精品解析：2026年河南省信阳市潢川县二模数学试题

2026年河南省中招模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个数中，是负整数的是（ ） A. B. C. D. 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是一种结构简单的长方体中空结构件，则该结构件的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点A，C，O，E在x轴上，点B，D在y轴的正半轴上，其中，，，．如图2，把沿x轴向右平移，使得点B恰好落在边上，与y轴交于点G，此时点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、O、N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“一氧化氮”的概率是___________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 14. 如图，是的直径，弦于点，若，，阴影部分的面积是______． 15. 如图1，正方形中，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，设，，如图2是与的变化图象，则的最小值是_____． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. （1） 计算：； （2）化简：． 17. 中招体育考试前，某校对九年级进行了一次体育模拟测试，为了解该年级学生体育模拟测试情况，随机抽取了50名男生和50名女生的体育测试成绩，并将数据进行整理分析，得到如下信息： 信息一：将抽取的学生成绩x（单位：分）分为A，B，C，D四个等级： A： B： C： D： 其中男生成绩在B等级前10名考生的分数为： 65，65，65，64，64，64，63.5，63.5，63，63． 信息二：抽取的50名男生成绩和50名女生成绩统计信息如下． 男生成绩统计图 女生成绩统计图 男生、女生成绩统计表 平均数／分 中位数／分 众数／分 男生 64 a 66.5 女生 64 64 66 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，并补全条形统计图． （2）在这次模拟测试中，你觉得男生与女生成绩哪个更好一点？试说明理由． （3）若该年级有400名男生，350名女生，请估计该年级所有参加体育模拟测试的考生中，成绩为A等级的考生人数． 18. 已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 19. 如图，在四边形中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，证明四边形是菱形． 20. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC的距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 21. 某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同． （1）求甲、乙两种花木的单价； （2）现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案． 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接，则的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个数中，是负整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的分类，即有理数可分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和零，分数分为正分数和负分数，熟练掌握有理数的分类方式是解题关键． 根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图，是一种结构简单的长方体中空结构件，则该结构件的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：长方体中空结构件的俯视图是长方形，中空部分的俯视图也是长方形，里面没有看不到的棱，不需要用虚线表示，D符合题意． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项计算即可作答． 【详解】A项，，计算正确，故本项符合题意； B项，，原计算错误，故本项不符合题意； C项，，原计算错误，故本项不符合题意； D项，，原计算错误，故本项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式，掌握相应的运算法则及完全平方公式，是解答本题的关键． 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 6. 在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的运算方法是解题的关键． 根据玩家位置范围和危险区域范围，得出是否有共同的解集，判断即可． 【详解】解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域； B． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； C． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； D． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； 故选：A． 7. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 8. 如图，在中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，根据平行四边形的性质，求出的度数，的长，进而求出半径的长，圆周角定理求出，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ． ∵为的直径， ∴． ∵， ∴的长为 故选D． 9. 如图1，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点A，C，O，E在x轴上，点B，D在y轴的正半轴上，其中，，，．如图2，把沿x轴向右平移，使得点B恰好落在边上，与y轴交于点G，此时点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解直角三角形，先求出直线的函数表达式为．再利用一次函数的性质并结合解直角三角形计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：平移前点，， 设直线的函数表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 当点B在上时，令，则， 解得，即． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴点G的坐标为， 故选：D． 10. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、O、N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“一氧化氮”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及所标元素能组成“一氧化氮”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： H O O N H O O N 共有12种等可能的结果，其中所标元素能组成“一氧化氮”的结果有：，，，，共4种， 所标元素能组成“一氧化氮”的概率为． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】m＜2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：， ∵a＝1，b＝-4，c＝2m，方程有两个不相等的实数根， ∴△＝b2−4ac＝（-4）2-4×2m＞0， ∴m＜2． 故答案为：m＜2． 【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 14. 如图，是的直径，弦于点，若，，阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，扇形面积公式，连接，由垂径定理得，则，所以，然后根据阴影部分的面积为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 15. 如图1，正方形中，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，设，，如图2是与的变化图象，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像可知即时，，利用正方形的性质可求得其边长为4；然后作的延长线于点，连接，根据正方形的性质和旋转的性质可证，得到，进而推出，可知点在的角平分线上运动，接着作点关于的对称点，连接，可推出点在的延长线上，结合，可知当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长度，最后利用勾股定理求得即可得到答案． 【详解】解：根据图2可知，当时，， 即时，， 此时点、重合，点、重合，如图所示， 设正方形的边长为，则， ，， 解得， ， ； 作的延长线于点，连接，如图所示， 则， 四边形是正方形， ，， ， 将绕点顺时针旋转到， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是的角平分线，即点在的角平分线上运动， 作点关于的对称点，连接，如上图所示， ， ，即点在的延长线上， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长度， 在中，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，勾股定理，能够通过二次函数图象得到正方形的边长和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. （1） 计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、分式的化简，熟练掌握相关运算法则和分式的性质是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、开立方、绝对值，再进行加减计算即可． （2）根据分式的性质和完全平方公式、平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）原式： ． （2）原式： ． 17. 中招体育考试前，某校对九年级进行了一次体育模拟测试，为了解该年级学生体育模拟测试情况，随机抽取了50名男生和50名女生的体育测试成绩，并将数据进行整理分析，得到如下信息： 信息一：将抽取的学生成绩x（单位：分）分为A，B，C，D四个等级： A： B： C： D： 其中男生成绩在B等级前10名考生的分数为： 65，65，65，64，64，64，63.5，63.5，63，63． 信息二：抽取的50名男生成绩和50名女生成绩统计信息如下． 男生成绩统计图 女生成绩统计图 男生、女生成绩统计表 平均数／分 中位数／分 众数／分 男生 64 a 66.5 女生 64 64 66 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，并补全条形统计图． （2）在这次模拟测试中，你觉得男生与女生成绩哪个更好一点？试说明理由． （3）若该年级有400名男生，350名女生，请估计该年级所有参加体育模拟测试的考生中，成绩为A等级的考生人数． 【答案】（1）64.5，44，见解析 （2）男生的成绩好．因为男生女生成绩的平均数相同，男生成绩的中位数与众数都高于女生．（注：答案不唯一，解释合理即可） （3）成绩为A等级的考生人数是316人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，中位数求解，样本估计总体等知识点，读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数的定义即可求解，B所占百分比为1减去的百分比以及的百分比，而的百分比用圆心角除以求解；求出男生中C等级的人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数和中位数分析即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：50名男生的中位数为第25，26人成绩的平均数， 由条形统计图可得：第25，26人成绩为65，64， ∴中位数， 由扇形统计图可得：B所占百分比为：， ∴， 故答案为：64.5，44； 男生中C等级的人数为：，则补全条形统计图为： 【小问2详解】 解：男生的成绩好．因为男生女生成绩的平均数相同，男生成绩的中位数与众数都高于女生．（注：答案不唯一，解释合理即可）； 【小问3详解】 解：，（人） 答：成绩为A等级的考生人数是316人． 18. 已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数表达式； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 将点代入反比例函数表达式得，则 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 解得 ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，，解得，， ∴直线与轴交点的坐标为，故； 或 点坐标为或 19. 如图，在四边形中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，证明四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】考查了尺规作图（作一个角等于已知角 ）、平行四边形的判定与性质、菱形的判定 ．熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理，以及利用尺规作等角的方法是解题的关键． （1）利用尺规作图中作一个角等于已知角的方法，以 为顶点， 为一边作 ，从而确定点 位置 ． （2）先通过角的关系证明 ，结合 证四边形 是平行四边形，得出 ；再结合 推导 ，证四边形 是平行四边形，最后由 证其为菱形 ． 【小问1详解】 解：如图． 【小问2详解】 证明：由（1），得． ， ． ． ． 四边形是平行四边形． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 是菱形 20. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC的距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 【答案】（1）海里 （2）乙先到，见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．有公共直角边的先求这条直角边． （1）过点作，垂足为，先求得，由，求得，在中，，再求解即可； （2）先求得，再由，可得，从而得出，可得出甲巡逻艇用时为小时，再求得，得出海里，再比较可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，在中，， ． ， ． 在中，． 海里． 【小问2详解】 解：中，， ． ， ． ． 甲巡逻艇用时为小时． 由（1）知 ． 海里． 乙巡逻艇用时为小时． ， 乙巡逻艇先到达目的地． 21. 某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同． （1）求甲、乙两种花木的单价； （2）现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案． 【答案】（1）甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元 （2）购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要购买棵甲种花木，总费用为W元，先列不等式求得，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元， 由题意得：，解得：， 答：甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元； 【小问2详解】 解：设需要购买棵甲种花木，则购买棵乙种花木， 由题意得：，解得：， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴当时，取最小值， 此时乙种花木的数量为（棵）， 答：购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少． 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； 【小问3详解】 ∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接，则的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 【答案】（1）90；（2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）首先得到，，然后结合折叠的性质得到，，证明出，得到，进而求解即可； （2）如解图①，连接，证明出，得到，，求出，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，②当点落在矩形外部时，然后分别求出，证明出，即可求出． 【详解】解：（1）∵E是边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠得，，， ∴， 又∵ ∴ ； （2）如解图①，连接， ∵E是边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴，都是直角三角形， 在和中， ， 又∵， ∴． ∴， ∴ ； （3）分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，如解图②，连接， 设， ∴． 由（1）得，则 在中，，， ∴ 解得，即． ∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； ②当点落在矩形外部时，如解图③，连接， 由（2）知， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴． 同理可得， 综上所述，的长为4或2． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 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