广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练(三)数学试题

2026届普通高中毕业班适应性训练（三） 数学 本试卷满分150分．训练时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数 A． B． C． D． 2．已知集合，，，则阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．若，则 A． B． C．1 D．2 5．已知向量，，若命题：，命题q：，则命题是命题的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．除以8的余数为 A．1 B．2 C．6 D．7 7．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A、B两点，若直线经过抛物线的焦点，则 A．1 B． C．2 D．3 8．如图构建二维网格开关阵列数学模型，每个节点（开关）仅含开、关两种状态．按压任一节点，会使其自身及相邻（上下左右，若存在）节点状态翻转，如按压，会使得状态翻转．若仅改变节点的状态、其余节点不变，则需按压开关的最少次数为 A．4 B．5 C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前n项和，若，则 A． B． C．为等比数列 D．为等差数列 10．在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中 A．与异面 B．平面 C．平面 D．平面与平面的夹角为 11．已知函数，其导函数记为，则 A．当时，函数最小值为0 B．若在处的切线与直线垂直，则 C．若函数有两个零点，则 D．当时，若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设函数，若，则的取值范围为_____． 13．在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 14．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象对称中心为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， （1）求函数的解析式； （2）设函数，求的值域和单调区间． 16．（15分） 如图1，已知四边形为菱形，且，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使得，，三点重合于点得到三棱锥如图2． （1）证明：； （2）若，，求直线与直线所成角的余弦值． 17．（15分） 某云服务平台的用户行为调查数据显示，用户单次会话中发起某大模型请求的次数的分布列为： 0 1 2 3 其中． （1）当时，求用户单次会话中发起请求次数的数学期望： （2）已知该大模型的单次请求分为成功响应与失败响应两类，且每个请求成功响应的概率为，各请求的响应结果相互独立．若用户单次会话中发起的请求里，成功响应的数量大于失败响应的数量，则称该用户为优质用户．现从平台用户中随机选取一人，求该用户为优质用户的概率（用表示）． 18．（17分） 已知椭圆：的离心率为，上顶点为，右顶点为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）若直线，分别与直线交于，两点，，的面积分别为，．求的最小值． 19．（17分） 定义函数，且． （1）直接写出的值，以及当时，求； （2）对于每一个，证明：在区间内有唯一解； （3）已知在区间上存在，，使得，证明：． 2026届天河区普通高中毕业班综合测试（三） 参考答案 1-4：ACBA 5-8：BDCB 9．BCD 10．ABD 11．AD 12．或 13.12 14． 15．（1）由题意可知，，又因为函数的最小正周期为， 所以，此时， 由，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）因为． 所以． 化简得 所以函数的值域为． 令，解得 令，解得． 所以函数的单调增区间为． 单调减区间为 16．（1）法一：在图1中，连接交于点， 依题意可知点是线段的中点，且， 折起后，在图2中有， 又平面平面， 故平面， 因为平面，所以． 法二：依题意，不妨设菱形的边长为2，在图2中则有， 又因为，所以，在图2中有， 以作为基底， 所以， 因为， 则有，所以： （2）由（1）法二为基底，设向量与向量的夹角为， 因为，所以点是线段的中点，在等边三角形中 所以，即， 且， 又由于． 可得，所以 又因为 ． 所以， 则直线与直线夹角的余弦值等于， 所以直线与直线夹角的余弦值等于 17．（1）由题可知，， 化简可得，由得， 则， 即用户单次会话中发起API请求次数的数学期望为 （2）（i）设事件“请求次数次”，事件“用户为优质用户”， 则． 依题意，得， 因为请求的响应结果相互独立， 所以， 又由题意知，，且两两互斥， 所以 ， 由（1）得，，且，代入化简可得 ． 18．（1）离心率为 且 解得： 所以求椭圆的方程为 （1）（i）设直线，代入 可得 所以． 上式化简可得． 所以 因为，上式整理得 化简可得，所以直线过点． （ii） 直线，令可得，同理， 因为 所以 ． 令，则 所以函数单调递增， 故得最小值为 的最小值为3． 19．（1）记 当时， 时，设． 两式相减，可得；即． （2）设 因为，所以． 所以在区间内有唯一解 （3）先证 又由第（2）知在（0，1）上单调递增，所以成立； 再证 因为，所以 又在上单调递增，所以成立． 综上． 学科网（北京）股份有限公司 $