精品解析：广东深圳市福桥高级中学2026届高三数学考前全真模拟卷

2026年福桥高三全真模拟数学（三） 一、单选题（5*8=40） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 5. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 6. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 8. 已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 点在椭圆C内 D. 的值可以是6 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 三、填空题 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 13. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 14. 已知曲线，，，，当轴时，________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 16. 如图所示，在三棱锥中，，，平面平面PBC，点M为PC中点． （1）求证：底面ABC； （2）若，试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值． 17. 某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 19. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福桥高三全真模拟数学（三） 一、单选题（5*8=40） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 5. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 6. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面，面面关系判断各选项即可. 【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 7. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可. 【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 8. 已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解. 【详解】 不妨设，由且轴， 所以，所以， 从而，即， 设点，且它在双曲线上， ， 即，其中，， 从而，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，由此即可顺利得解. 二、多选题 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的离心率为 C. 点在椭圆C内 D. 的值可以是6 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断. 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数图象求正弦函数解析式的方法可判断；利用三角函数的图象变换可判断；根据正弦函数的对称中心的求法可判断；利用换元法，结合三角函数的性质可判断. 【详解】对于：由图知，，所以， 过点，所以， 可取，则，故正确； 对于：由知， 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得， 再向左平移个单位，得到的图象， 则， , 二者不相等，故错误； 对于：由知，所以， 解得，所以的对称中心为，故错误； 对于：，令， 则，因为， 则，，所以， 即，即， 所以，故正确. 故选：. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A，在正方体中易知且， 所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，即A错误； 连接，易知， 又平面，所以平面， 而平面，所以，同理可知， 即平面，设垂足为E，取的中点，连接， 则，所以， 连接，由勾股定理可知， 对于B，易知与平面所成的角为， 故B正确； 对于C，由三棱锥为正三棱锥可知为该正三角形的中心， 则三点共线，， 所以点轨迹为以E为圆心，为半径的圆上，该圆即正三角形的内切圆， 所以点P的运动轨迹长度为，故C正确； 对于D，假设P的轨迹圆与交于G点，由上可知， 而到底面的距离为2，所以到底面的距离为， 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是，故D正确. 三、填空题 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 13. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 14. 已知曲线，，，，当轴时，________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，构造函数，利用导函数研究其最小值. 【详解】当轴时，设，则，则 记，则， 故当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增； 故有，故 四、解答题 15. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ，曲线在点处的切线方程为， 则 ，则 【小问2详解】 当时，依题意有 对于任意恒成立，则， 设， 设 ， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 16. 如图所示，在三棱锥中，，，平面平面PBC，点M为PC中点． （1）求证：底面ABC； （2）若，试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)由面面垂直得到平面，则，再证明平面，则，又有，从而得到平面 . (2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角公式计算求解. 【小问1详解】 在平面内，过点作 于点. 因为平面平面，平面 平面，平面， 所以 平面，因为 平面，所以 . 又因为 ， ， 平面， 所以平面. 因为平面 ，所以 . 又因为 ，， 平面， 所以 平面 . 【小问2详解】 由 (1) 知 平面，且平面，平面， 所以 . 如图，以为坐标原点，分别以 的方向为轴、轴的正方向， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系 因为，所以，，. 因为平面 ，且，所以 . 因为为的中点，所以. 所以 ， ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 的法向量为 ，则，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 和平面 的夹角为 ，则 所以平面 和平面夹角的余弦值为 . 17. 某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）足够. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本平均数； （2）先通过频率分布直方图求出“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，然后求出的所有可能的值以及对应的概率，即可列出的分布列，并求出的数学期望； （3）通过频率分布直方图可求出、内的人数，然后求出奖励所需要的总金额并与进行对比，即可得出结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图易知，50名教职工日行步数的样本平均数为： . 【小问2详解】 由频率分布直方图易知，50名教职工中“不健康生活方式者”有 人， “超健康生活方式者”有 人. 则的所有可能的值为、、、， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 . 【小问3详解】 用样本估计总体，步数在内的概率为 ，有人， 步数在内的概率为 ，有 人， 因为，所以元的预算足够. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得；②按奇偶求出的最小值即可. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，即， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，， 经检验当也符合. 【小问2详解】 ①由（1）知，，， 所以 . ②由①知，，， ， 由数列单调递增，得，因此， 由对，，得， 所以的取值范围是． 19. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $