精品解析：2026年甘肃省白银市靖远县部分学校中考二模九年级数学试卷

数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 2. 兰州太平鼓是一种具有浓郁西北风情的鼓舞，至今已有600多年历史，素有“天下第一鼓”的美誉，已被列入第一批国家级非物质文化遗产名录，其鼓身修长，造型独特，可近似看作圆柱体．如图将一个兰州太平鼓放置于水平地面上，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 4. 一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 在光学实验课上，老师为同学们展示了一个激光反射实验装置．该装置由如图所示的两块平面镜，构成，一束激光以一定角度斜射到平面镜上发生第一次反射，反射光线又继续射到平面镜上发生第二次反射，第二次反射光线为，具体光路如图所示．若，，则平面镜与的夹角的度数为 A. B. C. D. 6. 2025年新能源汽车充电实行分时电价．某市峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度．小涛某月充电100度，总费用为160元．设峰时段充电x度，谷时段充电y度，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体．明清时期，窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭．图1为正八边形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形的边长为20，并过顶点，分别作支架，，则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为（ ） A. B. C. D. 8. 在“数字中国”战略的引领下，我国移动数据流量业务蓬勃发展，折射出国家信息化建设的辉煌成就．如图是“年移动数据流量业务收入情况”统计图（数据源自工信部《2025年通信业统计公报》），下列结论正确的是（ ） A. 年间，移动数据流量业务收入逐年上升 B. 年间，移动数据流量业务收入最高的是2023年 C. 自2021年开始，移动数据流量业务收入逐年下降 D. 年移动数据流量业务收入累计超过1.8万亿元 9. 如图，是的直径，为上一点，连接，将弦沿直径对折，点落点记为点，连接并延长交于点，交于点，连接，若，则的度数为 A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，动点E从点A出发，沿边方向匀速运动，到达点B时停止，过点E作于点F，作交菱形的边于点G，设点E的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. “计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了某地部分城市在地图中的位置（如图），若图中点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为________． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________. 13. 我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的正方形，这个过程可以直观验证的公式是________． 14. 如图，的对角线相交于点O，，点E，F分别为的中点，连接，若，，则的面积是________． 15. 儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出的水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为________米． 16. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形（如图1），它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图2，在设计某种转子发动机时，在边长为4的等边三角形中，分别以A，B，C为圆心，长为半径画弧．过点A作于点E，过点B作于点F，，交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 【题目背景】 在中国古代建筑与木工实践中，工匠们常需在不规则的板材上加工出精确的直角，以确保结构的稳固与美观．例如，宋代《营造法式》中强调了“规矩准绳”的重要性，而古代工匠在实际操作中，总结出一种称为“三弧法”的几何作图方法，仅用圆规和直尺便可作出直角．该方法无需专用工具，通过巧妙的弧线交点实现，体现了中国古代劳动人民对几何知识的巧妙应用智慧． 【方法介绍】 ①在板材需要加工的位置作线段，分别以A，B为圆心，大于的定长R为半径画弧，两弧在上方相交于点C； ②保持半径不变（仍为R），以点C为圆心画弧，交的延长线于点D（需在板材区域内加工）； ③连接．则即为直角． （1）【操作实践】如图，现有一块不规则板材，某工匠用上述“三弧法”为农具加工直角部件，请你用无刻度直尺和圆规，在这块板材区域内作出一个以线段为直角边的． （2）【计算应用】若线段 ，作图时所用半径 ，连接，则线段的长度为________；的面积为________． 21. 在某社区举办的“低碳生活，从我做起”科普宣传活动中，主办方设计了“绿色出行抽球赢奖”的互动活动，在一个不透明的箱子中装有四个除标注文字外完全相同的小球，小球上分别标注了四种低碳出行方式：A：步行，B：公共交通，C：共享单车，D：新能源汽车．参与者随机从箱中摸出一个小球，记录标注文字后放回箱中，混合摇匀，再随机摸出第二个小球．若两次摸到小球标注的出行方式均属于零碳出行，即可获得一个定制环保袋作为奖励．已知出行方式碳排放属性为：步行和共享单车为零碳出行，新能源汽车和公共交通为低碳出行． （1）随机摸取一次，摸到标注代表零碳出行的小球的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小言两次摸球后能够获得环保袋奖励的概率． 22. 综合与实践 【课题背景】 在甘肃陇东黄土塬区，有一种被誉为“地下四合院”“民居活化石”的独特建筑——地坑院，其建造工艺是国家级非物质文化遗产，体现了古人“因地制宜、天人合一”的生存智慧．某数学研学小组前往庆阳市开展“走进陇东窑洞”主题活动，由于不能走到四合院中，研学小组计划在地面上测量一座典型地坑院的深度． 【测量工具】 电子数显倾角仪（可直接放置于地面，仪器高度忽略不计），皮尺． 【测量过程与示意图】 ①将倾角仪置于院外水平地面点A处，对准站立于地坑院的A点对面的一位同学的头顶B，测得仰角； ②将倾角仪保持于点A，对准地坑院底边缘点C，测得俯角； ③用皮尺测得这位同学身高 ，且点A，B，C，O在同一竖直平面内（B，O，C三点共线）． 【任务目标】 根据地坑院结构（院壁竖直），利用测量的数据求地坑院的深度OC．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差（保留三位小数） 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______，n的值为______； （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是______班；（填“一”或“二”） （3）你认为两个班级，哪个班级教学模式比较好，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，，交轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积 25. 如图，为的直径，的顶点，在上，边经过点，连接，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 26. （1）如图，已知在等腰中，，点是平面内的动点，以为边作正方形，连接，，求证：； （2）如图，在（1）的条件下，连接，当点在线段上，且时，用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； （3）如图，已知等腰和等腰中，，连接，和，当，且时，用等式写出线段，的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点，分别从点，出发，沿线段和方向以相同的速度匀速运动，点运动到点时停止，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）求面积的最大值； （3）①点是平面内一点，若四边形是平行四边形，求点的坐标； ②如图2，连接和，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，符合题意． 2. 兰州太平鼓是一种具有浓郁西北风情的鼓舞，至今已有600多年历史，素有“天下第一鼓”的美誉，已被列入第一批国家级非物质文化遗产名录，其鼓身修长，造型独特，可近似看作圆柱体．如图将一个兰州太平鼓放置于水平地面上，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的定义，左视图是从几何体的左面看所得到的图形，圆柱横放时，从左侧看即为圆柱的底面． 【详解】解：该几何体近似看作圆柱体，且水平放置， 其侧面为曲面，底面为圆， 左视图是从物体的左面看得到的视图， 从左边看该圆柱，看到的是其底面，即一个圆． 3. 化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ． 4. 一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，即可选出符合的选项． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 当时，， ∵， ∴， 即， 选项中只有，符合要求． 5. 在光学实验课上，老师为同学们展示了一个激光反射实验装置．该装置由如图所示的两块平面镜，构成，一束激光以一定角度斜射到平面镜上发生第一次反射，反射光线又继续射到平面镜上发生第二次反射，第二次反射光线为，具体光路如图所示．若，，则平面镜与的夹角的度数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由平面反射可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 2025年新能源汽车充电实行分时电价．某市峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度．小涛某月充电100度，总费用为160元．设峰时段充电x度，谷时段充电y度，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“某月充电100度”得到，根据“峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度”得到，即，进而可得方程组． 【详解】解：∵某月充电100度， ∴， ∵峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度， ∴， 即， ∴． 7. 中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体．明清时期，窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭．图1为正八边形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形的边长为20，并过顶点，分别作支架，，则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形，结合正八边形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，同理，进而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 如图，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形， ∴， ∵正八边形的边长为20， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理， ∴， ∴制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为． 8. 在“数字中国”战略的引领下，我国移动数据流量业务蓬勃发展，折射出国家信息化建设的辉煌成就．如图是“年移动数据流量业务收入情况”统计图（数据源自工信部《2025年通信业统计公报》），下列结论正确的是（ ） A. 年间，移动数据流量业务收入逐年上升 B. 年间，移动数据流量业务收入最高的是2023年 C. 自2021年开始，移动数据流量业务收入逐年下降 D. 年移动数据流量业务收入累计超过1.8万亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形统计图读取各年份的具体数值，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：对于A．，2022年至2023年收入下降，并非逐年上升，故A错误； 对于B．最大，对应年份为2022年，收入最高的是2022年，故B错误； 对于C．，2021年至2022年收入上升，并非从2021年开始逐年下降，故C错误； 对于D．年累计收入为（亿元）． ∵18773亿元万亿元万亿元，D正确． 9. 如图，是的直径，为上一点，连接，将弦沿直径对折，点落点记为点，连接并延长交于点，交于点，连接，若，则的度数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，从而得到，再结合以及圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵将弦沿直径对折，点落点记为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图1，在菱形中，，动点E从点A出发，沿边方向匀速运动，到达点B时停止，过点E作于点F，作交菱形的边于点G，设点E的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知：当时，，此时点E与点B重合，即，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，，此时点E与点B重合，即 ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，, ∴，都为等腰直角三角形， ∴， 根据图象可知：点M所表示的几何意义为G与点D重合， ∴， ∴点M的坐标为． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. “计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了某地部分城市在地图中的位置（如图），若图中点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据点A，B的坐标分别为，可建立坐标系如下： ∴点C的坐标为． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________. 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程的一个根为，设方程另一个根为，则根据一元二次方程根与系数的关系，得到，解方程即可得到，从而得到答案． 【详解】解：设方程另一个根为， 关于的一元二次方程的一个根为， ，解得， 它的另一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记若一元二次方程有两个实数根，则是解决问题的关键． 13. 我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的正方形，这个过程可以直观验证的公式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∴，这个过程可以直观验证的公式是． 14. 如图，的对角线相交于点O，，点E，F分别为的中点，连接，若，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由中点的性质可得，，在中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 15. 儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出的水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵隧道宽为1米， ∴，即， ∵隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米， ∴，即， 即当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴隧道顶端到地面的最大高度为（米）． 16. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形（如图1），它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图2，在设计某种转子发动机时，在边长为4的等边三角形中，分别以A，B，C为圆心，长为半径画弧．过点A作于点E，过点B作于点F，，交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，平分，平分，则有点O为的内心，也是的重心，然后可得，进而根据割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形，，， ∴，，平分，平分， ∴， ∵，交于点O， ∴点O为的内心，也是的重心， ∴， ∴ ． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开括号，合并同类项后计算整式除法，再代入已知数值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，找出两个解集的公共解集即可得出不等式组的解集，在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示不等式组的解集如下： ∴不等式组的解集为． 20. 【题目背景】 在中国古代建筑与木工实践中，工匠们常需在不规则的板材上加工出精确的直角，以确保结构的稳固与美观．例如，宋代《营造法式》中强调了“规矩准绳”的重要性，而古代工匠在实际操作中，总结出一种称为“三弧法”的几何作图方法，仅用圆规和直尺便可作出直角．该方法无需专用工具，通过巧妙的弧线交点实现，体现了中国古代劳动人民对几何知识的巧妙应用智慧． 【方法介绍】 ①在板材需要加工的位置作线段，分别以A，B为圆心，大于的定长R为半径画弧，两弧在上方相交于点C； ②保持半径不变（仍为R），以点C为圆心画弧，交的延长线于点D（需在板材区域内加工）； ③连接．则即为直角． （1）【操作实践】如图，现有一块不规则板材，某工匠用上述“三弧法”为农具加工直角部件，请你用无刻度直尺和圆规，在这块板材区域内作出一个以线段为直角边的． （2）【计算应用】若线段，作图时所用半径，连接，则线段的长度为________；的面积为________． 【答案】（1）见解析 （2）5；24 【解析】 【分析】（1）根据方法介绍的步骤作图即可； （2）根据作图可知 ，再由勾股定理求解的长，由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：以为直角的如图所示： 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵作图时所用半径， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴的面积为． 21. 在某社区举办的“低碳生活，从我做起”科普宣传活动中，主办方设计了“绿色出行抽球赢奖”的互动活动，在一个不透明的箱子中装有四个除标注文字外完全相同的小球，小球上分别标注了四种低碳出行方式：A：步行，B：公共交通，C：共享单车，D：新能源汽车．参与者随机从箱中摸出一个小球，记录标注文字后放回箱中，混合摇匀，再随机摸出第二个小球．若两次摸到小球标注的出行方式均属于零碳出行，即可获得一个定制环保袋作为奖励．已知出行方式碳排放属性为：步行和共享单车为零碳出行，新能源汽车和公共交通为低碳出行． （1）随机摸取一次，摸到标注代表零碳出行的小球的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小言两次摸球后能够获得环保袋奖励的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用零碳出行小球的数量除以小球总数量得到概率； （2）通过画树状图法列出所有等可能结果，统计出符合条件的结果数量，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵四种出行方式中有两种是零碳出行， ∴摸到标注代表零碳出行的小球的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸球后能够获得环保袋奖励的结果共4种． 