广东广州大学附属中学2026届高三下学期综合测试（五）数学试题

**基本信息** 该试卷知识覆盖全面，注重能力梯度设计，解答题融合统计与概率、立体几何、数列、圆锥曲线、导数等核心模块，如统计题结合环保AQI数据，导数题探究切线与曲线位置关系，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|集合、复数、数列、函数性质等|基础概念辨析，如函数奇偶性的充要条件判断| |多选题|3题/15分|统计图表、三角函数、立体几何|结合实际数据（如AQI监测）考查数据分析，选项分层设错| |填空题|4题/20分|等差数列、椭圆离心率、圆的切线|注重几何直观，如椭圆中距离与焦距关系| |解答题|5题/75分|统计与概率、立体几何、数列、圆锥曲线、导数|综合性强，如导数题论证切线位置关系，体现逻辑推理与创新应用|

2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试（五） 数 学 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 4．已知，，若，则（   ） A． B．5 C． D．10 5．“”是“函数为奇函数”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 8．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．某市环保部门连续10天监测甲、乙两个区域的空气质量指数（简称AQI），记日期编号为，甲、乙两个区域的AQI分别为，将数据整理如下： 日期编号   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲区域AQI    27 44 43 45 34 35 33 34 40 35 乙区域AQI    34 34 30 31 36 33 32 34 33 33 根据数据进行分析，以下说法正确的是（   ） A．甲区域AQI的极差为18 B．乙区域AQI的第65百分位数为33.5 C．甲区域AQI的方差大于乙区域AQI的方差 D．根据最小二乘法求得关于的经验回归方程对应的直线必过点 10．下列说法正确的是（    ） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 11．已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（    ） A．球的表面积为 B．动点的轨迹长度为 C．直线与所成角的正切值的取值范围是 D．三棱锥的外接球球心为，则 三、填空题 12．已知等差数列的前项和为，且，，则______. 13．已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 14．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上有且仅有两个点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； (2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； (3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 16．如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)证明：平面； (2)若，为的中点，为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和． 18．已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，上顶点为． (1)求的方程； (2)延长交于点，求线段的长； (3)若是上的动点（异于），直线与轴交于点，直线与交于点，求点的轨迹方程． 19．已知函数，曲线在点处的切线记为． (1)求函数的最小值； (2)当时，证明：除切点外，直线 曲线的下方； (3)设过点的直线与直线垂直，与轴交点的横坐标分别是，若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试（五） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A A D C ACD BD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】由解得：或，故或， 由，解得：，故， 所以 2．D 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 3．C 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 4．C 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标表示，得到，再利用向量的模长公式，即可求解. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，则， 故选：C. 5．A 【分析】利用三角函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可 【详解】当时，为奇函数，故充分性成立； 当函数为奇函数，故，故必要性不成立； 则“”是“函数为奇函数”的充分而不必要条件 故选：A 6．A 【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理. 【详解】因为，所以当时，有， 因为在区间内恰有一个极值， 结合函数图象，得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 7．D 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 8．C 【解析】设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为，代入得：. 由根与系数的关系得，， 所以. 又直线CD的方程为，同理， 所以， 所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 则由抛物线的定义可得. 所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 9．ACD 【分析】根据极差、百分位数、方差和经验回归方程的定义计算判断各个选项； 【详解】对于A，甲区域AQI的极差为，A正确 对于B，乙区域AQI的数据从小到大排序：，共10个数据， 计算，第65百分位数是第个数，B错误； 对于C，甲区域AQI的平均数为， 方差 乙区域AQI的平均数为 方差，因为，故甲区域AQI的方差大于乙区域AQI的方差，C正确； 对于D，因为，由上可知 所以根据最小二乘法求得关于的经验回归方程对应的直线必过点，D正确； 故选：ACD. 10．BD 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；利用正切函数求出定义域判断D. 【详解】对于A，由，得，则，故A错误； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，故B正确； 对于C，终边落在射线上的角的集合为， 终边落在射线上的角的集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，故C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，故D正确. 故选：BD 11．ABD 【分析】利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出的坐标，进而得到的长度判断D即可. 