专题06 概率7大考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 概率专题期末试题汇编，覆盖互斥事件、古典概型等7个高频考点，精选多地期末真题，基础题（如对立事件判断）与综合题（如比赛赛制概率计算）结合，注重真实情境应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/多选题|约30题|互斥对立事件、古典概型、独立事件判断|结合马拉松志愿者分配（古典概型）、电路元件状态（样本空间）等真实情境| |填空题|约10题|概率基本性质、频率估计概率|如蒙特卡洛模拟估计比赛胜率（频率与概率）| |解答题|约13题|独立事件概率、综合应用|含多问设计（如主客场比赛制夺冠概率计算），体现逻辑推理与数学建模|

专题06 概率 高频考点概览 考点 01 互斥和对立事件 考点 02 写出样本空间 考点 03 古典概型 考点 04概率的基本性质 考点 05 相互独立事件的判断 考点 06 相互独立事件的概率 考点 07 频率和概率 考点01 互斥和对立事件 1．（2023春•电白区期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（　　） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 2．（2021春•普宁市期末）（多选）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是　　 A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 3．（2023春•香洲区校级期末）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件互斥的事件是（　　） A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球 C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球 4．（2025春•揭阳期末）已知随机事件，，，和互斥，和对立，且，（A），则（C）　　 ． 5．（2021春•广州期末）现有两个红球（记为，，两个白球（记为，，采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球． 考点02 写出样本空间 （1）写出试验的样本空间； （2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率． 6．（2021春•端州区校级期末）从含有两件正品，和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次． （1）写出这个试验的样本空间； （2）下列随机事件由哪些样本点构成：事件：取出的两件产品都是正品；事件：取出的两件产品恰有1件次品． 7．（2021春•端州区校级期末）如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常． （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： “恰好两个元件正常”； “电路是通路”； “电路是断路”． 8．（2021春•普宁市期末）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示试验的样本点，其中表示第一次取出的基本结果，表示第二次取出的基本结果． （1）写出这个试验的样本空间； （2）用表示事件“第一次取出的球的数字是1”；用表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，求证：（A）（B）． 考点03 古典概型 9．（2025春•罗湖区校级期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•揭阳期末）在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者，，，被随机分配到四个物资发放点（站点，每人原属站点分别为，，，．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者被分配到站点4的概率是（　　） A． B． C． D． 11．（2025春•湛江期末）袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 12．（2025春•汕头期末）从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 13．（2025春•广州期末）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．所取的2道题都是同一类题的概率为（　　） A． B． C． D． 14．（2025春•罗湖区校级期末）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分为2的概率为 ． 15．（2025春•广州期末）一个袋子中有个红球，个白球，球的大小和质地相同． （1）若，，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率； （2）若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求； （3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值． 16．（2024春•云浮期末）欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作．若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为（　　） A． B． C． D． 17．（2024春•梅州期末）有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号为1，2，3，4，5的5个球，乙盒装有编号为1，2，3的3个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率相同，现从两个盒子中各取出1个球，设事件 “从甲盒中所抽取的球的编号小于3”， “两个球编号之和为偶数”，则（　　） A． B． C． D． 18．（2024春•广州期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为，，则事件“”的概率为 　　． 19．（2023春•天河区校级期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为，，，有2个黑球，编号分别为，，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次． （1）试写出该试验的样本空间； （2）设事件：“第一次摸到红球”，事件：“第二次摸到黑球”，求事件和事件发生的概率． 考点04 概率的基本性质 20．（2025春•深圳期末）已知（A），（B），且，则（　　） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 21．（2023春•东莞市期末）已知与为互斥事件，且，（A），则（B）　　． 22．（2025春•龙岗区校级期末）已知两个随机事件和，其中，，，则（　　） A． B． C． D． 23．（2025春•广州期末）甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件 “甲元件故障”，事件 “乙元件故障”，且，，则（　　） A． B． C． D． 24．（2024春•潮州期末）设、、为三个随机事件，其中与是互斥事件，与互为对立事件，（A），（C），则 ． 考点05 相互独立事件的判断 25．（2022春•电白区期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 26．（2024春•东莞市期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件 “第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（　　） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 27．（2025春•深圳期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（　　） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 28．（2025春•云浮期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数．设“两个点数都是偶数”为事件，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（　　） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 29．（2023春•东莞市期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 “第一次的点数大于3”，事件 “两次点数之和为奇数”． （1）求事件的概率； （2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． 考点06 相互独立事件的概率 30．（2025春•罗湖区校级期末）如图，，两类不同的元件并联成一个系统．当，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知，正常工作的概率分别为0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（　　） A．0.98 B．0.26 C．0.72 D．0.02 31．（2025春•东莞市期末）甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为．在每轮活动中，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为（　　） A． B． C． D． 32．（2025春•梅州期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则密码被成功破译的概率为（　　） A． B． C． D． 33．（2025春•广州期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 　　 ． 34．（2025春•云浮期末）在一次招聘面试中，小明要依次回答甲、乙、丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为0.9，0.5，0.4，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为 　　 ． 35．（2021春•广州期末）天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 　　． 36．（2025春•广州期末）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． （1）若甲队先主场后客场，且， 求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 37．（2024春•肇庆期末）如图，到的电路中有5个元件，，，，，电流能通过，，，的概率都为0.8，电流能通过的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在与之间通过的概率为 　　． 38．（2024春•广州期末）甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． （1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； （2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 39．（2024春•湛江期末）是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． （1）求乙答对题的概率； （2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 40．（2024春•东莞市期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立． （1）若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； （2）若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率． 41．（2024春•云浮期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作．若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲、丙两名同学都解答错误的概率是，乙、丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立． （1）求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 42．（2021春•广州期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率． 43．（2024春•潮州期末）某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为． （1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率； （2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率． 44．（2024春•中山市期末）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分，即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为后，每人发一个球就要交换发球权． （1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率； （2）已知某局比赛中双方比分为，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率． 45．（2023春•越秀区期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，乙先发球，两人又打了个球该局比赛结束． （1）求事件“”的概率； （2）求事件“且乙获胜”的概率． 46．（2023春•湛江期末）为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 47．（2023春•云浮期末）某高校的入学面试中有，，三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对，，题的概率依次是，，． （1）求李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试的概率； （2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率． 48．（2023春•肇庆期末）山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烤”的高峰期．某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”．已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响． （1）求抽到“谢谢惠顾”的概率； （2）某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率． 考点07 频率和概率 49．（2025春•潮州期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（　　） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 50．（2023春•东莞市期末）利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．利用计算机产生之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下： 354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（　　） A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25 51．（2024春•中山市期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0、1、2、3、4、5表示击中目标，6、7、8、9表示未击中目标．因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数： 168、967、151、525、271、936、582、407、579、684 481、249、333、038、554、487、731、862、539、037 据此估计的值为（　　） A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75 52．（2021春•肇庆期末）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.7．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数： 572 029 714 985 034 437 863 964 141 469 037 623 261 804 601 366 959 742 671 428 此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.75 D．0.8 53．（2021春•封开县校级期末）一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生的随机数，若代表白球，代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数： 917 966 191 925 271 932 735 458 569 683 431 257 393 627 556 488 812 184 537 989 则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（　　） A． B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率 高频考点概览 考点 01 互斥和对立事件 考点 02 写出样本空间 考点 03 古典概型 考点 04概率的基本性质 考点 05 相互独立事件的判断 考点 06 相互独立事件的概率 考点 07 频率和概率 ( 考点01 互斥和对立事件 ) 1．（2023春•电白区期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（　　） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 【解答】解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶； 设事件：至少一次中靶，则①，②， 选项：事件：至多一次中靶，则②，③，②，不互斥，不对立， 选项：事件：两次都中靶，则①，①，不互斥，不对立， 选项：事件：只有一次中靶，则②，②，不互斥，不对立， 选项：事件：两次都没中靶；则③，，且①，②，③，互斥且对立， 故选：． 2．（2021春•普宁市期末）（多选）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是　　 A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 【解答】解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球， 对于，至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； 对于，至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； 对于，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确； 对于，“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，是互斥事件，故正确． 故选：． 3．（2023春•香洲区校级期末）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件互斥的事件是（　　） A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球 C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球 【解答】解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球， 事件为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白， 与事件互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球． 故选：． 4．（2025春•揭阳期末）已知随机事件，，，和互斥，和对立，且，（A），则（C）　　 ． 【解答】解：因为随机事件和互斥，所以（A）（B）， 则（A）（B），所以（B）． 又因为和对立，所以（C）（B）． 故答案为：0.6． ( 考点02 写出样本空间 ) 5．（2021春•广州期末）现有两个红球（记为，，两个白球（记为，，采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球． （1）写出试验的样本空间； （2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率． 【解答】解：（1）两个红球（记为，，两个白球（记为，， 采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球， 则试验的样本空间，，，，，， ，，，，，． （2）试验的样本空间，，，，，， ，，，，，，包含6个样本点， 其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点， 恰好抽到一个红球一个白球的概率． 6．（2021春•端州区校级期末）从含有两件正品，和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次． （1）写出这个试验的样本空间； （2）下列随机事件由哪些样本点构成：事件：取出的两件产品都是正品；事件：取出的两件产品恰有1件次品． 【解答】解：（1）该试验的样本空间，，，，，，，，，，，； （2）事件，，，，包含2个样本点． 事件，，，，，，，，包含4个样本点． 7．（2021春•端州区校级期末）如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常． （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： “恰好两个元件正常”； “电路是通路”； “电路是断路”． 【解答】解：分别用，和表示元件，和的可能状态， 则这个电路的工作状态可用，，表示， 用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态． （1）则样本空间，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，1，； （2）“恰好两个元件正常”等价于，，，且，，中恰有两个为1， 所以，1，，，0，，，1，． “电路是通路”等价于，，，，且，中至少有一个是1， 所以，1，，，0，，，1，． 同理，“电路是断路”等价于，，，，或，． 所以，0，，，1，，，0，，，1，，，0，． 8．（2021春•普宁市期末）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示试验的样本点，其中表示第一次取出的基本结果，表示第二次取出的基本结果． （1）写出这个试验的样本空间； （2）用表示事件“第一次取出的球的数字是1”；用表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，求证：（A）（B）． 【解答】解：（1）从3个球中有放回的随机取两次，该试验的样本空间，，，，，，，，； （2）证明：事件包含的样本点为，，，； 事件包含的样本点为，，，； 而事件表示“第一次取出的球的数字是1且两次取出的球的数字之和是4”， 它包含的样本点为，； 故（A）（B）． ( 考点0 3 古典概型 ) 9．（2025春•罗湖区校级期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，有6种结果，分别为1，2，3，4，5，6， 其中大于3的结果有4，5，6． 所以“正面向上的点数大于3”的概率． 故选：． 10．（2025春•揭阳期末）在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者，，，被随机分配到四个物资发放点（站点，每人原属站点分别为，，，．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者被分配到站点4的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，因为规定每人不能分配到原属站点， 所以被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的， 且必然在站点2，3，4中的某一个， 则在站点2，3，4中的概率都是． 故选：． 11．（2025春•湛江期末）袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得取到红球的概率为． 故选：． 12．（2025春•汕头期末）从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，构成的样本空间有 ，，，，，，，，，，共10个样本点， 能构成三角形的样本点有，，，，共4个， 故概率为． 故选：． 13．（2025春•广州期末）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．所取的2道题都是同一类题的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设2道乙类题为，，4道甲类题为，，，， 则，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况， 令事件表示所取的2道题都是同一类题，所以，，，，，，共有7种情况，所以． 故选：． 14．（2025春•罗湖区校级期末）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分为2的概率为 ． 【解答】根据题意，不妨假设甲的卡片顺序为7，5，3，1， 则乙的卡片顺序共有种， 甲得（2分），所选卡片情况为： ①甲所得分的卡片为5、3，则，，，共1种情况， ②甲所得分的卡片为7、3，则，共3种情况， ③甲所得分的卡片为7、5，则，共7种情况， 所以甲的总得分为2的概率． 故答案为：． 15．（2025春•广州期末）一个袋子中有个红球，个白球，球的大小和质地相同． （1）若，，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率； （2）若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求； （3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值． 【解答】解：（1）记2个红球为，个白球为，，，依次取出2个球的样本空间， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个， 第二次取到白球的事件，，，，，，，，，，，，共6个， 所以第二次取到白球的概率； （2）从个球中依次取2个球的试验有个基本事件， 先取红球再取白球的事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件， 因此， 整理得解得或，所以或； （3）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最大值为． 16．（2024春•云浮期末）欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作．若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：记4部书籍分别为，，，， 则从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为，，，，，共有6个， 抽取《光学》的基本事件为，，，共3个， 抽到《光学》的概率为． 故选：． 17．（2024春•梅州期末）有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号为1，2，3，4，5的5个球，乙盒装有编号为1，2，3的3个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率相同，现从两个盒子中各取出1个球，设事件 “从甲盒中所抽取的球的编号小于3”， “两个球编号之和为偶数”，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，现从两个盒子中各取出1个球，总共有种情况， 事件表示“从甲盒中所抽取的球的编号小于3”且“两个球编号之和为偶数”， 设球的编号组合为，表示取得甲盒球的编号，表示取得乙盒球的编号， 可列举出情况：，，，共3种， 则． 故选：． 18．（2024春•广州期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为，，则事件“”的概率为 　　． 【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为，， 基本事件总数， 事件“”包含的基本事件有15个，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，， 则事件“”的概率为． 故答案为：． 19．（2023春•天河区校级期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为，，，有2个黑球，编号分别为，，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次． （1）试写出该试验的样本空间； （2）设事件：“第一次摸到红球”，事件：“第二次摸到黑球”，求事件和事件发生的概率． 【解答】解：（1）由题意得，试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； （2）由（1）知样本空间中基本事件总数为20， 符合事件：“第一次摸到红球”的样本空间为：，，，，，，，，，，，共12个基本事件， ， 符合事件：“第二次摸到黑球”的样本空间为：，，，，，，，，， 故事件和事件发生的概率分别为，． ( 考点0 4 概率的基本性质 ) 20．（2025春•深圳期末）已知（A），（B），且，则（　　） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【解答】解：（B），且， 则（B）． 故选：． 21．（2023春•东莞市期末）已知与为互斥事件，且，（A），则（B）　　． 【解答】解：、为互斥事件， （A）（B）即（B）（A）． 故答案为：0.3． 22．（2025春•龙岗区校级期末）已知两个随机事件和，其中，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：两个随机事件和，其中，，， （A）（B）， （A）（B） ． 故选：． 23．（2025春•广州期末）甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件 “甲元件故障”，事件 “乙元件故障”，且，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路， 设事件 “甲元件故障”，事件 “乙元件故障”， 事件与是相互独立事件， （A），， （A）（B）． 故选：． 24．（2024春•潮州期末）设、、为三个随机事件，其中与是互斥事件，与互为对立事件，（A），（C），则 ． 【解答】解：与是互斥事件，与互为对立事件， 则，（B）（C）， （A）（B）（A）（B）． 故答案为：． ( 考点0 5 相互独立事件的判断 ) 25．（2022春•电白区期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 【解答】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为，，，，则有（A）（B），（C），（D）， 对于，（A）（C），，（A）（C），不正确； 对于，（C）（D），，（C）（D），不正确； 对于，（A）（D），，（A）（D），甲与丁相互独立，正确； 对于，（B）（C），，（B）（C），不正确． 故选：． 26．（2024春•东莞市期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件 “第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（　　） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 【解答】解：根据题意，，依次分析选项： 对于，设事件 “第一次朝上面的数字是偶数”， 与是对立事件，不符合题意； 对于，设事件 “第一次朝上面的数字是1”， （B），， （B），与不是相互独立事件，不符合题意； 对于，设事件 “两次朝上面的数字之和是8”，则（C），，（C），与不是相互独立事件，不符合题意； 对于，设事件 “两次朝上面的数字之和是7”，则（D），，（D），与是相互独立事件，符合题意． 故选：． 27．（2025春•深圳期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（　　） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【解答】解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，． 其中事件包括：，，，，，，，． 事件包括：，，，，，，，，，， 事件包括：，，，，，，，， 事件包括：，，，，，，，， 对于：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故与互斥不成立，故错误； 对于：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故与对立不成立，故错误； 对于：因为（A），（B），，因为（A）（B），所以与不是相互独立，故错误； 对于：因为（A），（C），而，因为两个事件的发生与否互不影响且（A）（C），所以与相互独立，故正确． 故选：． 28．（2025春•云浮期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数．设“两个点数都是偶数”为事件，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（　　） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 【解答】解：依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则，，2，3，4，5，． 对于，，，，，，，，，， 而，，，，，，，，， 显然事件与事件互斥但不对立，如，但，，故错误； 对于，易得，故（C）， 因为，所以（B）（D）， 而，则（D）， 则（C）（D），即与不相互独立，故错误； 对于，（A），（C）， 因为，所以， 而， 所以事件与事件不相互独立，故正确； 对于，，则与事件不互斥，故错误． 故选：． 29．（2023春•东莞市期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 “第一次的点数大于3”，事件 “两次点数之和为奇数”． （1）求事件的概率； （2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，所有基本事件为： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36种， （1）事件包含的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种， 所以（A）； （2）事件与事件相互独立，理由如下： 事件包含的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种， 所以（B）， 事件与同时发生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种， 所以， 因为（A）（B）， 所以事件与事件相互独立． ( 考点0 6 相互独立事件的概率 ) 30．（2025春•罗湖区校级期末）如图，，两类不同的元件并联成一个系统．当，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知，正常工作的概率分别为0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（　　） A．0.98 B．0.26 C．0.72 D．0.02 【解答】解：记事件，分别表示，元件正常工作，事件：系统正常工作， 若系统不正常工作，则，均不能正常工作， 因此， 因此． 故选：． 31．（2025春•东莞市期末）甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为．在每轮活动中，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目， 甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为， 若在两轮活动中答对3道题目，则总共只能错一题， 则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为： ． 故选：． 32．（2025春•梅州期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则密码被成功破译的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设 “密码被成功破译”，其对立事件为“密码没有被破译”， 由于甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，且甲乙两人相互独立， 则， 故（A）． 故选：． 33．（2025春•广州期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 　　 ． 【解答】解：“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2 个小球颜色相同”， 或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，，2个白球为，，1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种取法， 颜色相同的取法有2种， 第一次取2个小球颜色相同的概率为， 第二次取2个小球有红球的概率为， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为， 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球一黄一白”的概率为， 两次先后均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 两次先后取2个小球，得分为零分的概率为． 故答案为：． 34．（2025春•云浮期末）在一次招聘面试中，小明要依次回答甲、乙、丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为0.9，0.5，0.4，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为 　　 ． 【解答】解：由题意可知，小明能够连续答对至少2个问题的概率为： ． 故答案为：0.47． 35．（2021春•广州期末）天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 　　． 【解答】解：根据题意，设事件表示甲地下雨，事件表示乙地下雨， （A），（B）， 甲，乙两地只有一个地方降雨的概率； 故答案为：0.38． 36．（2025春•广州期末）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． （1）若甲队先主场后客场，且， 求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【解答】解：（1）记甲队通过点球大战获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜， 甲队通过点球大战获得冠军的概率为： （A）， ， （A）， 甲队通过点球大战获得冠军的概率为． 记甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜， 甲队获得冠军的概率为： （B）， 将代入，得（B）， 甲队获得冠军的概率为． （2）由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队胜，甲队平同时点球胜， （C）， ，， 此时满足题意， （B）（C）， ，，， （B）（C）， “主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠． 37．（2024春•肇庆期末）如图，到的电路中有5个元件，，，，，电流能通过，，，的概率都为0.8，电流能通过的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在与之间通过的概率为 　　． 【解答】解：电流能通过，，，的概率都为0.8， 则电流不能通过，，，的概率都为0.2， 由题意可知，电流能在与之间通过的概率为：． 故答案为：0.99216． 38．（2024春•广州期末）甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． （1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； （2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 【解答】解：（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为； ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为； 综上，甲获胜的概率为． （2）若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为． 39．（2024春•湛江期末）是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． （1）求乙答对题的概率； （2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【解答】解：（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知，（B）， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为； 故两人共答对3次的概率为， 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 40．（2024春•东莞市期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立． （1）若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； （2）若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率． 【解答】解：（1）根据题意，记“某顾客有三次抽奖机会”为事件， “某顾客在一次抽奖中奖”为事件， 则． （2）记”某顾客有两次抽奖机会，其至少有一次中奖”为事件， 则． 41．（2024春•云浮期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作．若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲、丙两名同学都解答错误的概率是，乙、丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立． （1）求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率； （2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【解答】解：甲同学成功解出这道题的概率是，甲、丙两名同学都解答错误的概率是，乙、丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立， 设甲、乙、丙二名同学各自成功解出该道题分别为事件，，． （1），． ，，． ，， 乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和． （2）设这一名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 这三名同学巾不少于两名同学成功解出这道题的概率为． 42．（2021春•广州期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率． 【解答】解：（1）设事件表示“甲猜对”，事件表示“乙猜对”， 则（A），（B）， 任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： （A）（B）． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： ． 43．（2024春•潮州期末）某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为． （1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率； （2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率． 【解答】解：（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别为，，， 则由题意得，解得， 甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率分别为，，． （2）设事件表示这一小时内至少有两位小孩子需要照顾， 这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为： ， 这一小时内三位小孩子都需要照顾的概率为： ， 这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率为： （A）． 44．（2024春•中山市期末）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分，即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为后，每人发一个球就要交换发球权． （1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率； （2）已知某局比赛中双方比分为，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率． 【解答】解：（1）设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件， 若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局， 所以； （2）设“该局比赛甲得（11分）获胜”为事件， 甲得（11分）获胜有两类情况：甲连得（3分），则甲获胜； 甲得（3分），乙得（1分），则甲获胜， 此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲， 所以． 45．（2023春•越秀区期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，乙先发球，两人又打了个球该局比赛结束． （1）求事件“”的概率； （2）求事件“且乙获胜”的概率． 【解答】解：（1）又打了2个球该局比赛结束，有两种情况，甲连赢2个球或乙连赢2个球， 所以； （2）设事件为“且乙获胜”， 则事件发生表示前2个球甲乙各赢1个球，第3个球和第4个球都是乙赢， 所以（A）． 46．（2023春•湛江期末）为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 【解答】解：（1）设 “甲在第一轮比赛中胜出”， “甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”， “乙在第二轮比赛中胜出”， 则，，，相互独立，且，，，， ，， 设 “甲在比赛中恰好赢一轮”， 则． （2）在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”， ，， 设 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”． 于是 “两人中至少有一人赢得比赛”， 由，， ，， ． 47．（2023春•云浮期末）某高校的入学面试中有，，三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对，，题的概率依次是，，． （1）求李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试的概率； （2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率． 【解答】解：（1）设事件为李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试． 由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为， 所以． （2）设事件为李明第一环节通过面试， 则． 设事件为李明面试失败，李明答题情况如下： 题错题错题错，题错题错题错， 题错题错题错，题错题错题错， 题错题错题错，题错题错题错． 所以． 故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为． 48．（2023春•肇庆期末）山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烤”的高峰期．某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”．已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响． （1）求抽到“谢谢惠顾”的概率； （2）某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率． 【解答】解：（1）记抽到“5元烧烤优惠券”为事件， 记抽到“10元烧烤优惠券”为事件， 记抽到“谢谢惠顾”为事件， 易知，． 所以； （2）若某位客人消费了200元， 此时这位客人可抽取两次， 记抽到总计10元烧烤优惠券为事件， 记可能一次抽到“10元烧烤优惠券”、一次抽到“谢谢惠顾”为事件， 记两次都抽到“5元烧烤优惠券”为事件， 此时（E），， 所以（D）（E）， 故该客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率为． ( 考点0 7 频率和概率 ) 49．（2025春•潮州期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（　　） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【解答】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小， 所以合计列对应的频率最为合适． 故选：． 50．（2023春•东莞市期末）利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．利用计算机产生之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下： 354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（　　） A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25 【解答】解：由题意可知，在20组随机数中，表示甲获胜的有：151，125，112，312，252，114，123，共7个， 故此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为． 故选：． 51．（2024春•中山市期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0、1、2、3、4、5表示击中目标，6、7、8、9表示未击中目标．因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数： 168、967、151、525、271、936、582、407、579、684 481、249、333、038、554、487、731、862、539、037 据此估计的值为（　　） A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75 【解答】解：经随机模拟产生了20组随机数，其中3次射击至少2次击中目标为151、525、271、582、407、481、249、333、038、554、731、539、037，共13组， 故． 故选：． 52．（2021春•肇庆期末）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.7．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数： 572 029 714 985 034 437 863 964 141 469 037 623 261 804 601 366 959 742 671 428 此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.75 D．0.8 【解答】解：20个随机数中，含有0，1，2至多1个的有：572，714，985，034，437，863，964，469，037，623，804，366，959，742，671，428，共16个， 故射击3次至少击中2次的概率的估计值为． 故选：． 53．（2021春•封开县校级期末）一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生的随机数，若代表白球，代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数： 917 966 191 925 271 932 735 458 569 683 431 257 393 627 556 488 812 184 537 989 则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：20组随机数恰好有两个是1，2，3，4的有191，171，932，393，812，184，共6个， 因此三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $