精品解析：广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题

深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第三次模拟考试 （数学） 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 8. 已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 10. 在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（ ） A. 的外接圆直径为 B. C. 的面积为 D. 的周长为 11. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，且满足，则________． 13. 已知，，若直线上存在点P，使得，则的取值范围为_____________. 14. 已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． （1）求证：//平面； （2）若，求三棱锥的体积． 17. 已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为. （1）求曲线C的方程； （2）若曲线的右焦点为，过的直线与曲线交于，求证：直线与直线斜率之和为定值. 18. 已知函数，，其中． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的零点； （3）用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第三次模拟考试 （数学） 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合，利用交集的概念可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以． 故选：B 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算得，再求出，利用模长公式计算即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以． 故选：D 3. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系. 【详解】若，这意味着是数列中的最小值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最小值时，说明从第项开始数列的项变为正数，即，且. 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非正的，但无法确定就是的最小值. 例如，，就不是最小值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 4. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由三角形相似比得到，再由两圆锥的侧面积之差计算可得. 【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 5. 已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断是上的增函数，原不等式等价于，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可． 【详解】因为与都是上的增函数， 所以是上的增函数， 又因为， 所以等价于， 由，知， 当时，在上单调递减，故，从而； 当时，在上单调递增，故，从而， 综上所述，的取值范围是或. 故选：C 【点睛】本题考查函数单调性的应用.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则． 6. 已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间. 【详解】解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称， 对满足的，，有，∴. 再根据其图像关于直线对称，可得，. ∴，∴. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像. 令，求得， 则函数的单调递减区间是，， 故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 8. 已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果. 【详解】如图， 延长与交于点，则是的角平分线， 由可得与垂直， 可得为等腰三角形，故为的中点， 由于为的中点， 则为的中位线，故， 由于，所以， 所以， 问题转化为求的最值， 而的最小值为，的最大值为，即的值域为， 故当或时，取得最大值为 ， 当时，在轴上，此时与重合， 取得最小值为0，又由题意，最值取不到， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 【答案】AB 【解析】 【分析】由平均数以及方差的性质即可判断AB，结合极差的定义，举出反例，即可判断C，由百分位数的计算公式，即可判断D. 【详解】对于A，由原数据的平均数， 可得新数据的平均数为， 故A正确； 对于B，由原数据的方差是， 可得新数据的方差为， 故B正确； 对于C，若样本数据为，则其极差为， 此时数据为，则其极差， 即，故C错误； 对于D，由，所以数据的第75百分位数是，故D错误； 故选：AB 10. 在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（ ） A. 的外接圆直径为 B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件利用正弦定理求的外接圆直径，判断A，先证明，利用二倍角公式化简，再化角为边判断B，结合B的结论，由余弦定理可求，再利用三角形面积公式求面积，判断C，求周长判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确； 由易得， 所以等价于， 所以， 由正弦定理得，故B正确； 由余弦定理可得， 代入， 解得， 的面积为，故C错误， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，通过赋值法求出函数的一些特殊值，再结合函数的对称性逐一分析选项. 【详解】对于A，令，则， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，令，则，得， 由A可知，所以，即， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，令，则，即. 假设的图象关于直线对称，则有，与矛盾， 所以假设不成立，的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，由于且，则有，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，且满足，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据与的倒数关系，列式求值. 【详解】设，则，因为，所以. 由或（舍去）. 所以. 故答案为：2 13. 已知，，若直线上存在点P，使得，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据得出点的轨迹方程，再根据直线与点的轨迹有公共点，利用圆心到直线的距离与半径的关系求解的取值范围. 【详解】设点，已知，，则，. 因为，可得：，整理得. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.  因为直线上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点. 可得圆心到直线的距离. 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，则. 两边同时平方可得，即.得. 所以不等式的解集为，即的取值范围是.  故答案为：. 14. 已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程过原点得出切线方程为，再次利用导数的几何意义求得的切点，再带入点计算求参. 【详解】因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与性别有关联 （2），意义见解析 【解析】 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据条件概率的计算公式求解即可. 【小问1详解】 零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关. 根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. 【小问2详解】 依题意得，， ， 则 意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等 16. 如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． （1）求证：//平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作垂直的延长线交于点， 因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面， 即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 又， 所以. 17. 已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为. （1）求曲线C的方程； （2）若曲线的右焦点为，过的直线与曲线交于，求证：直线与直线斜率之和为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设,代入,化简即可求出曲线的方程 （2）椭圆与直线联立，运用韦达定理即可 【小问1详解】 设为曲线上异于A,B的任意一点,因为 所以. 所以即. 所以 又皆为曲线上的点 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为 联立,得 所以,即① 因为焦点，所以 ② 把①式代入②式得 直线与直线斜率之和为定值0 【点睛】关键点点睛:本题利用韦达定理得出与的关系能大大简化运算. 18. 已知函数，，其中． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的零点； （3）用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的取值范围是 【解析】 【分析】（1）当时，求出，利用导数的几何意义可求得曲线在点处切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点； （3）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，， 此时曲线在点处切线的方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 当时，，则；当时，，则， 所以函数在上为增函数， 又因为，故函数有且只有一个零点. 【小问3详解】 函数的定义域为， 由（2）知，当时，， 又，所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，，且. 下面考虑，当时，恒成立， ①若，当时，， 故，在递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知， 存在，使得， 根据余弦函数的单调性可知，在上递增， 故当，，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意. 且当时，，合乎题意， 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 【答案】（1） （2） （3）的最大值是，公差为 【解析】 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【小问1详解】 由题意得，，，， ∴，， 设数列的二阶和数列的公比为，则， ∴，，， ∴，，， ∴，，． 【小问2详解】 设的二阶和数列的前项和为， 由题意得，，， 由得数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴. 【小问3详解】 ∵， ∴，故． 设数列的公差为，则， ∴，得， ∵反比例函数在上为增函数， ∴由得，，故， ∵， ∴，故， ∴的最大值是，由得公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $