 D.1 108种 14.英国数学家泰勒(B.Taylor,1685—1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式,我们能得到e=1++…+(其中e为自然对数的底数,0<θ<1,n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1),其拉格朗日余项是Rn=.可以看出,右边的项用得越多,计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn,当Rn不超过时,正整数n的最小值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 15.8人排成前后两排,每排4人,其中甲、乙在前排,丙在后排,共有　　　　种排法.  16.求证: (1); (2)=1×3×5×…×(2n-1). 17.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中有2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种. (1)一个唱歌节目开头,另一个唱歌节目放在最后压台; (2)2个唱歌节目互不相邻; (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻. C层 拓展探究练 18.(多选题)对于正整数n,定义“n!!”如下:当n为偶数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)…6·4·2;当n为奇数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)…5·3·1,则下列结论正确的是(　　) A.(2 021!!)·(2 020!!)=2 021! B.2 004!!=21 002·1 002! C.2 020!!的个位数不可能是0 D.2 005!!能被5整除 参考答案 1.BD　因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题,而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题.故选BD. 2.A　第1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有种不同的摆放方法; 第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有种不同的摆放方法. 根据分步计数原理,共有=24(种)不同的摆放方法.故选A. 3.B　由=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5. 4.B　若电话亭用△表示,观景区用○表示,先排电话亭有种方法.当观景区插入电话亭所形成的空时,只有△○△○△○或○△○△○△两类,观景区有2种排法.故共有2=72(种)排法. 5.B　不考虑限制条件有种选法,若a当副组长,有种选法,故a不当副组长,有=16(种)选法. 6.ACD　·(n-2)=(n-2),A正确; ·(n+1)!≠,B不正确; n=n×(n-1)×(n-2)×…×2=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=,C正确; 成立,D正确.故选ACD. 7.14　(方法一)若第一节排数学,共有=6(种)排法; 若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有2×2×2=8(种)排法. 根据分类计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14. (方法二　间接法)4节课全部可能的排法有=24(种),其中体育排第一节的有=6(种),数学排最后一节的有=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有=2(种),故符合要求的排法有-2×=14(种). 8.{3,4}　由-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,整理得n2-4n-5<0,解得-1<n<5.又n-1≥2且n∈N*,即n≥3且n∈N*,所以n=3或n=4. 9.解 (1)先排正、副班长,有种方案,再安排其余职务有种方案,由分步计数原理知,共有=720(种)不同的分工方案. (2)7人中任意分工,有种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有=3 600(种). 10.D　因为,而=n×,所以. 11.B　若第一棒选A,则第四棒只能选C,共有种选派方法;若第一棒选B,则有2种选派方法.由分类计数原理知,共有+2=3=36(种)选派方法. 12.A　(方法一)确定最高位有种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步计数原理知,共有=300(个). (方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有=300(个). 13.C　满足甲、乙相邻的所有方案有=1 440(种).其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案有=240(种); 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有=240(种); 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方案有=48(种). 故符合题设要求的不同安排方案有1 440-2×240+48=1 008(种).故选C. 14.B　依题意,得(n+1)!≥3 000, 当n=5时,(5+1)!=6×5×4×3×2×1=720, 当n=6时,(6+1)!=7×6×5×4×3×2×1=5 040>3 000,所以正整数n的最小值是6. 15.5 760　先从前排的4个位置中选2个位置安排甲、乙,有=12(种)安排方法,再从后排4个位置中选1个位置安排丙,有=4(种)安排方法,其余5人安排在剩下的5个位置有=120(种)安排方法,所以共有12×4×120=5 760(种)排法. 16.证明 (1)因为·(n-m)!=n!=,所以原等式成立. (2)左边= = = =1×3×5×…×(2n-1) =右边 所以原等式成立. 17.解 (1)先排唱歌节目有种排法,再排其他节目有种排法,所以共有=1 440(种)排法. (2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目,有种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有种插入方法,所以共有=30 240(种)排法. (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有种排法,故所求排法共有=2 880(种)排法. 18.ABD　(2 021!!)·(2 020!!)=2 021×2 019×2 017×…×5×3×1×2 020×2 018×2 016×…×6×4×2=2 021!,A正确; 2 004!!=2 004×2 002×…×10×8×6×4×2=21 002·1 002!,B正确; 2 020!!=2 020×2 018×…×10×8×6×4×2的个位数是0,C错误; 2 005!!=2 005×2 003×…×9×7×5×3×1的个位数是5,D正确.故选ABD. 午练11　排列(1) 1.A　=5×4=20.故选A. 2.C　所有的排法为A—B—C,A—C—B,B—A—C,B—C—A,C—A—B,C—B—A,共6种. 3.B　由题意,得2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),化简可得4n-2=5n-10,解得n=8.故选B. 4.A　∵=n··…·, ∴m =m =.故选A. 5.ACD　对于A,(n+1)=(n+1)·,选项A正确;对于B,,选项B错误;对于C,=(n-2)!,选项C正确;对于D,,选项D正确.故选ACD. 6.AB　当十位数字为3时,个位数字和百位数字只能取1,2进行排列,能组成2个“伞数”;当十位数字为4时,个位数字和百位数字只能取1,2,3进行排列,能组成3×2=6(个)“伞数”;当十位数字为5时,个位数字和百位数字只能取1,2,3,4进行排列,能组成4×3=12(个)“伞数”;当十位数字为6时,个位数字和百位数字只能取1,2,3,4,5进行排列,能组成5×4=20(个)“伞数”.所以共能组成2+6+12+20=40(个)“伞数”. 7.24　将3个空位看成一个整体,则停放的方法有4×3×2×1=24(种). 8.10　由排列数公式得>12,即(n-5)(n-6)>12,解得n>9或n<2.又n≥7,所以n>9.又n∈N*,所以n的最小值为10. 9.解 (1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理知,不同的取法种数为5×4×3=60. (2)可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从5种菜中选1种,也有5种选法;最后让同学丙从5种菜中选1种,同样有5种选法.按分步乘法计数原理知,不同的选法种数为5×5×5=125. 10.(1)左边==n(n+1)-n =(n2+n-n)=n2=右边, ∴结论成立,即=n2. (2)当k≤n时, 左边= ==右边, ∴结论成立,即(k≤n). 学科网（北京）股份有限公司 $