【详解】对于A，设长方体的外接球半径为， 由长方体性质得， 由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确， 对于B，如图，在长方体中， 以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，，， 因为点为的中点，所以， 则，，设面的法向量为， 可得，令，解得，故， 因为为底面（含边界）内一个动点， 所以设，则， 因为平面，所以， 得到，化简得， 当时，，不符合题意，当，时，符合题意， 则的轨迹是点与点之间的线段， 由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确， 对于C，因为，所以，此时变为， 由题意得，，则，， 设异面直线与所成角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 则，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，可得， 即，故C错误， 对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得， 且，，，，设，半径为， 则外接球的方程为， 将代入方程，得到， 将代入方程，得到， 两式相减可得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减可得，解得， 则，由两点间距离公式得，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】易得直线AB的方程为，再由原点到直线AB的距离为求解. 【详解】由题意知：，则直线AB的方程为， 所以原点到直线AB的距离为， 又，则，即， 解得，则， 所以. 13． 【分析】由所给条件可转化为曲线与圆有且仅有两个交点即可，利用圆心到射线的距离及数形结合即可求解. 【详解】连接，    因为，所以， 所以， 即的轨迹方程为， 又曲线恒过点， 当时，曲线为上图所示折线， 由题意，此时折线与圆有且仅有两个交点即可， 所以圆心到射线的距离， 且圆心到射线的距离， 化简可得且， 解不等式可得且，所以； 同理，当时，折线开口向下，与圆无交点，不符合题意； 当时，曲线为，与圆无交点，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14．14 【分析】解法一：因为，且为等差数列，可以得到，求解即可. 解法二：因为为等差数列，所以为等差数列，设，则，，三项成等差数列，再通过等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，且，则， 于是，则，. 解法2  由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列， 于是，则，，. 故答案为：14. 15．(1)，，，，． (2)认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联 (3)． 【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出的值. （2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算的观测值，并与给定的临界值进行比较，从而判断两个分类变量是否有关联. （3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率. 【详解】（1）由列联表数据关系可知，，，，，，综上，，，，，． （2）零假设：市民体育锻炼频次与体质达标无关联． 根据列联表数据，计算 由于，根据小概率值的独立性检验，判断不成立， 因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联． （3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人． 从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种， 设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况． 则． 所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）空间几何证明，利用平面几何关系找到，结合条件，利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用向量夹角余弦与平面夹角的关系求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形，所以，， 所以， 在中，由余弦定理得，， 即，所以，所以， 所以是等腰直角三角形，所以， 又因为，且，平面，所以平面 （2）因为平面，平面，所以， 又且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则有，，，， 则，因为为的中点，所以，， 因为为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 记平面与平面夹角的余弦值为， 所以. 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据，，得到为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出和公比，求出的通项公式； （2）在第一问的基础上得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案. 【详解】（1），，， 即，，， 故为等差数列，设公差为， 故，， 解得：，， 所以， 设等比数列的公比为，， 因为，成等差数列，所以， 即，与联立得：或0（舍去）， 且，故， （2）由题意得：为中的整数个数， 故， 所以 . 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）通过椭圆顶点、焦点的坐标关系，结合已知线段长度求出，得到椭圆方程； （2）求出直线的方程，联立椭圆方程得到交点，再用距离公式计算的长； （3）设动点的坐标，推导直线与轴的交点，进而得到直线的方程，联立后结合在椭圆上的条件，化简得到的轨迹方程. 【详解】（1）椭圆上顶点，右焦点，右顶点. 由，， 代入得，得. ， 椭圆的方程为. （2），，直线的方程为. 联立，得，整理为， 解得或. 对应，对应. 线段的长为. （3）设，满足（）. ，直线的方程为，令得. ，直线的方程为，令得. 直线（）的方程为， 直线（）的方程为. 联立两直线方程，约去得，交叉相乘化简得， 代入直线的方程得. 由，，得，代入椭圆方程得， 即. 19．(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性，进而求最小值即可； （2）利用导数求切线方程，构造，求导证明即可； （3）利用导数的几何意义和点斜式直线方程求出，进而得到，代入化简结合导函数正负得出单调性即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 因为，所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故当时，取最小值，最小值为. （2）因为，则直线的方程为，即，设， 则， 设，则， 所以当时，，故在上单调递增， 故在上单调递增，即在上单调递增， 而，则当时，， 则，故在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增， 而当时，，此时也有， 故当时，即在上单调递增， 故在上的最小值为， 故当且仅当时等号成立，即， 当且仅当时等号成立，故除切点外直线 曲线的下方. （3）由题意直线，直线， 所以， 当时，在上单调递增， 所以， 所以， 由（2）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $