精品解析：广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】代入空间向量垂直的数量积坐标表示的公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 整理得：，解得. 故选：A 2. 已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 所以直线方程为，即， 所以它在y轴上的截距为， 故选：A. 3. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 4. 为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ） A. 127 B. 136 C. 133 D. 138 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义结合频数分布直方图求解即可. 【详解】该班共有人， 因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得. 故选：D. 5. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：B. 6. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 7. 已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得. 【详解】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：B 8. 一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 10. （多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，都是直线的方向向量，则必有 B. 为空间任意一点，若，且四点共面，则 C. 若为不共线的非零向量，，，则 D. 若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D. 【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误； 对于选项B: 由题意可得:， 所以， 因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得， 即；故选项B错误； 对于选项C:因为，所以，故选项C正确； 对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得 不妨设，则 此时共面，与不共面矛盾， 所以只有时，，故选项D正确． 故选：CD. 11. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为圆上任意一点，则的最小值为 B. 四边形的面积的最小值为4 C. 当点在原点处时，直线的方程为 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离结合数形结合思想可判断A；把四边形的面积的最小值转化为最小，结合数形结合思想即可判断B；求出以为直径的圆的方程，直线的方程即为以为直径的圆与圆的公共弦，利用公共弦方程的求法即可判断C；设，根据C选项的思路求出直线的方程，然后再根据分离参数法求出定点可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为． 对于，故A正确； 对于B，四边形的面积 ，要求四边形的面积的最小值，只需最小， 又，所以，故B正确； 对于C，当点在原点时，，的中点坐标为 所以以为直径的圆的方程为，即， 与相减，可得直线的方程为，故C错误； 对于D，因为点为直线上一动点，所以可设， ，的中点坐标为 所以以为直径的圆的方程为， 即，与相减， 可得直线的方程为，即， 由解得，所以直线过定点，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知有圆心且半径为，动点到轴的最近距离，即可得. 【详解】由题设，故圆心且半径为， 所以动点到轴的最近距离是. 故答案为：2 13. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 14. “曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. （1）求的值 （2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. 【小问2详解】 依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 16. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. （1）求比赛三局结束的概率； （2）求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. 【小问2详解】 记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，连接.在中，根据题设证得，进而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先在（1）的基础上证得平面，再结合平面得到平面平面.再根据面面平行的性质，利用线段成比例即可得解；. （3）利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值进而得答案． 【小问1详解】 作，垂足为，连接. 在中，. ，. 所以，四边形是正方形. 所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，所以平面. 若平面，因为，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以.因为，所以. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则取. 设平面的法向量为， 则取. ， ， 即二面角的正弦值为. 18. 如图1，过球上不在同一大圆上的，，三个点中的任意两点作大圆.可以得到劣弧，与，则这三条劣弧围成的曲面（阴影部分）称为球面，这三条劣弧称为球面的边.，，三点称为球面的顶点.设二面角为，二面角为，二面角为，则球面的面积，其中为球的半径，，，均用弧度制表示.以球心为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系.已知，，三点均在球的球面上，其中，. （1）求，的值； （2）求点到平面的距离； （3）求球面的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）由已知可得，进而可求平面的一个法向量，利用向量法可求点到平面的距离； （3）求得平面，平面，平面的法向量，进而可求，利用球面三角形的面积公式可求面积. 【小问1详解】 根据，可得， 解得，因为，所以， 【小问2详解】 由（1）得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 依题意， 设平面，平面，平面的法向量为， 则，令，则，则， 则，令，则，则， 则，令，则，则， 所以， ， ， 结合四点的位置，可知均为钝角， 所以， 故球面的面积.. 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． （1）求的方程； （2）直线和的斜率分别记为和，求的最小值； （3）直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； 【小问3详解】 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 2. 已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ） A. 127 B. 136 C. 133 D. 138 5. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 7. 已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ） A. B. C. D. 8. 一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 10. （多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，都是直线的方向向量，则必有 B. 为空间任意一点，若，且四点共面，则 C. 若为不共线的非零向量，，，则 D. 若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 11. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为圆上任意一点，则的最小值为 B. 四边形的面积的最小值为4 C. 当点在原点处时，直线的方程为 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是______. 13. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 14. “曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. （1）求的值 （2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 16. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. （1）求比赛三局结束的概率； （2）求乙取胜，比赛结束的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 18. 如图1，过球上不在同一大圆上的，，三个点中的任意两点作大圆.可以得到劣弧，与，则这三条劣弧围成的曲面（阴影部分）称为球面，这三条劣弧称为球面的边.，，三点称为球面的顶点.设二面角为，二面角为，二面角为，则球面的面积，其中为球的半径，，，均用弧度制表示.以球心为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系.已知，，三点均在球的球面上，其中，. （1）求，的值； （2）求点到平面的距离； （3）求球面的面积. 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． （1）求的方程； （2）直线和的斜率分别记为和，求的最小值； （3）直线与交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $