解三角形最值问题（周长、线段、面积）专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解三角形：周长最值问题、线段最值问题、面积最值问题专项训练 解三角形：周长最值问题、线段最值问题、面积最值问题专项训练 考点目录 周长最值问题 线段最值问题 面积最值问题 考点一 周长最值问题 例1．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得； （2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； （2）由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 例2．（2026·安徽淮北·二模）已知的三个顶点在半径为2的圆上，. (1)求； (2)若为锐角，求周长的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由正弦定理可求得，可求； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换，以及的范围可求得周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得，所以， 又因为，所以或. （2）若为锐角，由（1）可知， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为. 例3．（2026·甘肃陇南·一模）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 因为，则，所以， 则， 因为，则，所以，解得． （2）由正弦定理可得，即， 所以，易知， 所以 ， 因为为锐角三角形，且，则得， 所以， 因为， 所以， 所以． 变式1．（25-26高三上·重庆·月考）已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、 (1)若 ，求 ； (2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理解三角形可得答案； （2）由，利用正弦定理把边换成角，然后两边同乘以，化简，可得的角度，再利用正弦定理把周长表示成关于角的函数，利用三角函数最值的求法可得答案. 【详解】（1）由正弦定理有， 所以有，由余弦定理得， ，解得. （2）， 则有， 两边同乘则化简有：， 所以， 所以，所以，所以，， 则有：， 则有，其中． 其中仅当时取等，所以周长的最大值为． 变式2．（2025·广东东莞·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得， 又，所以 . （2）由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. 变式3．（24-25高三下·山东德州·月考）在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得,再根据即可求解； （2）设的内心为，，在中，由正弦定理得，再根据三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 由，则， 即, 而，故， 又， 所以 （2）由（1）可得， 即， 设的内心为，即， 故. 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以的周长为 因为， 所以， 所以， 所以， 故的周长取值范围为. 考点二 线段最值问题 例1．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可； （2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，所以， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； （2）如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 例2．（25-26高三下·广东东莞·月考）已知在中，满足恒成立，设函数. (1)求A的取值构成的集合； (2)设D是边的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由辅助角公式、二倍角正余弦公式化简条件，结合不等关系及正弦函数的单调性求的范围，即可得； （2）根据、余弦定理及向量数量积的运算律得到，结合基本不等式及分式、根式型函数的单调性求其最值. 【详解】（1）由， 由，则， 由，所以，即， 由， 即，而， 所以或，可得或， 综上，； （2）令，且， 所以， 所以，则， 令，当且仅当时取等号，所以， 当时，在上单调递减，此时， 当时，且在上单调递增， 且时，则， 综上，的最大值. 例3．（2026·甘肃金昌·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合三角恒等变换得，进而求得答案； （2）根据正弦定理得，，再结合三角恒等变换得，最后结合求解值域即可得答案. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 又，所以， 由，得． （2）由正弦定理有， 所以，， ， 由，有，可得， 所以，即的取值范围为． 变式1．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； （2）在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 变式2．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 变式3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一、由正弦定理结合三角恒等变形化简可得，进而得到；法二、利用余弦定理代入，整理得，再求即可求解； （2）先根据锐角三角形得到，再利用余弦定理求的范围，再结合进行求解． 【详解】（1）解：方法一、因为，则. 由正弦定理得： 则，因为，则. 所以，所以. 法二、由余弦定理：， 代入，得，又， 故， 整理得，故， 又，故； （2）在锐角中，由，可得. 又， 又，则，故. 又，设，设， 又在上单调递减，在上单调递增，所以 又因为，所以，故的取值范围为． 考点三 面积最值问题 例1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，由边化角，再根据余弦定理，直接求出角C即可； （2）根据三角形中线的性质，求出向量关系，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值即可. 【详解】（1）由，可得， 化简得，则，解得. （2）由题意可得，所以， 即， 则，化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以， 所以面积的最大值为. 例2．（2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可； （2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. （2）由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 例3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解； （2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，所以； （2）如图，由题意及第（1）问知，， 且， ∴， ∴，化简得， ∵，，∴由基本不等式得，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 故的面积的最小值为.    变式1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理角换边可得，进而利用正弦定理可得； （2）根据余弦定理和三角形面积公式得，进而可得最大值为. 【详解】（1）由题意： 则， 则， 则， 又由余弦定理得得， 所以 （2）由余弦定理得，又，所以 当即时取得最大值，即， 此时，又，满足构成三角形的条件， 故的最大值为. 变式2．（25-26高三上·湖南湘西·月考）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且． (1)求角A； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后结合三角恒等变换运算求解； （2）根据题意利用正弦定理和面积公式，并结合三角恒等变换可得，求角C的范围，结合的范围运算求解. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得， 又因为， 可得， 且，则，可得，则， 又因为，则，可得，所以． （2）由正弦定理，可得， 则面积 ， 因为为锐角三角形，故，解得， 所以，则，可得， 所以的取值范围为． 变式3．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在等边中，，点分别在边上，且，，    (1)用表示; (2)若为等腰直角三角形，求的取值范围； (3)若，求的面积的最小值 【答案】(1)、且； (2)； (3)最小值为. 【分析】（1）在、中应用正弦定理用表示出，注意范围； （2）根据得到，结合范围求的取值范围； （3）由题设得，结合，且令，从而得到，进而有求参数范围，即可得面积最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，且，，则； 由，且，，，则. 所以，，. （2）为等腰直角三角形，则，即， 所以，而，则，且， 所以. （3）若，则， 令， 则且， 所以，则或（舍）， 存在，使，此时成立， 综上，的面积的最小值为 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：周长最值问题、线段最值问题、面积最值问题专项训练 解三角形：周长最值问题、线段最值问题、面积最值问题专项训练 考点目录 周长最值问题 线段最值问题 面积最值问题 考点一 周长最值问题 例1．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 例2．（2026·安徽淮北·二模）已知的三个顶点在半径为2的圆上，. (1)求； (2)若为锐角，求周长的取值范围. 例3．（2026·甘肃陇南·一模）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 变式1．（25-26高三上·重庆·月考）已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、 (1)若 ，求 ； (2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值. 变式2．（2025·广东东莞·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. 变式3．（24-25高三下·山东德州·月考）在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 考点二 线段最值问题 例1．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 例2．（25-26高三下·广东东莞·月考）已知在中，满足恒成立，设函数. (1)求A的取值构成的集合； (2)设D是边的中点，求的最大值. 例3．（2026·甘肃金昌·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 变式1．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 变式2．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 变式3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 考点三 面积最值问题 例1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 例2．（2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 例3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 变式1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 变式2．（25-26高三上·湖南湘西·月考）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且． (1)求角A； (2)若，求面积的取值范围． 变式3．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在等边中，，点分别在边上，且，，    (1)用表示; (2)若为等腰直角三角形，求的取值范围； (3)若，求的面积的最小值 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $