8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的定义、判定定理及线面角，课前通过表格填空和微思考（如“任意一条”与“无数条”直线的辨析）搭建认知支架，衔接课堂从定义到判定定理的探究，形成完整知识脉络。 其亮点是以直观想象和逻辑推理为核心，通过三棱锥证明、正方体线面角计算等典例，结合“规律总结+学以致用”环节，帮助学生掌握判定定理应用和线面角求法。学生能提升空间观念和推理能力，教师可获得系统教学资源，提高课堂效率。

8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定定理 目 标 素 养 1.了解直线与平面垂直的定义,知道点到平面的距离的概念,提升直观想象素养. 2.探索并理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直,提升直观想象和逻辑推理素养. 3.理解直线与平面所成的角的概念,并能求简单空间图形中的线面角,提升直观想象和逻辑推理素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 　1.直线与平面垂直的定义 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 图示   性质 过一点垂直于已知平面的直线　有且只有一条　  垂线 段与 点面 距离 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与　垂足　间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,　垂线段　的长度叫做这个点到该平面的距离  微思考1 (1)直线与平面垂直定义中的“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”? 提示:定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等价的,但是不能说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直. (2)如果直线l和平面α垂直,那么直线l与平面α内的任意一条直线是什么位置关系? 提示:垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 微思考2 若把定理中的“相交”去掉,直线与平面一定垂直吗? 提示:不一定,如果是平行直线,则直线与平面不一定垂直. 3.直线和平面所成的角 微思考3 (1)若图中的∠POA是斜线PO与 平面α所成的角,则需具备哪些条件? 提示:需要PA⊥α,A为垂足,OA为斜线PO 在平面α上的射影,这样∠POA就是斜线PO 与平面α所成的角. (2)在空间几何体中,如何确定直线与平面所成角的度数? 提示:过斜线上斜足以外的一点向平面作垂线,确定垂足位置,则射影确定,直线与平面所成的角也确定. 课堂·重难突破 一 直线与平面垂直的判定定理 典例剖析 1.如图,在三棱锥D-ABC中,已知AC⊥BC,AC⊥DC,BC=DC,E为BD的中点. 求证:BD⊥平面ACE. 证明：因为AC⊥BC,AC⊥DC,BC∩DC=C, 所以AC⊥平面BCD. 又BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC. 因为BC=DC,E为BD的中点,所以BD⊥CE. 又AC∩CE=C,所以BD⊥平面ACE. 规律总结 1.判断或证明直线与平面垂直,常用线面垂直的判定定理,应用定理的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直. 2.要证明两条直线互相垂直,可以先证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面,这是证明两条直线互相垂直的一种重要方法. 学以致用 1.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,且SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面ABC. (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点, 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中,AD=BD. 又SA=SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS, 所以SD⊥BD. 又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 由(1)知SD⊥BD. 又SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC. 二 直线与平面所成的角 典例剖析 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值; (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成角的度数. 解：(1)如图,连接AC, ∵直线A1A⊥平面ABCD, ∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角, 设A1A=1,则AC= , ∴tan∠A1CA= . (2)连接A1C1交B1D1于点O,连接BO. 在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1, ∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1, ∴BB1⊥A1C1, 又BB1∩B1D1=B1, ∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O. ∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角, 在Rt△A1BO中,A1O= A1C1= A1B, ∴∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°. 规律总结 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影.作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,以便于计算. (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所形成的直角三角形中计算. 学以致用 2.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=2,求PA与平面PBC所成角的正弦值. 解:如图,过点A作AH⊥BC于点H,连接PH. ∵PC⊥平面ABCD,AH⊂平面ABCD, ∴PC⊥AH,又PC∩BC=C, ∴AH⊥平面PBC. ∴∠APH为PA与平面PBC所成的角, 在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°, ∴△ABC为正三角形. 三 直线与平面垂直关系的应用 典例剖析 3.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE. 证明：∵AD⊥平面ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面ABE. 又AE⊂平面ABE,∴AE⊥BC. ∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴AE⊥BF. 又BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE. 又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE. 规律总结 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理. (3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 学以致用 E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE. 求证:CD⊥平面A1OC. 证明:在图①中,连接CE(图略), 所以四边形ABCE是正方形, 所以BE⊥OC,BE⊥AO,即BE⊥A1O.又A1O∩OC=O,所以BE⊥平面A1OC.因为ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE是平行四边形,所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC. 随堂训练 1.(多选题)若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,则能保证该直线与平面垂直的是(　　) A.三角形的两边 B.梯形的两边 C.圆的两条直径 D.正六边形的两条边 答案:AC 2.已知空间四边形ABCD的四条边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是(　　) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 答案:C 解析:∵空间四边形ABCD的四个顶点不共面, ∴AC与BD必为异面直线. 如图,取BD的中点O,连接OA,OC,由AB=AD=BC=CD,得OA⊥BD,OC⊥BD,OA∩OC=O,∴BD⊥平面AOC, ∴BD⊥AC.故选C. 3.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(　　) A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 答案:B 解析:由题意可知,E,F,G,H四点都在平面EFHG内. 因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ. 又EG∩EF=E,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故选B. 答案:B 解析:(方法一)设棱台的高为h,三条侧棱延长后相交于一点S.正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1.连接AO,SO,易知点O1在SO上. (方法二)设棱台的高为h,正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1,连接OO1,A1O1,AO,作A1H⊥AO, 5.如图,四边形ABB1A1为圆柱的轴截面,C为圆柱底面圆周上异于点A,B的任意一点.求证:AC⊥平面BB1C. 证明:因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面, 所以BB1⊥底面ABC,AB为底面圆的直径. 因为AC⊂底面ABC,所以BB1⊥AC. 因为AB为底面圆的直径, 所以∠ACB=90°,即BC⊥AC. 又BB1∩BC=B,所以AC⊥平面BB1C. $