精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试初一年级 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列汽车图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条线对折，使对折后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，，两边同时加，∴，A选项正确． ∵不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，，两边同时除以，∴，B选项错误． 当，时，满足，但，故C不一定成立，错误． ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，，两边同时乘，∴，D选项错误． 3. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 4. 用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是 （        ） A. 正三角形 B. 长方形 C. 正八边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案． 【详解】解：A．正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故A不符合题意； B．长方形的每个内角是，能整除，能密铺，故B不符合题意； C．正八边形的每个内角为：，不能整除，不能密铺，故C符合题意； D．正六边形的每个内角为度，能整除，能密铺，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是熟练掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除． 5. 的正整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 无数组 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键． 先将方程化为，再根据均为正整数进行分析即可得． 【详解】解：方程可化为， ∵均为正整数， ∴，且是的倍数， ，且为奇数， 则当时，， 当时，， 即方程的正整数解为，，共有2组， 故选：B． 6. 对于方程，去分母后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程去分母的操作，解题思路是找到各分母的最小公倍数，给方程两边同乘该最小公倍数，注意不要漏乘没有分母的项，分子为多项式时需整体加括号． 【详解】解：∵原方程分母为3和2，最小公倍数为6． ∴给方程两边同时乘以6，得 化简后得． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 17 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C 8. 已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此先联立两个不含、的方程求出公共解、，再将解代入含、的方程，即可计算得到的值． 【详解】解： 两个方程组的解相同 联立不含、的方程得 ， 得 ，解得 ． 把代入得 ，解得 ． 将，代入含、的方程得， 方程④两边同除以得 ． ． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. “的倍与的差大于”列出的不等式是___． 【答案】 【解析】 【分析】先将题目中的文字表述转化为代数式，明确“大于”对应的不等符号，即可列出正确不等式． 【详解】解：的倍可表示为，的倍与的差可表示为， 根据“差大于”，可列出不等式：． 10. 多边形内角和是，则它的边数为___． 【答案】##七 【解析】 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， ∵多边形内角和是， ∴， 解得：． ∴它的边数为． 11. 《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？现设兽有x个，鸟有y只，则可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据兽头+鸟头=76，兽脚+鸟脚=46，列出等式构造方程组即可． 【详解】设兽有x个，鸟有y只，根据兽头+鸟头=76，兽脚+鸟脚=46， 列方程组得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，确定两个等量关系是解题的关键． 12. 如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为______． 【答案】74 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵长方形纸片的对边平行， ∴， 故答案为：． 13. 定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则，分两种情况列出等式，结合每种情况的取值范围检验，舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：根据新定义的运算法则，分两种情况讨论： 情况1：当，解不等式得， 根据法则可得 ， 因此列方程得， 解得，满足，符合条件； 情况2：当，解不等式得， 根据法则可得 ， 因此列方程得， 解得，不满足，舍去； 综上，的值为． 14. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据中线的定义，利用等底等高的两个三角形面积相等即可判断；对于②，利用角平分线的定义及等角的余角相等证明，结合对顶角相等推导出；对于③，将转化为，分析等式成立的条件；对于④，根据三角形内角和定理计算角度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ ， 故①正确； ∵ 是角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故②正确； ∵ 且， ∴ ， 若， 则， 即， 根据已知条件不能推出， 故③不符合题意； ∵ 且， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确． 【点睛】本题考查了三角形中线性质、角平分线定义、直角三角形性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形中线性质、角平分线定义、直角三角形性质及三角形内角和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解下列一元一次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16. 解下列二元一次方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：， 化简得， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴． 17. 解下列不等式或不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴． 18. 某航空公司规定：购买经济舱机票的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克需按经济舱普通票价的购买行李票．已知一名旅客按照经济舱普通票价购买了一张机票，并托运了行李，机票连同行李票共付了1323元，求该旅客的机票票价． 【答案】1080元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可 【详解】解：设该旅客的机票票价为元，由题意，得 解得， 该旅客的机票标价为1080元． 19. 若关于不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据“恰有两个整数解”确定整数解，进而得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：  解不等式①，得  解不等式②，得  ∵不等式组的解集为  ∵不等式组恰有两个整数解 ∴满足条件的整数解为  ∴   解得 20. 如图，在中，，，平分，于点，与交于点，求的度数； 【答案】． 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求得，利用角的定义求得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画的高． （2）在图②中在找一点，连接，使得的面积等于的面积． （3）在图③中是边上一格点，边上找一点，连接、，使取得最小值 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点H，连接即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）找到点关于的对称点，连接交于点即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 22. 已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ （2）根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） 甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元 （2） 共有3种进货方案，分别是：方案一：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；方案二：购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；方案三：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个 （3） 购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润为1450元 【解析】 【分析】（1）根据售价关系和总售价，设未知数后列二元一次方程组求解即可； （2）设甲款玩偶进货数量，根据总进价限制和甲款数量要求列不等式组，结合数量为正整数，得到所有可行的进货方案； （3）先表示总利润和甲款进货数量的函数关系，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【小问1详解】 解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元， 根据题意得：   解得  答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元； 【小问2详解】 解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个， 根据题意得：   解得， 因为为正整数， 所以可取88，89，90，对应为112，111，110， 答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个； 【小问3详解】 解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)， 则， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)， 此时乙款玩偶数量为(个)， 答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元． 23. 某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图，在中，与的平分线交于点，，则________； （2）如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． （3）如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） （4）如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到； （4）同理（1）和（2）可得，，，则． 【小问1详解】 解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； 【小问3详解】 解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ； 【小问4详解】 解：，理由如下： 、的平分线交于点， 同理（1）可得， 的平分线与的平分线的延长线相交于点， 同理（2）可得， ． 24. 【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： （1）关于，的方程组的解_____； （2）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； （3）已知关于，的方程组，求，的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． 【小问1详解】 解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； 【小问2详解】 设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； 【小问3详解】 设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握整体代换、构造新元简化方程组是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试初一年级 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列汽车图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是 （        ） A. 正三角形 B. 长方形 C. 正八边形 D. 正六边形 5. 的正整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 无数组 6. 对于方程，去分母后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 17 D. 23 8. 已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. “的倍与的差大于”列出的不等式是___． 10. 多边形内角和是，则它的边数为___． 11. 《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？现设兽有x个，鸟有y只，则可列方程组为______． 12. 如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为______． 13. 定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为____． 14. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解下列一元一次方程： （1）； （2）． 16. 解下列二元一次方程组 （1） （2） 17. 解下列不等式或不等式组 （1） （2） 18. 某航空公司规定：购买经济舱机票的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克需按经济舱普通票价的购买行李票．已知一名旅客按照经济舱普通票价购买了一张机票，并托运了行李，机票连同行李票共付了1323元，求该旅客的机票票价． 19. 若关于不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 20. 如图，在中，，，平分，于点，与交于点，求的度数； 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画的高． （2）在图②中在找一点，连接，使得的面积等于的面积． （3）在图③中是边上一格点，边上找一点，连接、，使取得最小值 22. 已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ （2）根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 23. 某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图，在中，与的平分线交于点，，则________； （2）如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． （3）如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） （4）如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 24. 【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： （1）关于，的方程组的解_____； （2）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； （3）已知关于，的方程组，求，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $