证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦三角形恒等式证明与正余弦定理、三角函数性质的综合应用，通过分层例题与变式构建知识逻辑链，培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明三角形中的恒等式|3例+3变式|三角形恒等式证明，结合几何图形与探究性问题|从基本恒等式证明到复杂几何情境下的多步推理，强化正余弦定理与面积公式的综合应用| |正余弦定理与三角函数性质综合|3例+3变式|正余弦定理与三角函数性质综合，涉及函数单调区间、最值及面积计算|以三角函数性质为桥梁，构建解三角形与函数性质的逻辑链条，提升综合分析能力|

证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 考点目录 证明三角形中的恒等式 正余弦定理与三角函数性质综合 考点一 证明三角形中的恒等式 例1.(2026河北张家口二模)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，D,E分别为边AB,AC上的 动点，记O为BD与DE的夹角. (1)证明：（a2-b2)sin(A+B)=c2sin(A-B); (2)证明：ccos0=acos(B-0)+bcos(A+0). 例2.(226：河北保定二模)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,,c,sn4simB=b sinc a+b )求8的值 (2)证明：c0sA+c0sB+c0sC>1. 证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 例3.(2026安徽合肥.一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-2 bcos(B+C)=0. (1)证明：a2=b2+2c2: (2)求内角C的最大值. 变式1.(25-26高三上广东佛山月考)记锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积 为S,且满足b2-c2)sinB=2S,点H在线段AC上，BH平分∠ABC. (1)证明： BC CH AB AH (2)证明：B=2C; (③)在上述条件下，设点D为线段BH上的动点，连接AD并延长交BC于点E,若存在符合题意的ABC和点D, 满足ScE=BD 5ADED7m，求实数m的取值范围. 证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 变式2.(25-26高三上·河南信阳月考)在ABC中，若点P满足LPAB=∠PBC=LPCA=Q,则点P称为ABC的 布洛卡点，角o为ABC的布洛卡角，己知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点P是ABC的布洛卡点. (I)若ABC为正三角形，求a; (2)已知PA=元|PB1(>0) ①求证：b2=1ac ②若a+c=2,1=3,求ABC面积的最大值. 变式3.(25-26高三上贵州毕节月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, sin'A+sin'B-sin'C= sin A sin B sin C. 3 (I)证明：sinC= 3(c2-a2-b2） 2ab (2)求C: ③)若c=9,边B上的中线CD=5,求边a,b的长 2 证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 考点二 正余弦定理与三角函数性质综合 例1.(2026黑龙江哈尔滨三模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC外接圆的半径为√6， H.bcosC+acosA=3asinA-ccosB (1)求a; (2)角A的平分线交BC于点D,且AD=√5，求ABC的周长 例2.(2026-辽宁盘锦一模)已知向量m=(sinx,-),n-V5cosx,- 》 设函数f(x)=(m+m-2 (1)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称中心； ②已知a,,c分别为钝角三角形4BC的内角4，B,C对应的三边长，A为锐角，a=1,c=厅，且f(4= 求三角形ABC的面积， 证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 例3.(25-26高一下·湖南长沙阶段检测)己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 tanC=sinA+sinB cosA+cosB (1)求C的值 (2)设ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r (i)若R=4V5,r=√5，求ABC的周长： (i)求的最大值 R 变式1.(2025·江苏镇江·模拟预测)己知函数f(x=2√3 sin@xcos@x-2cos2ox+2,其中o>0. (1)若函数f(x)在区间(0,1)内恰有2个极值点，求ω的取值范围； (2)当o=1时，在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A=3,b+c=2，,求边a的取值范围 证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 变式2.(24-25高三上·云南月考)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且(2a-c)cosB=bcosC. (I)求角B的大小： (2)若b=√5，设角A的大小为x,ABC的周长为y,求y=f(x的最大值. 变式3.(2025陕西西安·二模)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为α，b,c,己知R是该三角形外接圆的 半径，且-bsin A-R cos Acos B三)3c (1)求角C; (2若ABC的面积为3，求y50的取值范围. 2S 6证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 证明三角形中的恒等式、正余弦定理与三角函数性质综合专项训练 考点目录 证明三角形中的恒等式 正余弦定理与三角函数性质综合 考点一 证明三角形中的恒等式 例1．（2026·河北张家口·二模）在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 方法一：由余弦定理化简得，两边同乘，结合正弦定理化简即可证明结论； 方法二：结合正弦定理将问题转化为证明，利用和差化积和二倍角公式，即可证明结论； （2）方法一：特殊情况先验证：当点D，E都位于点A时，，一般情况： 由，利用向量数量积的几何定义即可证明； 方法二：展开右侧的和差角余弦，结合三角形中的射影定理与正弦定理，消去含的项，化简为左侧形式即可 【详解】（1）方法一：由余弦定理得，， 所以， 即， 两边同乘，得， 由正弦定理可得， 所以． 方法二：由正弦定理可知，要证， 只需证， 又因为 ， 所以，得证． （2）方法一：当点都位于点时，，等式显然成立． 当点不同时位于点时， ， ， ， ， 所以，又， 即． 方法二：展开等式右边， ， 易知，又由正弦定理可知，， 所以， 即． 例2．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可. 【详解】（1） ， 因为，所以， 所以由，或， 由， 由，显然不成立， 所以； （2）由（1）可知：， 所以，因为， 所以， ， 由，设，， 设， 则，令， 因为，所以解得， 当时，函数，所以函数在上单调递增， 当时，函数，所以函数在上单调递减， 因为，所以函数在时，值域为， 即当时，， 于是当时，. 例3．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出的最小值即可由余弦函数性质得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 变式1．（25-26高三上·广东佛山·月考）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为S，且满足，点H在线段AC上，BH平分． (1)证明：； (2)证明：； (3)在上述条件下，设点D为线段BH上的动点，连接AD并延长交BC于点E，若存在符合题意的和点D，满足，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3) 【分析】（1）由正弦定理得到方程，联立后可得结论； （2）由三角形面积公式和正弦定理得，从而； （3）先得到，并且，结合（1）和正弦定理得，代入可得，求出，从而. 【详解】（1）BH平分，故， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又，两式相除可得； （2）因为，故， 又为锐角三角形，，故，所以， 由正弦定理得， 其中 ， 故，又， 所以， 又为锐角三角形，，， 故或，故或（舍去）； （3）先证明，过程如下： ， 故， 故 ，又，所以， 由（1）可知，故，即， 由正弦定理 ， 故， 所以，所以， 均非负，故， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 则.    变式2．（25-26高三上·河南信阳·月考）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析;② 【分析】（1）利用对称性和三角形内角和可证得，即可求出布洛卡角； （2）①通过正弦定理在和中建立比例关系，结合化简计算即可得出结果；②由①得，结合余弦定理和面积公式，通过二次函数性质求面积最大值. 【详解】（1）为等边三角形，因为， 所以， 所以， 所以，所以，所以. （2）①证明：在中，，即； 在中，，即， 所以，由正弦定理得：. 因为，所以，即. ②由可得. 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以 由三角形的面积公式可得：， 所以. 令，则是关于的方程的两个根， 所以且，解得：. 由可解得，， 而由可得：. 所以由三角形的两边之和大于第三边可得：，解得：， 所以. ，对称轴为， 所以当时，， 所以. 故最大值为 变式3．（25-26高三上·贵州毕节·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 考点二 正余弦定理与三角函数性质综合 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 例2．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 (2) 【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解； （2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）， . 所以. 由 ，得. 即 . 由 ， 得 ，即. 所以函数 的单调递增区间为 . 令 ，得 ， 此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 . 综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 （2）由（1）知 ，由 得 ， 因为 为锐角，所以，则 ， 所以，解得 . 由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ，所以 或 ， 若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾; 若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意， 三角形面积 . 当 时，，，由余弦定理得 ， 所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去. 综上所述，三角形 的面积为 . 例3．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 变式1．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由， 因为，可得 又因为在上恰有2个极值点，则满足， 解得，所以的取值范围为. （2）解：当时，可得 由，可得，即， 因为，可得，所以， 解得，所以， 又由正弦定理，可得， 所以， 又因为，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 变式2．（24-25高三上·云南·月考）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，求得，即可求得的大小； （2）根据题意，由正弦定理得到，结合三角恒等变换的公式，化简得到的周长，再由，利用三角函数的性质，即可求得周长的最大值. 【详解】（1）解：在中，因为， 由正弦定理可得， 即， 可得, 因为，所以，可得， 所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由题意知：，，且，则， 根据正弦定理得，可得， 所以的周长 ， 因为，所以当，即时，取得最大值， 此时，即周长的最大值为. 变式3．（2025·陕西西安·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且． (1)求角C； (2)若的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得. （2）将转化为角的形式，由此求得取值范围. 【详解】（1）依题意，， ， 由正弦定理得， 所以， ， 所以，所以为锐角，且. （2）， 由于三角形是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $