2026年甘肃兰州市第十九中学教育集团中考数学二模试卷

**基本信息** 立足中考二模定位，融合360全景影像、《九章算术》等真实情境，梯度覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，突出逻辑推理与数学建模能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11题33分|图形变换、科学记数法、菱形性质等|第1题结合生活图形考平移，第10题以《九章算术》考方程组建模| |填空题|4题12分|二次根式、圆的弦长、扇形弧长等|第14题以汽车全景影像考扇形弧长，体现科技应用| |解答题|11题75分|二次函数综合、动态几何、几何证明等|第25题正方形中探究AE=BF及DM与AD关系，第26题三问递进考相似与最值，契合中考压轴题命题趋势|

2026年甘肃省兰州市第十九中学教育集团中考数学二模试卷 一、单选题（共33分） 1．（3分）图形变换是指对基本图形的几何信息进行一系列操作，从而产生新的图形，包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到838.6亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据838.6亿用科学记数法表示为（　　） A．838.6×104 B．838.6×103 C．8.386×103 D．8.386×1010 3．（3分）如图，直线MN与PQ交于点O，OH⊥PQ．若∠1＝130°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．（3分）如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，AB＝6．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 5．（3分）根据下列表格对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.01 0.03 0.45 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27 6．（3分）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝2，则BC长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 9．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2b+ab2＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 10．（3分）《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若每辆车坐3人，则有两辆车无人坐；若每辆车坐2人，则有9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，y个人，根据题意，可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝6，动点F从点A出发，沿AB方向匀速运动，到达点B停止运动，过点F作EF⊥AB交直角边AC或BC于点E，以EF为边向右作正方形EFGH，设点F运动的路程为x（0＜x＜6），正方形EFGH和等腰直角△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共12分） 12．（3分）请任意写出一个能使有意义的m值：　 　 ． 13．（3分）如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝90°，若OA＝4，则AB的长为　 　 ． 14．（3分）随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为30°的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为 　 　 米． 15．（3分）如图，在△ABE中，∠AEB＝90°，点C是边BE上的点，且BC＝AE＝3，CE＝1，BD平分∠ABC交AC于D，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为　 　 ． 三、解答题（共75分） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解不等式组，并求出这个不等式组的所有整数解． 18．（5分）解分式方程：． 19．（7分）已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 20．（7分）某学校九年级数学实践活动小组，计划采用无人机辅助的方法，测量红山塔AB的高度，无人机在距地面55m的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为22.7°，到点D处测得塔尖A的俯角为45°，测得飞行距离CD为150m．求出红山塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22.7°≈0.39，cos22.7°≈0.92，tan22.7°≈0.42，，） 21．（7分）下面是小明设计的“作平行四边形ABCD''的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：平行四边形ABCD． 作法：如图． ①分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点； ②作直线EF交AC于点P； ③作射线BP、在射线BP上截取PD＝BP； ④连接AD、CD． 则四边形ABCD是平行四边形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AE，CE，AF，CF． ∵AE＝CE，AF＝CF， ∴EF是线段AC的垂直平分线． ∴AP＝　 　 ． 又∵BP＝DP， ∴四边形ABCD是平行四边形（　 　 ）（填推理的依据）． 22．（7分）伟大的物理学家杨振宁先生在统计力学、凝聚态物理、粒子物理与场论四大领域，贡献了13项诺贝尔级别成就，为弘扬科学精神，某校在科技节设置了以这四个领域为背景的体验区．活动规则如下：在一个不透明的箱子里放入四张分别标有“统计力学”“凝聚态物理”“粒子物理”“场论”（依次用A、B、C、D表示）的卡片，除所标领域不同外，其他完全相同，小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标领域后不放回，随后小华从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小昆抽到卡片A的概率为　 　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小华都没有抽到卡片B的概率． 23．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若∠CAB＝30°，OD＝6，求阴影部分的面积． 24．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，t），点B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若m，n是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的两个实数根，求m2﹣4m﹣n的值． 25．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）求证：AE＝BF； （2）若点E是BC的中点，连接DM，请你判断线段DM与AD之间的关系，并说明理由． 26．（9分）解答下列各题： （1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB； （2）学以致用：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE⊥BC于点D，BE＝2EF，，，求证：∠AFC＝∠ABC； （3）拓展提高：如图3，在△ABC中，∠C＝30°，D为BC中点，连接AD，点E为射线AD上一动点，且∠ADB＝∠ABE，BC＝2，直接写出CE的最小值． 2026年甘肃省兰州市第十九中学教育集团中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（共33分） 1．（3分）图形变换是指对基本图形的几何信息进行一系列操作，从而产生新的图形，包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、可以由“平移”的过程得到； B、可以由“旋转”的过程得到； C、可以由“旋转”的过程得到； D、可以由“旋转”或“轴对称”的过程得到． 故选：A． 2．（3分）2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到838.6亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据838.6亿用科学记数法表示为（　　） A．838.6×104 B．838.6×103 C．8.386×103 D．8.386×1010 【解答】解：838.6亿＝83860000000＝8.386×1010． 故选：D． 3．（3分）如图，直线MN与PQ交于点O，OH⊥PQ．若∠1＝130°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：由条件可知∠PON＝50°． ∵OH⊥PQ， ∴∠POH＝90°． ∵∠POH＝∠2+∠PON， ∴∠2＝40°． 故选：B． 4．（3分）如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，AB＝6．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵∠ABC＝60°，AB＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， 故选：B． 5．（3分）根据下列表格对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.01 0.03 0.45 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27 【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01， ∴方程ax2+bx+c＝0一个解x的范围为3.24＜x＜3.25． 故选：B． 6．（3分）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：由平均数越大代表成绩越好可知： 乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为3.8，小于丁的方差5.6， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 故选：B． 7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝2，则BC长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽‌△ADE， ∴， ∵DE＝2，AD：DB＝1：2， ∴， 解得BC＝6． 故选：C． 8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵﹣5＜﹣2.5＜5， ∴y2＜y1＜y3． 故选：D． 9．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2b+ab2＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【解答】解：对所求式子因式分解得：a2b+ab2＝ab（a+b）， ∴原式＝2×3＝6． 故选：B． 10．（3分）《九章算术》中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若每辆车坐3人，则有两辆车无人坐；若每辆车坐2人，则有9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，y个人，根据题意，可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得： ． 故选：A． 11．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝6，动点F从点A出发，沿AB方向匀速运动，到达点B停止运动，过点F作EF⊥AB交直角边AC或BC于点E，以EF为边向右作正方形EFGH，设点F运动的路程为x（0＜x＜6），正方形EFGH和等腰直角△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点F运动的路程为x（0＜x＜6）， ∴AF＝x， 由题意可得：∠CAB＝∠AEH＝45°， ∴EF＝AF＝x， 由题意可得：y＝x2， 当点H在线段AC时，如图， 则AF＝EF＝EH＝x， ∴， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴x＝2， 此时y＝x2＝22＝4， 那么，y＝x2（0＜x＜2）； 若点E向右运动截止于点C重合前，如图， 则AF＝EF＝x，，， ∴EJ＝6﹣2x，HJ＝EH﹣EJ＝x﹣（6﹣2x）＝3x﹣6， 则（2＜x＜3）； 若点E在线段BC上时，如图， 则AF＝x，EF＝FB＝AB﹣AF＝6﹣x， ∴（3＜x＜6）， 故选：A． 二、填空题（共12分） 12．（3分）请任意写出一个能使有意义的m值：　1　 ． 【解答】解：∵3﹣m≥0， ∴m≤3． 故答案为：1（答案不唯一）． 13．（3分）如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝90°，若OA＝4，则AB的长为　4　 ． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OB＝OA＝4， ∴AB4， 故答案为：4． 14．（3分）随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为30°的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为 　　 米． 【解答】解：可视区域形成的扇形弧长（米）． 故答案为：． 15．（3分）如图，在△ABE中，∠AEB＝90°，点C是边BE上的点，且BC＝AE＝3，CE＝1，BD平分∠ABC交AC于D，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为　　 ． 【解答】解：作点N关于BD的对称点N′，连接MN′，过点C作CH⊥AB， 则有MN＝MN′， ∴CM+MN＝CM+MN′≥CN′， 当点C、M、N′三点共线时，CM+MN的值最小，最小值为CN′， ∵垂线段最短， ∴CN′≥CH， ∵BC＝AE＝3，CE＝1， ∴BE＝BC+CE＝3+1＝4， ∵∠AEB＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CM+MN的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16．（5分）计算：． 【解答】解：原式＝﹣91﹣28 ＝﹣918 ＝﹣2． 17．（5分）解不等式组，并求出这个不等式组的所有整数解． 【解答】解：由题知， 解不等式5x+1≥3（x+1）得，x≥1， 解不等式得，x≤3， 所以不等式组的解集为1≤x≤3， 则该不等式组的所有整数解为1，2，3． 18．（5分）解分式方程：． 【解答】解：原方程两边同乘以（x﹣1），得﹣3＝x﹣5（x﹣1）， 去括号，得﹣3＝x﹣5x+5， 移项，得﹣x+5x＝5+3， 合并同类项，得4x＝8， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解． 19．（7分）已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y， 得m＝2×（﹣4）＝﹣8，则反比例函数解析式为y． 把B（n，﹣4）代入y， 得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则B点坐标为（2，﹣4）． 把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得 ， 解得， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣2． （2）直线与x轴的交点为C，在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2， 即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴OC＝2． ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC2×22×4＝6． （3）由图可得，不等式kx+b0解集范围是x＜﹣4或0＜x＜2． 20．（7分）某学校九年级数学实践活动小组，计划采用无人机辅助的方法，测量红山塔AB的高度，无人机在距地面55m的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为22.7°，到点D处测得塔尖A的俯角为45°，测得飞行距离CD为150m．求出红山塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22.7°≈0.39，cos22.7°≈0.92，tan22.7°≈0.42，，） 【解答】解：如图，延长BA交CD于点E， 由题意得：BE＝55m，BE⊥CD， 设CE＝xm， 在Rt△ACE中，∠ACE＝22.7°， ∴AE＝CEtan22.7°≈0.42xm， 在Rt△ADE中，∠ADE＝45°， ∴DE0.42x（m）， ∵CE+DE＝CD， ∴x+0.42x＝150， 1.42x＝150， 解得x≈105.63， ∴AE＝0.42x≈44.37m， ∴AB＝BE﹣AE＝55﹣44.37≈10.6（m）． 答：红山塔AB的高度约为10.6m． 21．（7分）下面是小明设计的“作平行四边形ABCD''的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：平行四边形ABCD． 作法：如图． ①分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点； ②作直线EF交AC于点P； ③作射线BP、在射线BP上截取PD＝BP； ④连接AD、CD． 则四边形ABCD是平行四边形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AE，CE，AF，CF． ∵AE＝CE，AF＝CF， ∴EF是线段AC的垂直平分线． ∴AP＝PC ． 又∵BP＝DP， ∴四边形ABCD是平行四边形（　对角线互相平分的四边形是平行四边形　 ）（填推理的依据）． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接AE，CE，AF，CF． ∵AE＝CE，AF＝CF， ∴EF是线段AC的垂直平分线． ∴AP＝PC． 又∵BP＝DP， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：PC，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 22．（7分）伟大的物理学家杨振宁先生在统计力学、凝聚态物理、粒子物理与场论四大领域，贡献了13项诺贝尔级别成就，为弘扬科学精神，某校在科技节设置了以这四个领域为背景的体验区．活动规则如下：在一个不透明的箱子里放入四张分别标有“统计力学”“凝聚态物理”“粒子物理”“场论”（依次用A、B、C、D表示）的卡片，除所标领域不同外，其他完全相同，小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标领域后不放回，随后小华从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小昆抽到卡片A的概率为　　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小华都没有抽到卡片B的概率． 【解答】解：（1）小昆从箱子中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是； 故答案为：； （2）画树状图如下： 其中小昆和小华都没有抽到卡片B的情况有6种， ∴． 23．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若∠CAB＝30°，OD＝6，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OP， ∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线， ∴PA⊥OA， 即∠PAO＝90°， ∵点C在⊙O上， ∴OC＝OA， 在△POC和△POA中， ， ∴△POC≌△POA（SSS）， ∴∠PCO＝∠PAO＝90°， 即：PC⊥OC， 又OC为⊙O的半径， ∴PC为⊙O的切线； （2）解：∵∠CAB＝30°， ∴∠COD＝2∠CAB＝60°，由（1）知PC⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝30°， ∵OD＝6， ∴OCOD＝3， ∴CD3， ∴阴影部分的面积＝△OCD的面积﹣扇形OBC的面积3×3π． 24．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，t），点B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若m，n是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的两个实数根，求m2﹣4m﹣n的值． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． ∴对称轴为直线x1.5， ∴1.5， ∴； （2）①∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为， ∴a＜0，， 又∵b＝﹣3a， ∴a2﹣3a﹣4＝0， 解得：a＝4（不合题意，舍去）或﹣1， ∴b＝3， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2； ②由①知，方程为：﹣x2+3x﹣2＝0，即x2﹣3x+2＝0， 若m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根， 则m+n＝3，mn＝2，m2﹣3m＝﹣2， ∴m2﹣4m﹣n＝m2﹣3m﹣（m+n）＝﹣2﹣3＝﹣5． 25．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）求证：AE＝BF； （2）若点E是BC的中点，连接DM，请你判断线段DM与AD之间的关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF，垂足为M， ∴∠AMB＝∠AMF＝90°， ∴∠BAM+∠ABM＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF． （2）解：DM＝AD，理由： 在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝CD＝AD， 延长AD、BF，交于点K，则∠CDK＝180°﹣90°＝90°， ∴∠CDK＝∠C， 由（1）得△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴， ∴， 在△BCF和△KDF中， ， ∴△BCF≌△KDF（ASA）， ∴BC＝KD， ∴AD＝KD， ∴点D是AK的中点， 又∵∠AMF＝90°， ∴． 26．（9分）解答下列各题： （1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB； （2）学以致用：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE⊥BC于点D，BE＝2EF，，，求证：∠AFC＝∠ABC； （3）拓展提高：如图3，在△ABC中，∠C＝30°，D为BC中点，连接AD，点E为射线AD上一动点，且∠ADB＝∠ABE，BC＝2，直接写出CE的最小值． 【解答】（1）证明：∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B， ∴△CAD∽△BAC， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥BC， ∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ACD＝∠BAD， ∵，BE＝2EF，， ∴，，， ∴， ∵∠ABE＝∠FBA， ∴△ABE∽△FBA， ∴∠AFB＝∠BAD， ∴∠AFB＝∠ACD， 如图2，设AF与BC交于点G， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴△AGC∽△BGF， ∴， ∵∠AGB＝∠CGF， ∴△AGB∽△CGF， ∴∠AFC＝∠ABC； （3）解：CE取得最小值为．理由如下： 如图3，过点D作DM⊥AC于点M，过点A在AB上方作AN⊥BN且满足∠NAB＝∠MAD，分别取BD、AB、AD的中点P、F、G，连接NP、NF、FP、GP、GM、MP、NE，在BC下方取点Q，使得∠PBN＝∠QBE，且，连接PQ、QE、CE、CQ，过点Q作QS⊥BC于点S， ∵∠AMD＝∠ANB，∠NAB＝∠MAD， ∴△NAB∽△MAD， ∴∠NBA＝∠MDA，， ∵点P、F、G分别为BD、AB、AD中点， ∴，，PG∥AB，PF∥AD， ∵△ANB与△AMD为直角三角形， ∴AF＝FN，AG＝GM， ∴∠NFB＝2∠NAB，∠MGD＝2∠MAD，，， ∵PG∥AB，PF∥AD， ∴∠BAD＝∠PGD，∠BAD＝∠BFP， ∵∠NAB＝∠MAD，∠NFB＝2∠NAB，∠MGD＝2∠MAD， ∴∠NFB＝∠MGD， ∴∠NFP＝∠PGM， 在△NFP与△PGM中， ， ∴△NFP≌△PGM（SAS）， ∴NP＝PM， ∵∠ACB＝30°，DM⊥AC， ∴∠MDC＝60°， ∵，，CD＝BD， ∴DM＝DP， ∴∠MPD＝30°＝∠MCP， ∴PM＝MC， 在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+MC2＝DC2， 解得：， ∵∠ADB＝∠ABE， ∴∠NBA+∠ABE＝∠MDA+∠ADB＝120°， ∴∠NBE＝120°， ∵∠PBN＝∠QBE，且， ∴△BQE∽△BPN， ∴∠QBE+∠EBD＝∠PBN+∠EBD＝∠NBE＝120°，， ∵∠BAD＝∠EAB，∠ADB＝∠ABE， ∴△ABE∽△ADB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，BQ＝2BP＝1， ∵QS⊥BC，∠SBQ＝180°﹣120°＝60°， ∴∠SQB＝30°， ∴， ∴， 在Rt△QSC中，由勾股定理得：SQ2+SC2＝QC2， 解得：， 在△QCE中，CE+QE≥QC， ∴， 当且仅当点Q、C、E三点共线时，CE取得最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/23 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