精品解析：2024年河南省信阳市商城县李集中学九年级下学期数学中招第二次模拟考试试题

★ 2024年5月23 日 2024 年河南省中招第二次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最大的数是（　　） A. B. 2 C. 0 D. 2. 用四个完全相同的小立方体摆放成一个几何体，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体是（ ） A B. C. D. 3. 华为作为世界顶级科技公司，设计的麒麟芯片，拥有领先的制程和架构设计，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点C放置在矩形的边上，顶点A放置在边上，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C在⊙O上，若C=40°，则AOB的度数为（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 100° 7. 下列一元二次方程中，没有实数根是（ ） A. B. C. D. 8. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为________元． 12. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点0，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为80，则的长为________． 14. 如图，扇形中，，，C是弧的中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，中，，，，是的中线，E是边上一动点，将沿折叠，点B落在点F处，交线段于点G，当 是直角三角形时， _______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校七、八年级各有700名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： _______， _______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生党史知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数． 18. 如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点重合），连接． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交半圆于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在（1）的条件下，过点作半圆的切线，交的延长线于点，作于点，连接．求证：． 19. 如图，某小区的物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即．小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，） 20. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； （2）当时，写出的函数关系式为________； （3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 22. 亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． （1）请求出和值； （2）“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； （3）若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 23. 在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． （1）【问题发现】如图1，当点是的中点时，线段与的数量关系是________，与的位置关系是________； （2）【猜想论证】如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】若，其他条件不变，连接．当是等边三角形时，请直接写出面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ★ 2024年5月23 日 2024 年河南省中招第二次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最大的数是（　　） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是2； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 用四个完全相同的小立方体摆放成一个几何体，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图可以看到左边有一层， 右边有两层， 根据左视图可得左边有一层， 右边有两层， 由此解答即可． 【详解】解：根据主视图可知有两层两列，左边一列上面一层没有小正方体，根据左视图可知有两层两列，右边一列上面没有小正方体， ∴四个选项中，只有A选项的几何体符合题意， 故选A． 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，考查了空间想象能力，解答此题的关键是要明确：由三视图想象几何体的形状，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状． 3. 华为作为世界顶级科技公司，设计的麒麟芯片，拥有领先的制程和架构设计，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：， 故选：C 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算，解题的关键是熟练掌握整式加减、整式乘除、积的乘方、同底数幂乘法的运算法则． 根据整式加减乘除运算、积的乘方计算，即可得到答案． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点C放置在矩形的边上，顶点A放置在边上，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由等腰三角形的性质可得，，则可求得，再由矩形的性质得，则有，利用补角的定义即可求的度数． 【详解】解：是等腰三角形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，点A、B、C在⊙O上，若C=40°，则AOB的度数为（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵C=40°，且C和O为同弧所对的角， ∴O=2C=80°， 故选C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握以上定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根． 【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意； D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意． 故选：D． 8. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物） 地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物） 化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物） 生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学） 共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种， 恰好选择化学和生物的概率为． 故选：B． 9. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 10. 如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，根据点的运算，可得，，在直角中根据勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握一次函数图象的性质，等腰三角形的性质，解方程的方法，勾股定理的运用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作， ∴， 当点与点重合时， ， ∴， ∴， 当点与点重合时，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，或， ∴或，负值舍去， 当时，，不符合题意（）， ∴， ∴，   故选： ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握代数式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 12. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，解一元一次不等式，根据象限特点求点坐标中的参数，掌握象限中符号特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 13. 如图，菱形的对角线相交于点0，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为80，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，，，由直角三角形斜边上的中线性质得到，由菱形的面积得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵于点E， ∴ ∴ ∵菱形的面积为80， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图，扇形中，，，C是弧中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 将阴影部分的面积转换为扇形的面积即可． 【详解】解：连接，，如图， 由题意得， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，中，，，，是的中线，E是边上一动点，将沿折叠，点B落在点F处，交线段于点G，当 是直角三角形时， _______． 【答案】5或 【解析】 【分析】根据题意，运用勾股定理得的值，运用中位线的判定和性质可得的值，结合直角三角形的特点，分类讨论，当时，运用特殊四边形的判定和性质即可求解；当时，运用解直角三角形的方法即可求解． 【详解】解：中，，，， ∴ 则 当时，如图，过点D作交于点I，交于点H， ∴， 由折叠得， ∴ ∴， ∴四边形是正方形，即， 在中，，， ∴点H是的中点，且点D是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 当时，过点D作交于点H，如图， 在中，，， ∴点H是的中点， ∴ 又∵点D是中点， ∴是的中位线， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ 在中， 在中， ∴ 解得 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形的综合，掌握折叠的性质，解直角三角形的方法，分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2022 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零次幂、负指数幂及算术平方根可进行求解； （2）根据分式的运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查零次幂、负指数幂、分式的运算及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键． 17. 某校七、八年级各有700名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： _______， _______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数． 【答案】（1）8，8 （2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由见解析 （3）980人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握众数，中位数的计算方法，根据数据作决策，运用样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据众数，中位数的计算方法即可求解； （2）根据统计数据作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数据即可求解． 【小问1详解】 解：七年级抽取学生的成绩中8分出现次数最多，所以众数为8； 由图可知，八年级的中位数是第8名同学的成绩，即8， 故答案为：8；8 【小问2详解】 七年级的众数是8，八年级的众数是7，七年级的优秀率为，八年级的优秀率为， ∴七年级的学生党史知识掌握得较好． 【小问3详解】 （人） 答：估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数有980人． 18. 如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点重合），连接． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交半圆于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在（1）的条件下，过点作半圆的切线，交的延长线于点，作于点，连接．求证：． 【答案】（1）作图见详解 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点；分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点；连接并延长交半圆于点即可； （2）根据切线的性质可得，根据等腰三角形的判定和性质可得，，根据角平分线的性质定理可得，根据全等三角形的判定和性质即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为的角平分线； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴，则， ∴，且，是角平分线， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握圆的基础知识，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 如图，某小区物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即．小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长EF交CH于N，易得是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用三角函数可求出，从而求得的长． 【详解】解：延长EF交CH于N，则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在Rt△DNE中，，即，解得， 则， 答：点D到地面的距离DH的长约为9.2m． 【点睛】本题考查了利用三角函数测距，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 20. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； （2）当时，写出的函数关系式为________； （3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】（1） （2） （3）小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； 【小问2详解】 解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 22. 亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． （1）请求出和的值； （2）“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； （3）若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键． （1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解； （2）联立方程解二元一次方程组即可求解； （3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为， ∵小球达到的最高的的坐标为， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意联立方程组得， ， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：已知二次函数的顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大； ∵时的最大值为， ∴当时取到最大值，且，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，随的增大而减小， ∴当时取得最大值，且，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 23. 在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． （1）【问题发现】如图1，当点是的中点时，线段与的数量关系是________，与的位置关系是________； （2）【猜想论证】如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】若，其他条件不变，连接．当是等边三角形时，请直接写出的面积为________． 【答案】（1）， （2）成立，理由见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）运用等腰直角三角形的判定和性质即可求解； （2）根据题意，延长，使得，可证，再根据三角形中位线的定理即可求解； （3）分类讨论，当点在下方时是等边三角形，作于；当点在上方时是等边三角形；根据等边三角形的性质，勾股定理等知识分别求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， 当点是中点时，，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形，，即点是的中点，是中线， ∵点是中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：仍成立，理由如下， 如图所示，延长到，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所述，点在下方，当是等边三角形时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴； 点在上方，当是等边三角形时，过点作于点， 同法可得，， ∴； 综上所述，面积为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的方法，分类讨论思想等综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$