精品解析：广东广州大学附属中学2026届高中毕业班考前综合测试数学试题

2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试（四） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A. B. C. D. 4. 在中，若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 正项数列的前项积为，且，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 10. 若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在，使得四边形是平行四边形 D. 面积的最大值为 11. 已知四棱锥的体积为24，底面是平行四边形，是上靠近点的一个三等分点，经过直线的平面与侧棱分别交于点（均不与重合），设，则下列说法正确的是（ ） A. 当平面时， B. 当时， C. 四面体的体积的最小值为 D. 四棱锥的体积的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的值为________. 13. 已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 14. 若，，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系” 男 女 总计 网购迷 20 非网购迷 45 总计 100 附：． 临界值表： 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若F为BC中点． （ⅰ）求异面直线AF与PC的距离； （ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积． 18. 已知函数（）． （1）设是曲线的任意一条切线，若，求的值； （2）证明：存在，对任意，且，都有； （3）证明：． 19. 已知抛物线的焦点为F，过点F作一条直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，且的最小值为． （1）求C的方程； （2）若，求的所有可能取值； （3）若M，N两点在C上（M，N与A，B均不重合），且MF，NF分别是，的平分线，的外心为G，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试（四） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，则. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入化简，利用复数相等求解得到，再利用复数的除法计算即可. 【详解】设，则， 代入得到， ， 即， 所以，即 ， 所以， 则. 3. 设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，求出，求出，则在上的投影数量为，代入数值求解即可. 【详解】单位向量的夹角为，， ， ， ， ， 则在上的投影数量为，故选项D正确. 4. 在中，若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由余弦定理知，，所以. 由正弦定理得，，则，，. 所以. 5. 正项数列的前项积为，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到为等差数列，求出通项公式，结合得到的通项公式，代入求解即可. 【详解】当时，，则， 整理得，又，所以， 当时，，则，即， 整理得或（舍去），所以. 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 因此. 当时，. 当时，满足上式，所以. 故. 6. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究单调性，进而求极大值，比较函数值大小即可求解. 【详解】由题意得，，令，得，解得或， 由，有，解得或， 由，有，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， ，，因为， 所以的最大值为. 7. 已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据 与三角形内角和，利用正弦定理将 、 转化为关于 的表达式，再令 把原式化为对勾函数，最后用基本不等式求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】在中，，由得，所以. 由正弦定理，，则，即. 由，，则， . 故. 原式， 代入得：. 令，由得，故. 原式化为，. 由均值不等式得，当且仅当即时取等号 符合条件，故，即原式最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 10. 若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在，使得四边形是平行四边形 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成， 所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况. A：由椭圆的标准方程可知， 所以是椭圆的焦点， 于是有，所以本选项结论正确； B：显然，所以是直角三角形，且， 所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意， 即，所以本选项说法不正确； C：当时， 由. 当时， 由. 假设四边形是平行四边形，因为， 所以， 即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确； D：的面积为，当且仅当时取等号，即， 所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确. 11. 已知四棱锥的体积为24，底面是平行四边形，是上靠近点的一个三等分点，经过直线的平面与侧棱分别交于点（均不与重合），设，则下列说法正确的是（ ） A. 当平面时， B. 当时， C. 四面体的体积的最小值为 D. 四棱锥的体积的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，根据题意结合三点共线的结论可得，.对于A：根据线面平行的性质定理可得，即可得，进而分析判断；对于B：根据即可分析判断；对于C：分析可知，，结合体积关系分析判断；对于D：分析可知，可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】设，， 在平面内，因为为的中点，则， 可设， 又因为三点共线，则， 则，解得，则， 因为，平面，则平面， 且，平面，则平面， 因为平面平面，则，可知， 因为三点共线，则， 且点为的中点，则，可得， 可得，消去可得. A：若平面， 因为平面，平面平面，可得， 则，即，， 则，解得，所以，故A正确； B：若，则，可知， 则，所以，故B错误； C：因为，则，解得， 又因为， 则四面体的体积， 当且仅当时，等号成立，所以四面体的体积的最小值为，故C正确； D：因为， 则四面体的体积， 可得四棱锥的体积， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四棱锥的体积的最小值为4，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的值为________. 【答案】120 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及组合数的性质求解. 【详解】由， 得 . 13. 已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 14. 若，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，对于恒成立，等价转化为对于恒成立，构造函数，根据单调性得，分离参数得对于恒成立，再构造函数，对求导，借助单调性求最小值，继而得解. 【详解】由题知，恒成立， 即，即对于恒成立， 令，则， 而在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即得，即，所以对于恒成立， 令，则， 所以当时，； 当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，又. 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果； （2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围. 【小问1详解】 根据题意可知，， 由正弦定理得：， 即， 所以， 即． 又，则， 故，即，所以 ． 又，所以 ， 即，故． 【小问2详解】 根据余弦定理得：， 即． 又因为，两边平方得． 根据正弦定理可知，，故，， 所以 ． 又由于是锐角三角形，因此可得，解得． 因此，所以，即， 所以，则． 16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系” 男 女 总计 网购迷 20 非网购迷 45 总计 100 附：． 临界值表： 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）17.5千元；（2）见解析，有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”． 【解析】 【分析】(1) 计算面积确定中位数位于区间内, 设直方图的面积平分线为，则，即可求出，进而可求中位数. (2) 根据已知补全列联表，再利用独立性检验判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”. 【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内． 设直方图的面积平分线为，则，得， 所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元． （2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人． 所以补全的列联表如下： 男 女 总计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 总计 60 40 100 因为，查表得， 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图求中位数，考查独立性检验的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若F为BC中点． （ⅰ）求异面直线AF与PC的距离； （ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅰⅰ） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直性质得平面，进而得到，再结合等腰三角形性质得，最后由线面垂直判定得平面，从而根据面面垂直判定完成证明. （2）（ⅰ）由线面平行性质推出，确定为中点，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得到向量、，求与两向量都垂直的向量，利用公式算出异面直线、距离 （ⅱ）根据外接球球心性质求出球心坐标与半径，再利用法向量求球心到平面距离，最后由勾股定理求截面圆半径并计算面积. 【小问1详解】 平面平面，平面平面，， 且平面，则平面， 因为平面，则，又，，则， 因，平面，则平面， 又平面，故平面平面． 【小问2详解】 （ⅰ）由平面，平面平面，平面，则， 故为的中点，取的中点O，连接，， 则平面，因平面，则， ，平面，所以平面， 故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x，z轴，过O作的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，，，，，，， ，， 设与，向量都垂直，则 令得， ， 则异面直线AF，PC的距离． （ⅱ）由底面为正方形，设外接球球心为， 由得，得， 则球半径， 由（2）知平面的法向量为， 则球O到平面距离为， 则球O截平面所得圆的半径， 则截面圆面积为． 18. 已知函数（）． （1）设是曲线的任意一条切线，若，求的值； （2）证明：存在，对任意，且，都有； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设切点再根据点斜式结合不等式计算得出参数； （2）构造函数，结合函数单调性计算证明； （3）由（2）知 ，结合应用错位相减法计算证明即可. 【小问1详解】 设直线与曲线切点横坐标为，因为， 所以切线方程为：， 所以， 即对任意都成立， 因为，所以在上递增且存在唯一正的零点， 又在上递减，所以也是它的零点. 所以；解得. 【小问2详解】 因为的定义域为，，， 当时，，递减； 当时，，递增. 取，设，代入得，， 所以， 设，， 因为，所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以时，存在，对任意，且，都有；. 【小问3详解】 取，，，， 则，， 由（2）知，，即， 因为，， 所以， 设， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 19. 已知抛物线的焦点为F，过点F作一条直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，且的最小值为． （1）求C的方程； （2）若，求的所有可能取值； （3）若M，N两点在C上（M，N与A，B均不重合），且MF，NF分别是，的平分线，的外心为G，证明：为定值． 【答案】（1） （2）1， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合两点之间的距离公式及二次函数的知识即可求解； （2）设AB的中点为P，直线，联立抛物线方程，结合韦达定理求出P点的坐标，再将转化为，根据AB直线斜率是否存在分类讨论即可求出不同情况下的m值，最后据此求出即可； （3）根据角平分定理可得，所以转化为研究点满足的轨迹方程，该轨迹过点F，且与抛物线存在两个交点，根据t是否为1分类讨论，其中易分析，主要在于分析时，所满足的轨迹方程，结合（2）中的结论，可以推导出关于t的表达式，代入中化简可得到的等式，分析该轨迹方程，并据此求出的外心为G的坐标，最后同A、B、F三点的坐标一并代入即可证明． 【小问1详解】 设， 则， 所以的最小值为，当且仅当成立， 依题意则有，解得， 故C的方程为． 【小问2详解】 由于，故，， 易知直线AB斜率不为零，故设直线，，， 将与联立，得， 则，，， 设P为AB的中点，则，即，由题可知， 当AB的斜率不存在时，，显然满足题意，此时， 当AB，PD的斜率均存在时，，， 则由，解得， 当时，由，解得， 此时， 当时，由，解得， 此时， 综上，的可能取值为1，． 【小问3详解】 由角平分线的性质可知，设该比值为， 下面分析满足的点的轨迹，知该轨迹与抛物线有两个交点，且过焦点F， 当时，由可知，点T的轨迹为x轴，与抛物线C仅有一个交点， 不符合题意，所以； ，，由， 得， 整理得， 则（*）， 由（2）知，，故，， 又，所以，， 代入（*）式中，化简，得， 故点T的轨迹是以为圆心的圆，M，N，F三点在该圆上，所以， 由前面的分析可得，，，， 所以 ， 故，为定值，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $