精品解析：2026年山东省菏泽市郓城县一模数学试题

2026年山东省菏泽市郓城县一模数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各数：，，0，，其中最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简每个给出的数，再根据有理数大小比较规则，判断出最小的数即可． 【详解】解： ，，， ∵， ∴ 最小的数是， 故选：A． 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 《2026年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，2025年我国卫星导航与位置服务产业总产值突破7500亿元，同比增长．将“7500亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 5. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，， A错误； 对于选项B，， B错误； 对于选项C，， C错误； 对于选项D，，计算正确， D正确． 6. 某地圆铃大枣是国家地理标志产品，某研学小组在此地大枣文化体验馆开展实践活动，工作人员准备了圆铃大枣文创书签、枣木雕刻挂件、阿胶枣文创徽章三款特色文创，每位组员可从中随机抽取一款作为纪念，抽到每一款的可能性均相等．则小明和小丽两位组员同时抽到圆铃大枣文创书签的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：用A，B，C分别代表“圆铃大枣文创书签”、“枣木雕刻挂件”、“阿胶枣文创徽章”， 画树状图如下： 共有9种情况，其中小明和小丽两位同学都抽到“圆铃大枣文创书签”的情况有1种，概率为． 7. 某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同．设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆，找到“现在组装900辆的时间与原计划组装600辆的时间相等”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程． 【详解】解：设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆， 可得现在组装900辆所需时间为，原计划组装600辆所需时间为， ∴可列方程． 8. 如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D． 【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意； 由作图过程可知，，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴，故C选项不正确，符合题意， ∵， ∴， ∴，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得出答案. 【详解】解：A选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D选项， ，方程有两个相等的实数根，符合题意. 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从图象中获取条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．先求出和，作，利用等面积法求出，再用勾股定理求出，即可求出点坐标． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， 当点运动到点处时，， ∴， 过点作于点，如图， 当点运动到点处时，最短， 由等面积得：， ∴， ∴点的纵坐标为， 在中，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点坐标， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】x≥3且x≠4． 【解析】 【详解】试题解析：根据题意知： 解得：x≥3且x≠4 故答案为：x≥3且x≠4． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的度数，最后根据南北回归线关于赤道对称的性质，得出的度数． 【详解】解：是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵分别表示北回归线和南回归线，表示赤道， ∴． ∴． 故答案为． 13. 已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，均在格点（小正方形的顶点）上，且点在上，为的中点，连接，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，求得， ，则点即为弧所在圆的圆心，再求出，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， 则，， ， ， 点即为弧所在圆的圆心， 为的中点， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，分别在轴和轴上，以，为边作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数，其图像恰好过的中点，则点的坐标__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理、反比例函数，二次根式的计算．连接、，设的中点为P，先根据轴对称的性质证明四边形是菱形，由P点是的中点，可知P点也是的中点，设，则，由此可求出，即可知反比例函数的表达式为，由此可表示出M点的坐标为，由此可得的长．在中，根据勾股定理列方程即可求出a的值，进而可求出M点的坐标． 【详解】 如图，连接、，设的中点为P， 由题知，与关于直线对称， ， ，． ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． ∵P点是的中点， ∴P点也是的中点． ， ∴设，则， ∵P点在图像上， ， ∴反比例函数的解析式为． 设M点的坐标为， 则， ， ， ． 中，， ， 解得， ，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点多，综合性强．矩形当中的折叠问题，通常考虑设未知数，根据勾股定理列方程求解．本题中，求出k的值是解题的根据． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 简答： （1）； （2）先化简：，然后选取一个合适的的值代入求值，其中满足不等式组的整数． 【答案】（1） （2），当时，原式 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式和绝对值、代入锐角三角函数值、计算零次幂，然后计算加减法即可； （2）先把括号内通分，然后将除法转化为乘法，分子分母能因式分解的因式分解，并约分化简；解不等式组后根据分式有意义的条件确定的取值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 为整数， ，，，， ，，， ，，， 取， 当时，原式． 17. 如图，已知． （1）尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，为锐角，的面积为15，则点P到的距离为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）利用尺规作图作出的垂直平分线，过点作的垂线，两线相交于点P即可； （2）利用三角形面积公式求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理列式计算可求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点P即为所作， 【小问2详解】 解：由作图知是的垂直平分线，则， 如图，， ∵，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点P到的距离为， 故答案为：． 18. 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． （1）求树的高度； （2）求食堂的高度． 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】（）设，根据直角三角形性质可得，，进而求得，然后依据，解得，即树的高度为米； （）延长交延长线于点，则，由（）知，，则，又，可得，从而求解． 【小问1详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，， 即，解得， ∴树的高度为米； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点，则， 由（）知，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴食堂的高度为米． 19. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：84，84，84，85，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）七年级所抽学生竞赛成绩中C组对应扇形的圆心角是___________； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），86，30 （2）126 （3）估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人 【解析】 【分析】（1）理解题意，分别求出组，B组的数据个数，再运用总数分别减去其他各组数据个数，得出组的数据个数，再列式计算得出；又结合中位数和众数的定义进行分析，即可作答． （2）结合求扇形统计图的圆心角公式列式计算，即可作答． （3）运用样本估计总体公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据有（人）， 在组中的数据有（人）， ∵在组中的数据有7人， 在组中的数据有（人）， ， ， 依题意，七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据， 则落在组数据的第3和4个，分别是84，85， 中位数， 依题意，八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是86， ∴众数； 【小问2详解】 解：， 即七年级所抽学生竞赛成绩中C组对应扇形的圆心角是． 【小问3详解】 解：依题意，（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． （1）当时，直接写出的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】（1）或； （2）一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； 【小问2详解】 解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； 【小问3详解】 解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 21. 如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形的外角性质结合等边对等角求得，可得，再利用切线的判定定理即可得证； （2）连接，根据切线性质，可得，进而得出，结合已知即可求出的长，在中用勾股定理即可求得． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ，即：， ，， ， ， ． 在中，． 22. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1）对称轴是直线 （2）；， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 23. 在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，点M，N分别为，上的动点（不含端点）． （1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由； （2）如图2，在第（1）问的条件下，作于点E，交于点F，连接．试猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若，连接，求出的最小值． 【答案】（1），理由见解析 （2）四边形为平行四边形，理由见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）由旋转性质可知，然后证明，再由全等三角形的性质即可求解； （2）由，则，通过旋转性质得出，可得，通过同角的余角相等得出，则，根据平行四边形的判定即可求解； （3）过点作，使，连接，，延长，过点作于点，证明，故有，又，所以当点B、M、P三点共线时，的值最小，最小值为的值，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 绕点顺时针旋转得到，， 啊 ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形，理由如下： ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，过点作，使，连接，，延长，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴当点B、M、P三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴，则， 在中， ， 的最小值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省菏泽市郓城县一模数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各数：，，0，，其中最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 《2026年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，2025年我国卫星导航与位置服务产业总产值突破7500亿元，同比增长．将“7500亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某地圆铃大枣是国家地理标志产品，某研学小组在此地大枣文化体验馆开展实践活动，工作人员准备了圆铃大枣文创书签、枣木雕刻挂件、阿胶枣文创徽章三款特色文创，每位组员可从中随机抽取一款作为纪念，抽到每一款的可能性均相等．则小明和小丽两位组员同时抽到圆铃大枣文创书签的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同．设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________． 12. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 13. 已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，均在格点（小正方形的顶点）上，且点在上，为的中点，连接，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，分别在轴和轴上，以，为边作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数，其图像恰好过的中点，则点的坐标__________ 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 简答： （1）； （2）先化简：，然后选取一个合适的的值代入求值，其中满足不等式组的整数． 17. 如图，已知． （1）尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，为锐角，的面积为15，则点P到的距离为________． 18. 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． （1）求树的高度； （2）求食堂的高度． 19. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：84，84，84，85，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）七年级所抽学生竞赛成绩中C组对应扇形的圆心角是___________； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． （1）当时，直接写出的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 21. 如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 22. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 23. 在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，点M，N分别为，上的动点（不含端点）． （1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由； （2）如图2，在第（1）问的条件下，作于点E，交于点F，连接．试猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若，连接，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $