2026年甘肃省兰州市第三十五中学中考数学模拟试卷（二）

**基本信息** 以科技创新企业图标、《九章算术》古题、岳麓山测量等真实情境为载体，覆盖代数运算、几何变换、函数应用等核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新思维，适配中考二模综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11/33|中心对称图形、整式运算、二元一次方程组|第1题结合新质生产力，第4题融入传统文化| |填空题|4/12|因式分解、概率、菱形性质|第13题以石蕊溶液混合考概率，体现跨学科联系| |解答题|11/75|函数综合、几何证明、统计分析|第25题正方形旋转综合考查空间观念，第26题“垂等射点”新定义培养创新意识|

2026年甘肃省兰州市第三十五中学中考数学模拟试卷（二） 一、单选题(共11题，每题3分，共计33分) 1．（3分）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6 3．（3分）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（　　） A．70° B．100° C．110° D．130° 4．（3分）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱 不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（　　） A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2） 7．（3分）已知反比例函数的图象上有点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 8．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，O，E是正方形网格上的五个点．若半径为1的⊙O与线段AB交于点D，则∠DEC的余弦值是（　　） A． B．2 C． D． 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②b1＜b2；③方程k2x+b2＝0的解为x＝1；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．2 B．6﹣3 C．2 D．66 11．（3分）如图，某小区有一块菱形绿地ABCD，其中∠A＝60°，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧MNPQ，使点M，N，P，Q分别在边AB，BC，CD，AD上．记MN＝xm，PN＝ym，图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 12．（3分）因式分解：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　 　 ． 13．（3分）紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性变成蓝色，遇中性不变色．现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．从四个瓶子中随机选取两瓶，适量的溶液进行混合，则混合后溶液变成红色的概率为　 　 ． 14．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 　 　 ． 15．（3分）如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，正方形OECD的顶点D、C、E分别在OA、、OB上，把正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF，其中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 三、解答题（共11题，共计75分） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 18．（5分）解方程：． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 20．（7分）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容． 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离禹王峰一定距离的地面C处放置测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为45°； 2．在与地面C处水平距离为525m的地面D处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为53°．（C，B，D在同一水平直线上） 请根据表中的测量数据，计算禹王峰AB的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，1.4） 21．（7分）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中， AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝ 　 　 °． 问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD，BE．求证：线段AD是线段BE的双关联线段． 证明：延长DA交BE于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60° ∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠BAE＝∠ACD（依据）． ∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD． ∴BE＝AD，∠E＝∠D． … 任务： （1）问题1中的∠ACB＝ 　 　 °，问题2中的依据是 　 　 ； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 22．（7分）2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x＜100）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 b 八年级 84.8 a 78 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为　 　 度． （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． （3）如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 23．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 24．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣bx的图象经过两点（1，﹣2），（﹣1，4）． （1）求二次函数的表达式； （2）点（t，m）、（t+5，n）为该二次函数图象上的两点，当t＞﹣1时，试比较m与n的大小，并说明理由； （3）点A（x1，p）、B（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点（pq≠0），且满足，请写出p、q之间的数量关系，并写出推理过程． 25．（8分）综合与探究 如图1，在边长为12的正方形ABCD中，E是正方形内一点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF． （2）若点G是BC的中点，连接GE，且． ①如图2，当A、E、G三点共线时，连接GF，求线段GF的长； ②连接EF，在E运动的过程中，当DE最小时，直接写出四边形AEFD的面积． 26．（9分）我们给出如下定义：两个图形G1和G2，在G1上的任意一点P引出两条垂直的射线与G2相交于点M、N，如果PM＝PN，我们就称M、N为点P的垂等点，PM、PN为点P的垂等线段，点P为垂等射点． （1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）为x轴上的垂等射点，过A（0，3）作x轴的平行线l，则直线l上的B（﹣2，3），C（﹣1，3），D（3，3），E（4，3）为点P的垂等点的是　 　 ； （2）如果一次函数图象过M（0，3），点M为垂等射点P（1，0）的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； （3）如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在⊙O上，垂等点在经过（3，0），（0，3）的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段PM长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 2026年甘肃省兰州市第三十五中学中考数学模拟试卷（二） 参考答案与试题解析 一、单选题(共11题，每题3分，共计33分) 1．（3分）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6 【解答】解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意， m2•m4＝m6，则B符合题意， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则C不符合题意， （2m2）3＝8m6，则D不符合题意， 故选：B． 3．（3分）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（　　） A．70° B．100° C．110° D．130° 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠BCD＝110°． 故选：C． 4．（3分）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱 不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得：． 故选：B． 5．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣a）＞0， 解得a＞1， ∴a的最小整数值是2， 故选：D． 6．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（　　） A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2） 【解答】解：因为以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB， 所以点B的坐标为（4×2，1×2），即（8，2）． 故选：D． 7．（3分）已知反比例函数的图象上有点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【解答】解：由解析式可知反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内y随着x的增大而增大， ∵x1＞x2＞0＞x3， ∴y3＞y1＞y2， 故选：D． 8．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，O，E是正方形网格上的五个点．若半径为1的⊙O与线段AB交于点D，则∠DEC的余弦值是（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：由题意得：△ABC是直角三角形，AC＝1，BC＝2， ∴， ∴， 由圆周角定理得，∠DEC＝∠ABC， ∴， 故选：D． 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②b1＜b2；③方程k2x+b2＝0的解为x＝1；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象经过第二、四象限， ∴在一次函数y＝k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小，所以①正确； ∵一次函数y＝k1x+b1与y轴的交点在y轴的正半轴，y＝k2x+b2的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴b1＞b2，所以②错误； ∵一次函数y＝k2x+b2的图象与x轴的交点坐标为（1，0）， ∴方程k2x+b2＝0的解为x＝1，所以③正确； ∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1）， ∴方程组的解是，所以④正确． 故选：C． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．2 B．6﹣3 C．2 D．66 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6， ∴AB＝BC＝6， 根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF， ∵∠B＝45°， ∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B， ∴AE＝BEAB＝3， ∴BF＝2BE＝6， ∴CF＝BF﹣BC＝66， 故选：D． 11．（3分）如图，某小区有一块菱形绿地ABCD，其中∠A＝60°，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧MNPQ，使点M，N，P，Q分别在边AB，BC，CD，AD上．记MN＝xm，PN＝ym，图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【解答】解：连接对角线AC，BD，BD交MN于点E，如图： 根据菱形和矩形都是中心对称图形可知，AM＝AQ＝CM＝CP，BM＝BN＝DP＝DQ， ∵∠BAD＝60°，AM＝AQ， ∴△AMQ是等边三角形， ∴AM＝MQ＝NP＝y， 设AB＝m，则BM＝m﹣y， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠MBE＝60°， ∴ME＝MB•sin60°（m﹣y）， ∵MEMNx， ∴x（m﹣y）， ∴y＝mx， ∴y与x满足一次函数关系； ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝m， ∴ACABm， ∴S菱形ABCDBD•ACm2， ∴S＝S菱形ABCD﹣S矩形MNPQm2﹣xym2﹣x（mx）x2﹣mxm2， ∴S与x满足二次函数关系， 故选：C． 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 12．（3分）因式分解：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　（a+3）（a﹣3）（x﹣y）　 ． 【解答】解：由题意先整理再提公因式（x﹣y），最后结合平方差公式因式分解得， 原式＝a2（x﹣y）﹣9（x﹣y） ＝（a2﹣9）（x﹣y） ＝（a+3）（a﹣3）（x﹣y）． 故答案为：（a+3）（a﹣3）（x﹣y）． 13．（3分）紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性变成蓝色，遇中性不变色．现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．从四个瓶子中随机选取两瓶，适量的溶液进行混合，则混合后溶液变成红色的概率为　　 ． 【解答】解：根据题意，从四瓶溶液中随机选取两瓶，所有等可能的结果为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6种， 混合后溶液变红，需要混合液中同时含有紫色石蕊溶液和酸性溶液，符合条件的结果只有（A，B），共1种， 故混合后溶液变成红色的概率为， 故答案为：． 14．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 　　 ． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAC＝30°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠BAD∠ADC120°＝60°， ∵AB＝AD（菱形的邻边相等）， ∴△ABD是等边三角形， 连接DE， ∵B、D关于对角线AC对称， ∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值＝DE， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵菱形ABCD周长为8， ∴AD＝8÷4＝2， ∴DE2． 故答案为：． 15．（3分）如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，正方形OECD的顶点D、C、E分别在OA、、OB上，把正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF，其中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：连接OC，如图， ∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2， ∴OC＝OA＝2， ∵正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF，其中点D的对应点F恰好与C重合， ∴OG＝CG，∠AOB＝90°， ∴OC2＝OG2+CG2＝2CG2，∠BOC＝45°， ∴， ∴正方形的面积为：CG×GN＝2，， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：3． 三、解答题（共11题，共计75分） 16．（5分）计算：． 【解答】解：原式＝15+22 ＝1+2+52 ＝82 ＝8． 17．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x＜4， 综上，﹣2＜x＜4， ∴所有整数解解为﹣1，0，1，2，3． 18．（5分）解方程：． 【解答】解：去分母得：x2＝x（x﹣1）+3（x﹣1）， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 20．（7分）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容． 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离禹王峰一定距离的地面C处放置测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为45°； 2．在与地面C处水平距离为525m的地面D处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为53°．（C，B，D在同一水平直线上） 请根据表中的测量数据，计算禹王峰AB的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，1.4） 【解答】解：根据题意得，AB⊥CD， ∴∠ABC＝∠ABD＝90°， 设AB＝xm， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝xm， 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝53°， ∴， ∵CD＝BC+BD＝525m， ∴， 解得x＝300， ∴AB＝300m， 答：禹王峰AB的高度为300m． 21．（7分）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中， AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝ 　30　 °． 问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD，BE．求证：线段AD是线段BE的双关联线段． 证明：延长DA交BE于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60° ∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠BAE＝∠ACD（依据）． ∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD． ∴BE＝AD，∠E＝∠D． … 任务： （1）问题1中的∠ACB＝ 　30　 °，问题2中的依据是 　等角的补角相等　 ； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【解答】（1）解：设AC，BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， ∵对角线AC与BD互为双关联线段， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∴∠ACB＝90°﹣∠OAB＝30°， 故答案为：30； 问题2中的依据是：等角的补角相等； 故答案为：等角的补角相等； （2）解：∵∠AFB是△AEF的外角， ∴∠AFB＝∠EAF+∠E， ∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠D， ∵∠EAF＝∠CAD，∠E＝∠D， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°， 即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°， ∵AD＝BE， ∴线段AD与线段BE是双关联线段； （3）解：答案不唯一， 如图，线段CD即为所求． 22．（7分）2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x＜100）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 b 八年级 84.8 a 78 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中a＝　82　 ，b＝　89　 ，七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为　144　 度． （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． （3）如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【解答】解：（1）将八年级的数据按从小到大的顺序排列，则八年级的中位数为第10、第11位的两个数据的平均数， ∵八年级A组和B组共有20×10%+20×10%＝4（人）， ∴第10、第11位的两个数据为79，85， ∴． ∵七年级测试成绩出现次数最多的是89分， ∴b＝89． 七年级D组人数为20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8人， ∴七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为； （2）七年级学生的成绩好． 理由：从平均数看，七年级样本数据的平均数大于八年级样本数据的平均数； 从中位数看，七年级样本数据的中位数大于八年级样本数据的中位数，说明七年级学生中至少有一半以上的成绩高于88.5，而八年级约有一半的学生成绩低于82； （3）七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约（人）， 答：约为300人． 23．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP， ∵OP＝OP，OC＝OB， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OBP＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC与⊙O相切； （2）解：连接BC交OP于点D， ∵△COP≌△BOP， ∴PC＝PB，OB＝OC， ∴OP垂直平分BC， ∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°， ∴． 24．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣bx的图象经过两点（1，﹣2），（﹣1，4）． （1）求二次函数的表达式； （2）点（t，m）、（t+5，n）为该二次函数图象上的两点，当t＞﹣1时，试比较m与n的大小，并说明理由； （3）点A（x1，p）、B（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点（pq≠0），且满足，请写出p、q之间的数量关系，并写出推理过程． 【解答】解：（1）将（1，﹣2），（﹣1，4）代入y＝ax2﹣bx， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣3x； （2）∵t＞﹣1， ∴t+5＞4， ∵y＝x2﹣3x＝﹣（x）2， ∴对称轴为直线x， ∵n＝（t+5）2﹣3（t+5），m＝t2﹣3t， ∴n﹣m＝10+10t， ∵t＞﹣1， ∴n﹣m＞0， ∴n＞m； （3）∵A（x1，p）在函数上， ∴p3x1， ∵， ∴， ∴x1+x2＝3， ∵q3x2＝（3﹣x1）2﹣3（3﹣x1）3x1， ∴p＝q． 25．（8分）综合与探究 如图1，在边长为12的正方形ABCD中，E是正方形内一点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF． （2）若点G是BC的中点，连接GE，且． ①如图2，当A、E、G三点共线时，连接GF，求线段GF的长； ②连接EF，在E运动的过程中，当DE最小时，直接写出四边形AEFD的面积． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°， 由旋转可知，DE＝DF，∠EDF＝90°， 则∠ADE+∠CDE＝∠CDE+∠CDF， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：①由（1）可知，△ADE≌△CDF（SAS），则∠EAD＝∠FCD， 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BAD＝90°，则∠BAG+∠EAD＝90°， ∵点G是BC的中点， ∴BG＝CG＝3，则AG6， ∴AE＝CF＝AG﹣GE＝4， 过点F作HF⊥BC延长线于H，如图2，则∠HCH+∠FCD＝90°， ∴∠BAG＝∠HCF， ∴△BAG∽△HCF， 则，即， ∴CH＝4，FH＝2，则GH＝CG+CH＝7， ∴GF2； ②连接GD，如图3，则GD6， 由三角形三边关系可知，DE≥GD﹣GE＝4，当点E在GD上时取等号， 即：当DE最小时，DE＝DF＝4，则S△DEF440， 过点E作FM⊥CD，则EN∥BC， ∴△DEM∽△DGC， ∴，即， ∴DM＝8， ∴S△ADEAD•DM8×12＝48， ∴四边形AEFD的面积为S△ADE+S△DEF＝88． 26．（9分）我们给出如下定义：两个图形G1和G2，在G1上的任意一点P引出两条垂直的射线与G2相交于点M、N，如果PM＝PN，我们就称M、N为点P的垂等点，PM、PN为点P的垂等线段，点P为垂等射点． （1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）为x轴上的垂等射点，过A（0，3）作x轴的平行线l，则直线l上的B（﹣2，3），C（﹣1，3），D（3，3），E（4，3）为点P的垂等点的是B（﹣2，3），E（4，3）　 ； （2）如果一次函数图象过M（0，3），点M为垂等射点P（1，0）的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； （3）如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在⊙O上，垂等点在经过（3，0），（0，3）的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段PM长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 【解答】解：（1）如图1，分别过B，E作BGx轴⊥于G，EH⊥x轴于H， ∴BG＝EH＝3，PG＝PH＝3， ∴PB＝PE＝3，∠BPG＝∠EPH＝45°， ∴∠BPE＝90°，B（﹣2，3），E（4，3）为点P的垂等点， 故答案为：B（﹣2，3），E（4，3）； （2）①如图2，当垂等点N直线PM右侧时， 依题意，可知∠MOP＝∠MPN＝∠NFP＝90°，PM＝PN， ∵∠OPM+∠OMP＝∠OPM+∠NPF＝90°， ∴∠OMP＝∠NPF． 在△MOP与△PFN中，， ∴△MOP≌△PFN． ∴PF＝OM，OP＝FN． ∵P（1，0）， ∴OF＝4，FN＝1． ∵点N在第一象限， ∴N（4，1）． ∴过点M、N的一次函数表达式为yx+3； ②如图3，当垂等点N直线PM左侧时， 依题意同理可得N（﹣2，﹣1） ∴过点M、N的一次函数表达式为y＝2x+3； （3）如图4， 当点P在第一和第三象限的角平分线上且PM∥OA时，PM取得最小或最大值， 延长MP交OB于C，连接OP， ∵B（3，0），A（0，3）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， ∵OP＝1， ∴OC＝PC， ∴N的纵坐标为， ∴横坐标为3， ∴PM＝PN＝33，同理P′M′＝P′N′＝3， ∴PM长的取值范围：3PM≤3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/23 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