因此小言两次摸球后获得环保袋奖励的概率为． 22. 综合与实践 【课题背景】 在甘肃陇东黄土塬区，有一种被誉为“地下四合院”“民居活化石”的独特建筑——地坑院，其建造工艺是国家级非物质文化遗产，体现了古人“因地制宜、天人合一”的生存智慧．某数学研学小组前往庆阳市开展“走进陇东窑洞”主题活动，由于不能走到四合院中，研学小组计划在地面上测量一座典型地坑院的深度． 【测量工具】 电子数显倾角仪（可直接放置于地面，仪器高度忽略不计），皮尺． 【测量过程与示意图】 ①将倾角仪置于院外水平地面点A处，对准站立于地坑院的A点对面的一位同学的头顶B，测得仰角； ②将倾角仪保持于点A，对准地坑院底边缘点C，测得俯角； ③用皮尺测得这位同学身高，且点A，B，C，O在同一竖直平面内（B，O，C三点共线）． 【任务目标】 根据地坑院结构（院壁竖直），利用测量的数据求地坑院的深度OC．（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，在Rt中，，则 ，在Rt中，，将代入即可求出，注意不要忽略结果要保留一位小数． 【详解】解：在Rt中，， ∴， ∴ ， 在Rt中， ， ∴， ∴ ， 保留一位小数得 米 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差（保留三位小数） 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______，n的值为______； （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是______班；（填“一”或“二”） （3）你认为两个班级，哪个班级教学模式比较好，请说明理由． 【答案】（1）8；8.35 （2）二 （3）二班教学模式比较好（合理即可） 【解析】 【分析】（1）利用总人数为40，计算得8分的人数，根据众数定义求，根据平均数计算公式计算； （2）根据方差的意义，方差越小数据越整齐，比较方差大小得到结论； （3）根据平均数和方差的统计意义，对比两个班的结果，判断教学模式的好坏． 【小问1详解】 解：一班和二班各有名学生， 一班得8分的人数为， 一班中得8分的人数最多，因此众数是，即， 二班得8分的人数为， 二班的平均数； 【小问2详解】 解：一班方差为，二班方差为，且，方差越小成绩越整齐， 成绩比较整齐的是二班； 【小问3详解】 解：我认为二班的教学模式比较好． 二班评分的平均数大于一班的平均数，且二班的方差小于一班的方差， 二班的整体美术创作评分更高，且成绩更整齐，说明增设趣味拓展的教学模式效果更好． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，，交轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积 【答案】（1）一次函数，反比例函数 （2）15 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数表达式可求解，再由反比例函数表达式可求解点，将点与点代入一次函数表达式可求解； （2）记一次函数与x轴的交点为点，分别求解与的面积求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数 的图象过点 ， ，解得， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 一次函数的图象过点 和 ， ，解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：记一次函数与x轴的交点为点，如图 在一次函数中，令，可得， 令，可得， 点的坐标为，点的坐标为， 则，， ，， ，即， ， ， ． 25. 如图，为的直径，的顶点，在上，边经过点，连接，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明得出，进而得出即，即可得证； （2）证明得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是直径， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 26. （1）如图，已知在等腰中，，点是平面内的动点，以为边作正方形，连接，，求证：； （2）如图，在（1）的条件下，连接，当点在线段上，且时，用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； （3）如图，已知等腰和等腰中，，连接，和，当，且时，用等式写出线段，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质得出，，根据角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）根据正方形的性质及全等三角形的性质得出，根据得出，理由勾股定理得出，即可得出； （3）过点作，交延长线于，可得，，理由三角函数得出，设，则，利用分别表示、即可得出． 【小问1详解】 证明：∵在等腰中，， ∴，， ∵以为边作正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形是正方形，点在线段上， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，过点作，交延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点，分别从点，出发，沿线段和方向以相同的速度匀速运动，点运动到点时停止，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）求面积的最大值； （3）①点是平面内一点，若四边形是平行四边形，求点的坐标； ②如图2，连接和，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）根据二次函数交点式可知，，根据勾股定理求出，设（），根据三角函数可知到轴的高，求出的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可； （3）①设，根据平行四边形的性质及中点坐标公式作答即可； ②设，得，作交于点F，可知，即，可知，根据勾股定理可知，，则可转化为：轴上动点到点和点的距离和，根据两点之间线段最短可知最小值． 【小问1详解】 解：∵与轴交于点， ∴ ， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 设（），则， 在中，， 可知到轴的高， 则的面积：， ∵， ∴当​时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：①设， ∵平行四边形对角线互相平分，平行四边形中为对角线，中点坐标为， ∴， 解得：， 即； ②设，得， 作交于点F， 可知， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴，， 则可转化为：轴上动点到点和点的距离和， 由两点之间线段最短可知，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $