精品解析：2026年河南省信阳市商城县二模数学试题

2026年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项∶ 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 杭州奥体博览城核心区占地公顷，建筑总面积为平方米，请将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从以下4个动画人物图像中随机选用2幅制作海报，则其中恰好有一幅是哪吒图像的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式______________． 12. 不等式组的解集是________ 13. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 14. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是 ______． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. A，B两校各随机抽取100名学生进行自救自护安全知识测试．将所抽取的学生的测试得分x（单位：分）分为5组（优秀：；良好：；中等：；及格：；不及格：），并对数据进行整理、分析，部分信息如下： a． b．A，B两校学生测试得分的平均数、方差、优秀率（优秀人数所占百分比）、及格率（及格及以上人数所占百分比）如下表： 学校 平均数 优秀率 及格率 方差 A 80 3.9 B 80 2.5 c．A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样． 请根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________，__________． （2）根据以上数据，你认为哪所学校学生的自救自护的能力较强？请说明理由（一条即可）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，点M为反比例函数图象上第四象限内一动点，过点M作轴于点C，取x轴上一点D，使得，连接交y轴于点E，点F是点E关于直线的对称点． （1）求反比例函数的表达式； （2）试判断点F是否在反比例函数的图象上，并说明四边形的形状． 19. 如图，在矩形中，连接对角线． （1）根据下列要求作出．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ①圆心在边上； ②与边相切； （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明． 20. 为响应新农村建设，改善农村居住环境，某村村委会准备购买A，B两种桶装环保漆，对村里古建筑民居进行粉刷，已知A种环保漆每桶价格比B种环保漆多20元，购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元． （1）求A，B两种环保漆每桶价格分别是多少元． （2）已知A种环保漆每桶可粉刷的面积，B种环保漆每桶可粉刷的面积．村委会计划用46000元的专项资金购买200桶A，B两种环保漆，并支付粉刷工人的工资，且粉刷工人的工资不少于专项资金的，求这200桶环保漆可粉刷的最大面积． 21. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角． （1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； （2）求风叶的长度． 22. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 3 4 竖直高度 0 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项∶ 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为， 故选：B． 3. 杭州奥体博览城核心区占地公顷，建筑总面积为平方米，请将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是综合运用这些定义和性质定理． 根据垂直的定义先求得，再由平行线的性质求得，接着由平分求得，最后利用的内角和求得． 【详解】设与相交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，能够熟练运用乘法公式是解决本题的关键． 根据积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，分别计算四个算式并判断其正误即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：B． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴且， ∵ ∴且 解得 ∴， 解得且， 故选C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数它的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数函数的图象与性质是解题的关键． 先确定直线与y轴交于点，函数与可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，综合即可判断结果． 【详解】解：对于，当，， ∴直线与y轴交于点，故A、D不符合题意； 由函数与，可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，故C不符合题意，B符合题意， 故选：B． 8. 中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从以下4个动画人物图像中随机选用2幅制作海报，则其中恰好有一幅是哪吒图像的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法求概率，解题的关键是利用列表法列出所有情况，然后利用概率公式进行求解． 【详解】解：分别将4个动画人物图像从左到右用来表示， 利用列表法列出所有情况如下： 共有12种情况，满足条件的有6种情况， 故其中恰好有一幅是哪吒图像的概率为：， 故选：B． 9. 如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算．连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵正六边形， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，，， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴ ； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，与关于原点对称， ，，，，，，， 观察可知点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期， ， 即点的坐标为， 故选：B． 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式______________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义．解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：先构造系数，例如为2，然后使a、b的指数和是3． 则如：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 12. 不等式组的解集是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 根据解不等式组的基本步骤求解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 故不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 14. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，含直角三角形的性质，勾股定理，连接，设的半径为，根据，，得，结合切线的定义可知，再根据含直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， 设的半径为， ∵，， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂进行计算即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式＝ （2）解：原式＝ 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 17. A，B两校各随机抽取100名学生进行自救自护安全知识测试．将所抽取的学生的测试得分x（单位：分）分为5组（优秀：；良好：；中等：；及格：；不及格：），并对数据进行整理、分析，部分信息如下： a． b．A，B两校学生测试得分的平均数、方差、优秀率（优秀人数所占百分比）、及格率（及格及以上人数所占百分比）如下表： 学校 平均数 优秀率 及格率 方差 A 80 3.9 B 80 2.5 c．A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样． 请根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________，__________． （2）根据以上数据，你认为哪所学校学生的自救自护的能力较强？请说明理由（一条即可）． 【答案】（1）10；10；95 （2）B校学生的自救自护的能力较强．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图，读懂题意理解统计图的意义是解题的关键． （1）用100分别减去优秀，中等，良好，不及格的人数即可求出a的值，用及格的人数除以总人数即可求出c的值，由B校学生测试得分为“良好”的人数为40可得出A校学生测试得分为“良好”的人数所占百分比为，用1减去其他的占比即可求出优秀率b． （2）根据优秀率，及格率，方差作决策即可． 【小问1详解】 解：， B校学生测试得分的及格率为， 即． 因为A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样，B校学生测试得分为“良好”的人数为40， 所以A校学生测试得分为“良好”的人数所占百分比为， 所以， 即． 故答案为：10；10；95 【小问2详解】 解：B校学生的自救自护的能力较强． 理由：因为A，B两校学生测试得分的平均数相同，但B校学生测试得分的优秀率、及格率均比A校的高，且B校学生测试得分的方差比A校的小，所以B校学生的自救自护的能力较强． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，点M为反比例函数图象上第四象限内一动点，过点M作轴于点C，取x轴上一点D，使得，连接交y轴于点E，点F是点E关于直线的对称点． （1）求反比例函数的表达式； （2）试判断点F是否在反比例函数的图象上，并说明四边形的形状． 【答案】（1） （2）点F在反比例函数的图象上，四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义，即可求解； （2）先证明，得到，设，则，由对称的性质得到，即可判断点F在反比例函数的图象上；在中，根据点为的中点，得到，由对称的性质，即可得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且， ， ， 比例函数图象在第二、四象限， ，即， 反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：，， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 点F是点E关于直线的对称点， ， 将代入，得，左边等于右边， 点F在反比例函数的图象上， 在中， ， 点为的中点， ， 点F是点E关于直线的对称点， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，对称的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，证明三角形相似是解题的关键． 19. 如图，在矩形中，连接对角线． （1）根据下列要求作出．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ①圆心在边上； ②与边相切； （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2），见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图（作角平分线），矩形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）作的平分线，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）连接．交于点，证明得，再证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作． ； 【小问2详解】 解：． 证明：如图，连接． 由（1），可知． ． 又 ． ． ． 又， ， ． 20. 为响应新农村建设，改善农村居住环境，某村村委会准备购买A，B两种桶装环保漆，对村里古建筑民居进行粉刷，已知A种环保漆每桶价格比B种环保漆多20元，购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元． （1）求A，B两种环保漆每桶价格分别是多少元． （2）已知A种环保漆每桶可粉刷的面积，B种环保漆每桶可粉刷的面积．村委会计划用46000元的专项资金购买200桶A，B两种环保漆，并支付粉刷工人的工资，且粉刷工人的工资不少于专项资金的，求这200桶环保漆可粉刷的最大面积． 【答案】（1）A，B两种环保漆每桶价格分别是180元和160元 （2）这200桶环保漆可粉刷的最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设A种环保漆每桶a元，则B种环保漆每桶元，根据购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元列方程求解即可； （2）设购买A种环保漆x桶，可粉刷的总面积为，先根据粉刷工人的工资不少于专项资金的列不等式求出x的取值范围，然后列出关于x的函数解析式，再利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A种环保漆每桶a元，则B种环保漆每桶元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：A，B两种环保漆每桶价格分别是180元和160元； 【小问2详解】 解：设购买A种环保漆x桶，可粉刷的总面积为， 根据题意，得， 解得：． ， ， 随x的增大而增大， 当时，S取最大值，最大值为18500． 答：这200桶环保漆可粉刷的最大面积为． 21. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角． （1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； （2）求风叶的长度． 【答案】（1） （2）风叶的长度为米 【解析】 【分析】（1）根据题中公式计算即可； （2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作，连接，，如图所示， 由题意得：米，， ∴米，， ∵三片风叶两两所成的角为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴米， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴米， ∴米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等， ∴， ∴米， ∴风叶的长度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． 22. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 3 4 竖直高度 0 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点，则抛物线的对称轴为：直线． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，那么该运动员竖直高度的最大值为，把顶点坐标连同代入所给的函数解析式，求得的值后即可求得相应的函数解析式； （2）落入沙坑，则竖直高度为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得后取正值即为和的长度，比较的大小即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：． ∴该运动员竖直高度的最大值为米． 设函数关系式为：． ∵经过点， ∴， 解得：． ∴函数解析式为：． 【小问2详解】 取． 第一次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ∴． 第二次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ， ， ． 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $