广东中山桂山中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷

2025-2026学年广东省中山市桂山中学高二上数学期末模拟试卷 、单选题，每题只有一个选项符合要求，共8题，每题五分，共40分。 1.在空间直角坐标系中，a=(1,2,1)为直线1的一个方向向量，元=(2，t,4)为平面a的一个法向量，且 l/a,则t=() A.3 B.1 C.-3 D.-1 2.直线x十V3y+2=0的倾斜角是() A.30° B.60 C.120° D.150° 3.已知圆x2+2=1和圆(x-3)2+2=2(r>0)有公共点，则r的取值范围为() A.[2,+∞) B.[2,4 C.[3,4 D.[1,4 4两个正数1,9的等差中项是，等比中项是姐6>0，则曲线+ =1的离心率为() a b A.10 B.2V⑩ 2 5 5 D. 54<<6是方程+产复1我示精图的〔) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.己知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+2=16相切，则p的值为() A B.1 C.2 D.4 7.己知椭圆E: 产+=1(a>b>0)的右焦点为F3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点，若 x2y2 AB的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为() A B+ 36+27-1 2+=1 18+g 8.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1 2 Y5-1≈0.618，称为黄金分割比例)，菩名的断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽 2 喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5，-1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm 2 ，头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是() 第1页共4页 A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 二、多选题，每题有多个选项符合要求，选对部分得部分分数，选错不得分，共3题，每题六分， 共18分。 9.己知点A(a,0),点B(3,2),点P在抛物线2=4x上，则() A.当a=1时，PA最小值为1 B.当a=1时，PAL+|PB的最小值为4 C.当a=3时，PA的最小值为3 D.当a=3时，|PA纠-|PB的最大值为2 10.如图，正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是 () A.存在点P,使AC1⊥平面D1EP B.存在点P,使PE=PD1 C.四面体EPC1D1的体积为定值 D.二面角P-D1E-C1的余弦值取值范围是 D C ⊙ A B 1l.设{a}是无穷数列，若存在正整数k,使得对任意n∈N+,均有an+k>an,则称{an}是间隔递增数 列，k是{an}的间隔数，下列说法正确的是() A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 4 B.已知an=n+二，则{an}是间隔递增数列 C.已知an=2m+（-1)”，则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是2 D.已知an=n2-tn+2020,若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t<5 第2页 共4页 三、填空题，共3题，每题五分，共15分。 12.己知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,则的最大值为 ，最小值为 13.若圆(-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆恰好过点(0,4)，则实数m的值为 14.平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，CB=CD=V10,AC=4,沿直线AC将△ACD翻折 成△ACD',当三棱锥D-ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球表面积为 四、解答题，共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 15.已知圆0：x2+y2=4与圆B:(x+2)2+(y-2)2=4. (1)求两圆的公共弦长： 2过平面上一点Q(,%)向圆0和圆B各引一条切线，切点分别为C、D,设Q9D=2, QC 平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值 16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CD上. D D 4 (1)求证：EB1⊥AD1: 设M在BB,上，且=子是香在CD上存在点E,使平面ADE上平面AMB,若存在，指 点的位置，若不存在，请说明理由. 第3页 共4页 17.已知等比数列{an}的各项为正数，Sm为其前n项的和，a3=8,S=14. (I)(I)求数列{an}的通项公式： (2)(Ⅱ)设数列{bm一an}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bm}的通项公式及其前n项的和 In. 18.己知直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两个点A,B. (I)求实数的取值范围； (2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?？若存在，求出k的值：若不 存在，说明理由. 19.类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空 间直角坐标系O一xyz中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程F(x,y,2)=0. (1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出： ①过点P(x0,0,20),法向量为元=(A,B,C)的平面的方程： ②平面的一般方程： ③x,,z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程(abc卡0)；（不需要说明理由） (2)设F,F2为空间中的两个定点，乃F2=2c>0,我们将曲面T定义为满足 P乃+PF2=2a(a>c)的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系O-xyz,并推 导出曲面T的方程. 第4页 共4页 2025-2026学年广东省中山市桂山中学高二上数学期末模拟试卷 数学参考答案 一、单选题，每题只有一个选项符合要求，共8题，每题五分，共40分。 1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 二、多选题，每题有多个选项符合要求，选对部分得部分分数，选错不得分，共3题，每题六分， 共18分。 9.A,B,D 10.B,C 11.B,C,D 三、填空题，共3题，每题五分，共15分。 12.兰的最大值为v√，最小值为-√3 13.4 14.24π 四、解答题，共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 15.(1)2√2 2)2v17 3 16.(1)详见解答过程 (2)存在点E为CD中点使平面AD1E⊥平面AME,详见解答过程. 17.(1)a=2” (2)见解析 第1页共12页 18.(1)（-2,-V2) (②)存在，k=-6+V6 5 19.(1)①A(x-x0)+B(y-0)+C(z-20）=0: ②Ax+By+Cz+D=0: ③2+Y+之=1. a b c 四苦+若+苦-1g-心- 数学参考解析 一、单选题，每题只有一个选项符合要求，共8题，每题五分，共40分。 1.C 【解答过程】 因为l/a,所以a=(1,2,1)与元=(2，t,4)垂直， 故a.元=(1,2,1)·(2，t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3. 故选：C 2.D 【解答过程】 由直线方程知，直线斜率为Y 3,则tana=、 3 故倾斜角为150°， 故选：D 3.B 【解答过程】 由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得r-1≤3≤r+1, 解得：2≤r≤4. 故选：B 4.A 【解答过程】 ·.两个正数1,9的等差中项是a,等比中项是b, ∴.2a=1+9,b2=1×9, ∴.a=5,b=3或-3， 又.b>0, ∴.b=3, 通战号+苦-1写皮号+号-1 ·该曲线是焦点在x轴上的椭圆， 设半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为A、B、C, 第2页共12页 .A2=5,B2=3 .C2=A2-B2=5-3=2, ∴.C=V2或C=-V2(舍)， 得厚 e= 5 故选A. 5.C 【解答过程】 若4<k<6时，此时6-k>0且k-4>0, 但k=5时，方程可表示为x2+2=1, 是一个圆心为(0,0)半径为1的圆， 故是不充分条件， 若2 y2 6。k十二4=1表示椭圆， 6-k>0 则{k-4>0 6-k≠k-4 解得4<k<5或5<k<6, 故是必要条件， 故是必要不充分条件， 故选C. 6.C 【解答过程】 (-3)2+y2=16的圆心为(3,0)，半径为4， 而=2pu的准线方程为x=-号圆与准线相切， 3-()=4 卫=2， 故选C. 7.D 【解答过程】 设A(1,h),B(c2,2),A、B在椭圆上， 小器答-10，祭+答-@， 用①-②可得， 2c2二+边2 、22 a2- =0, 化附去会资 b x1-r2 由斜率公式可知直线的斜率k为， k=班-驰=0-（-山=1， 1-2 -3-1=2 .·AB的中点坐标为(1，-1)， 第3页共12页 1十心2=1，班十班=-1， 2 2 1b22 2=-a2 -2 a2=262, a2=b2+c2且c=3, .a2=18,b2=9, 裙方程为后+苦-1 故选D, 8.B 【解答过程】 方法一： 黄金分割比例具有等比中项性质，若： a1=头顶至咽喉的长度， a2=咽喉至肚脐的长度， a3=头顶至肚脐的长度， a4=肚脐至足底的长度， a5=头顶至足底的长度， 则数列{a}是公比为q= 的等比数列， V5-1 由题可知a1<26,a4>105, 注意到： 2 9= 5+1=1+5-1 V5-1 2 2 ≈1.618， q2= 75+112 3+V5 2 2 2 q4= 3+V5 7+3√5 2 =5+3×5-1 ≈6.854， 2 2 故169.9≈105q<a5<26g≈178.2， 故选B. 方法二： 头顶至脖子下端的长度为26cm, 说明头顶到咽喉的长度小于26cm, 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是V5 2 1≈0.618， 26 可得咽喉至肚脐的长度小于 ,≈42cm, 0.618 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1 2， 可得肚脐至足底的长度小于2+26 =110, 0.618 即有该人的身高小于110+68=178cm, 又肚脐至足底的长度大于105cm, 可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm 第4页 共12页 即该人的身高大于65+105=170cm, 故选：B 二、多选题，每题有多个选项符合要求，选对部分得部分分数，选错不得分，共3题，每题六分， 共18分。 9.A,B,D 【解答过程】 当a=1时，作抛物线y=4x的准线l:x=-1,过P作PC⊥l,过B作BD⊥l,如下图所示： D A 可得A(1,0)恰为抛物线的焦点，由抛物线定义可得PA=PC=xp+1≥1， 则PA+PB=PC+PB≥BD=4,故A、B正确： 当a=3时，连接AB,如下图所示： B A 设P(存，y）则PA=Vc-3+(仕2VE-02-V-2x+9.当=1时，PA取得最小 值为2V2,故C错误： 则PA-PB≤AB=V√3-3)2+(2-0)2=2，当P在线段AB的延长线上时，等号成立，故D正 确 故选：ABD. 10.B,C 第5页 共12页 【解答过程】 以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,轴，建立空间 直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0),C1(0,2,2),C(0,2,0),E(2,1,2),D1(0,0,2), 则AC1=（-2,2,2),D1E=(2,1,0): 由AC1·D1E=-2×2+2×1+2×0=-2≠0，即AC1不垂直 于D1E,故A错误； → → 设P(a,2,0)(0≤a≤2)，|PE1=|PD1,即为 V(a-2)2+(2-1)2+(0-2)2=√(a-0)2+(2-0)2+(0-2)2 化为Q-22+5=a2+8,解得a=子，故B证确； 平面CD1E即为平面B1CD1A1,而BC∥平面C1D1E,又P在BC上， 可得P到平面C1D1E的距离为棱长，且为定值， 又△C1D1E的面积为定值，所以四面体EPC1D的体积为定值，故C正确； 由D1E=(2,1,0),DP=(a,2,-2),设平面PD1E的法向量为m=(c,,z), 元.D,E=2x+g=0 由 可取x=1,则y=-2,2=受-2， (m.D,P=ax+2g-22=0 即有m=(1,-2,号-2)， 由DD1⊥平面C1D1E,可得DD1=(0,0,2)是平面C1D1E的法向量， a-4 则二面角P-D1E-C1的余弦值为 2-号 1 2V5+(受-2)2V√5+(2-号)2 由0≤a≤2可得二面角P-D,E-C的余法值取值范图是，影引，故D猎误 故选：BC 11.B,C,D 【解答过程】 选项A: a+k-an=a1ga+k-1-a1q-1=a1q-1(g-1）, 因为g>1,所以当a1<0时，an+k<an,故错误； 选项B: n+k 令t=n2+m一4，t在neN*单调递增，则t(1)=1+k-4>0,解得k>3,故正确： 选项C: an+k-a.=2(n+)+(-1)"+k-[2m+(-1)"]=2k+(-1)"(-1)-1), 当n为奇数时，2k-（-1)k+1>0,存在k≥1成立， 当n为偶数时，2k+（-1)-1>0,存在k≥2成立， 第6页共12页 综上：{an}是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确： 选项D: 若{a}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 am+k-am=(n+k)2-t(n+k)+2020-(n2-tn+2020)=2kn+k2-tk>0n∈N*成立， 则k2+(2-t)k>0,对于k≥3成立，且2+(2-t)k≤0对于k≤2成立， 即k+(2-t)>0,对于k≥3成立，且k+(2-t)≤0，对于k≤2成立， 所以t-2<3,且t-2≥2， 解得4≤t<5,故正确. 故选：BCD 三、填空题，共3题，每题五分，共15分。 12.的最大值为√3，最小值为-v3 【解答过程】 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3, 丛表示圆上任一点与原点(0,0)的连线的斜率， 设y=x,即kx-y=0, 当直线k一y=0与圆相切时，兰有最值，即d=, 、 I2kA =√3，解得k=V3,k=-√3， 2+1 的最大值为√/，最小值为-√， 2 13.4 【解答过程】 依题意，点(0,4)关于直线y=x的对称点(a,b)在圆(x-m)+(g-1)2=1上， 兰号，解餐a=46=0,因比点40在圆e-mP+-=1止 则 63 =-1 a-0 则4-m)2+(0-1)2=1,解得m=4, 所以实数m的值为4. 故答案为：4 14.24π 【解答过程】 平面四边形ABCD中，连接AC、BD交于点M, 如下图所示， B D .AB=AD=V2,CB=CD=10,AC=4, ·.平面四边形ABCD是筝形， 第7页共12页 .△AMB≌△AMD, .∠AMB=∠AMD=90°，BM=DM, 在三角形ABC中，由余弦定理可得cosB=2+10-16 、V5 2×VW2×V10 5 则sinB=VT-cos'B=2y5 5 1 ∴.S△ABC= cnB=号xvD0xv2 2V5=2, 5 又.BM⊥AC, .SAABC AC·BM 2 .BM= 2S2×2 AC 4 二1 .DM=BM=1, 在Rt△AMB中，AM=VAB2-BM2=1, ·.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD时，D到平面ABC的距离h≤DM, ·.当三棱锥D'一ABC的体积取得最大值时，D'到平面ABC的距离h=DM,即△ACD所在平面与 △ABC所在平面垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，如图： ◆2 C D 则A(0,0,0),B(0,1,1),C(0,4,0),D(1,1,0),设外接球的球心为0(x,y,z),则 OA=OB=OC=OD', x2+y2+2=x2+(y-1)2+(z-1)2 可得： x2+2+z2=x2+(y-4)2+2 x2+y2+z2=(x-1)2+(gy-1)2+z2 解得x=-1:y=2,z=-1, 外接球的半径为：r=0A=√2++公=V6, 外接球的表面积为：S=4πm2=24π. 四、解答题，共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 15.(1) 2V② 【解答过程】 ∫x2+y2+4x-4y+4=0 由2+=4 相减得两圆的公共弦所在直线方程为：x一y+2=0 设 第8页 共12页 (0,0)到l的距离为d,则d= 10-0+2 V2 .公共弦长m=2×√22-(（√②2=2v2 (2) 2V17 3 【解答过程】 QD V(x0+2)2+(6-22-4 由题设 =2得： =2 Qc Vr02+02-4 化简得：02+62 4 4. 20 30+56- =0 3 32 配方得：-专十如 2268 3 9 ·.存在定点M( 2)使得Q到M的距离为定值， - 且该定值为2v7 3 16.(1) 详见解答过程 【解答过程】 以点D为原点，DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、轴，建立直角坐标系，令正方体的棱长 为1， 由题意得：E(0,t,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),D1(0,0,1), EB1=(1,1-t,1),AD1=(-1,0,1), EB1·AD1=-1+1=0, .EB⊥AD1 (2) 存在点E为CD中点使平面AD1E⊥平面AME,详见解答过程. 【解答过程】 沿用小题(1)的坐标系， () E(0,t,0) 应=（-1t0.D=(-1,01,成-(0,1，) 令n=(c,,z),n2=(m,n,)分别为平面AD1E和平面AME的法向量 n·AE=0 得： ∫x=ty AD=0 x=z .令n=(t,1,t), A2=0 得： m=tn .AM=0 n=-k' 令 第9页 共12页 =（61,） 要使平面AD1E⊥平面AME, n2=2+1- =0 解得：t或=2（合去）， 点E为CD中点. 17.(1) an =2n 【解答过程】 由题意知，等比数列{an}的公比q≠1，且q>0, （ag=a1q2=8 所以 s3=0=14' 1-q 解得1=2 a1=18 {-2,政=- (舍去)， 则所求数列{am}的通项公式为an=2” (2) 见解析 【解答过程】 (Ⅱ)由题意得bm-an=1+(n-1)×3=3n-2, 故bn=3n-2+an=3m-2+2n Tn=b1+b2+b3+..+bn=(1+4+7+..+3n-2)+(2+22+23+.+2n) =n(1+3n-2)2(1-2") 2 1-2 =2mt1+2 2、 3 22 18.(1) (-2,-V②). 【解答过程】 联立g=+1 2x2-2=1’ 整理得：(k2-2)x2+2k+2=0, 与双曲线C右支交于不同两点，心1，x2取正， 2-2≠0 4=(2k)2-8(2-2)>0 +西=益>0 2。>0 1·x2== 解得：-2<k<-V2, 故实数k的取值范围为(-2，-V②)： (2) 存在， 第10页 共12页 6+v6 5 【解答过程】 设A(c1,1),B(x2,2) 2k 2 由第1向知：4+4=20,122-2 …②， 设存在k,使得从线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(C,O), AB为直径， ∴AF⊥BF, AF=(c-G1,-h),B户=(c-x2,-2), AF.BF=0, .(c-x1)(c-x2）+1y2=0, y1=k1+1,y2=kc2+1, ∴.(c-x1)(c-c2)+(kx1+1)(kx2+1)=0, 整理得：(k2+1)x1x2+(k-c)(c1+x2）+c2+1=0.③， e=0+8=多 ..c= 2 将c= 誓及D8代X色中： +22+（-) -2k3 3-2++1=0, 整理得：5k2+2V6k-6=0, 解得：k=-6+6或k=6-V西 5 5 又.k∈(-2，-V②)， k=一 6+V6 5 ∴存在，k=-6+6 5 19.(1) ①A(c-x0)+B(y-o)+C(z-20）)=0: ②Ax+By+Cz+D=0: ®+名+总-1 【解答过程】 ①A(c-x0)+B(y-o)+C(z-0)=0,理由如下： 设平面上除P(co,0,20)任意一点坐标为Q(c,,z) 则P.元=0，即A(x-xo)+B(g-6)+C(2-20)=0, 故所求平面方程为A(x-xo)+B(y-o)+C(z-20)=0: ②平面的一般方程为Ax十By十Cz十D=0,理由如下： 由①得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-0)=0,可变为 Ax+By+Cz-Axo-Byo-Czo=0:D=-Axo-Byo-Czo 故平面的一般方程为Ax+Bg+Cz+D=0: 第11页 共12页 ③，y,z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程(abc丰0)为 总+名+总=1，理由如下： 由②可得平面的一般方程为Ax+By+C之+D=0, 因方程在x,y,轴上存在截距，且截距非0，故A≠0，B≠0，C≠0，D卡0， 变形为Ar十By十Cz=-D,故工 y + 2 2+b-1, 真D D D A今a,万6，可c,故平面截距武方程为。十十三、 (2) z2 2 5y12=1(b=a-c2) 【解答过程】 以两个定点F,的中点为坐标原点O,F1,F2所在直线为y轴，线段FF的垂直平分线为x轴，以 与xOy平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0，c,0),F2(0,-c,0),FF|=2c>0, 设P(x,y,z),由PF+|PFl=2a(a>c, 可得V2+(g-c2+2+√22+(g+c)2+2=2a, 移项得V2+(g-c2+2=2a-V2+(y+c)2+2, 两边平方，得 x2+(g-c)2+2=4a2-4aVx2+(y+c2+2+x2+(y+c)2+2, 即4a1√x2+(g+c)2+2=4a2+(g+c2-(y-c)2=4a2+4cy 故a√x2+(g+c)2+2=a2+cg, 两边平方得a2x2+(a2-c2)2+a2z2=a2(a2-c2) 两边同隆u子公-.利兰+ 22 a2c2=1, a2 8--2,微r的粗后法1-子习 第12页 共12页