陕西榆林市第十四中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

榆林市第十四中学期中检测 高一数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考武时间120分钟。 2.答題前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写济楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答章标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范国：人放A版必修第二册第六章~第七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数6+2在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(1,-4),b=(8,m),且a⊥b,则m= A.2 B方 c.- D.-2 3.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=2√6，则B= A.30 B.45 C.60 D.90 4.“m=3”是“复数(m2一2m一3)十(m十1)i(m∈R)为纯虚数”的 八充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知单位向量a,b满足1a一3b|=2√2，则12a一3b1= A.42 B.4 C.23 D.3 6.若复数x满足引z=2,则|z一4的最大值为 A.2 B.4 C.6 D.8 【高一期中检测·数学试题第1页（共4页）】 26-T-653A 7.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2Aδ=AB+AC,OA1=|AB,则向量BA在向量BC上的 投影向量为 A武 C.-BC D.-3BC 4 8.安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有 “万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度AB时，选取了 与塔底B在同一水平面内的两个测量点C,D,且在C,D两点测得塔顶A 的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得cos∠BCD=一 ,CD=54m,则 1 该塔高为 (参考数据：tan63°≈2) A.88m B.72m C.60m D.54m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知A(一1，一2)，B(5,4),点P是线段AB的一个三等分点，则点P的坐标可以为 A(合-2) B.(1,0) C.(3,2) D.(3) 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B若b=6,c=5,C-牙，则满足这组条件的三角形有两个 C.若sin'A>sinB十sinC,则△ABC是钝角三角形 D.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 11.已知复数1，：在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点，则 A.若1十>0，则x1>一2 B.1oZ11oZ1=|l·l2 c+=则o配.a成-0- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,一2)写出一个与a共线的单位向量的坐标 13.已知3一2i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，其中i为虚数单位，则 2m十n= 14.已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小 值是 【高一期中检测·数学试题第2页（共4页）】 26-T-653A CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫App 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数：=+(1+识 (1)求2： (2)若a+z=3+(b-2)i(a,b∈R),求|a+bil. 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,且a=7,b=5,锐角C满足sinC=4 7 (1)求c的值： (2)若D是线段AB的中点，求CD的值. 17.(本小题满分15分) 如图所示，在△ABC中，点D满足D心=号B心，点G满足AG=号C,线段CG与线段AD交 于点O. (1)用AB和AC表示AD: (2求8的值， 【高一期中检测·数学试题第3页（共4页）】 26-T-653A 18.(本小题满分17分) 在面积为S的锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(6十2一a2)sinA=2S. (1)求A; (2)若b=2,O为△ABC外接圆的圆心，记△AOC和△BOC的面积分别为S1,S:,求S,一S: 的最大值. 19.(本小题满分17分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为X≠乏)，定义一种新运算“⑧”：m⑧n=ImlIn川tand. (1)已知向量1al=2,1bl=3,a·b=2,求a⑧b: (2)设向量a=),b=(x为)，且a·b0,证明：⑧=1西业一n+)+过 x十为 (3)已知向量c=(cos B.sin),d=(cosY,siny),c·d≠0，若c⑧d=2,求cos(28-2y） 的值 【高一期中检测·数学试题第4页（共4页）】 26-T-653A CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 榆林市第十四中学期中检测·高一数学试题 参考答案、提示及评分细则 1.D复数6十2=6一2i在复平面内对应的点为(6，一2)，位于第四象限.故选D. 2.A因为a⊥b,所以a·b=0,即8一4m=0.解得m=2.故选A 3B因为所以血B-C意A_4×号 BC 22,又因为AC<BC,所以B<A,所以B=45,成 26 选B. 4.C由题意知，当m=3时，m2一2一3=0，复数z=4i,是纯虚数，充分性成立；当复数(m2一2m一3)十 (m2-2m-3=0、 (m+1)i为纯虚数时，有 解得m=3,必要性成立，则“m=3”是“复数(n一2m一3)+ m+1≠0， (m+1)i(m∈R)为纯虚数”的充要条件.故选C. 5.D由a-3b1=2V2,得(a-3b)2=8,即a2-6a·b+91b1=8,1-6a·b+9=8,所以a·b=号，所以 |2a-3b|=√(2a-3b)2=√4a2一12a·b+9b2=√4-4+9=3.故选D. 6.C因为|z=2,所以复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，|z一4|表示圆上的点与(4,0) 的距离，则距离的最大值为4十2=6.故选C. 7.A因为2Aò=A+A花，所以O是BC的中点，则BC是圆0的直径，∠BAC=90°，又Oi1=|A1,所以 △OAB是等边三角形，∠B=60°，∠C=30°.设|AB|=a,则|BC=2a,作AH⊥BC于H,则∠BAH=30°， 所以BH=之|AB|=之a,B方即为向量Bi在向量BC上的投影向量，Bi=子BC故选A 8.B设AB=x,在R△ABC中，∠ACB=63,则BC=合x,在R△ABD中，∠ADB=45,则BD=x在 △PCD中，由余弦定理得x2=子2+542+2×受×54×十，整理得2-18x-72×54=0,解得x=72或 z=一54（舍去负值），所以该塔高为72m.故选B. 9.C因为点P是线段AB的-个三等分点，所以市=子A或A泸=号A点.当万泸=号A时，A泸=号店- 号(6,6)=(2.2)，所以0市=01+A市=(-1，-2)+(2,2)=(1,0，即点P的坐标为(1.0)：当范= 号A时，A市=号A市=号(6,6)=(4,4)，此时0市=0i+泸=(-1，-2)+(4,4)=(3,2)，即点P的坐 标为(3,2).故选BC 10.AC若A>B,则>b,由正弦定理得sinA>sinB,故A正确；因为sinC=6×气=3>c=5,满足这组 条件的三角形不存在，故B借误；若sin2A>sin2B+sin2C,由正弦定理得：2>b?+2,由余弦定理得cosA= +二<0，则角A为能角，则△ABC是钝角三角形，故C正确：若sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+ 2hc 【高一期中检测·数学试题参考答案第1页（共4页）】 26-T-653A CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2B=元，即A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，D错误.故选AC 11.BCD取1=1一i,2=2十i,则1十22=3>0，显然名1，一总2不能比较大小，A错误；在BCD中，设1=a十 i(a,b∈R),2=c+di(c,d∈R),则OZ=(a,b),OZ=(c,d),a=a-bi,所以|OZ|1O|=a2+F. √2+F=|1|·|2l=|1·||,B正确：由lz1+21=|-2l,得ac+bl=0,所以O么.OZ= ac+M=0.C正确：==，是-中-a+=示[(ac+)+(c- 1OZ21 c2+r-2'2=c+i 2+P ad)]i.又 -2Vac+M+-a-不V++e+a=+y+☑ c2+l2 =-卧所以-D正确 √2+ 12.(号，-号)（或(-号，号）)与a共线的单位向量为±日，坐标为（号-号）或(-号号)》 13.1因为3-2i是关于x的方程x2+mx十n=0(m,n∈R)的一个根，所以(3一2i)2十m(3一2i)+n=0,整 5+3m+n=0, 理得5+3m+n一(12+2m)i=0,所以 解得m=-6,71=13,所以2m+1=1. (12+2m=0, 14.- 以线段BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面 直角坐标系，则B(-之0，C(侵0)，A(0),设点P(x,y),则Pi (--y)庇=（合-，-y小.吨=(-合-x,-以所以啦+心=方 (-2,-2,则Pi.(pi+7心)=2r-2y9-y）=2r2+2y2-5y=2x2+2(-)-是当且仅 当x=0,y=时，所.（成+P心）取最小值-是。 15.解：1)z=得+1+i=2-i》0+D+2=号+分计2i=号+号 2 4分 所以=- …6分 (2)油a2计：=3+h-2)a,be0,得a(号-8i）+(3+号)=3+(0-2i, …8分 即多(a+1)+号1-a)i=3+(6-2i, 是a+1D=3, 所以 10分 是1-0=b-2 解得a=1,b=2, 12分 故|a十i=|1+2i|=√5. 13分 【高一期中检测·数学试题参考答案第2（共4页）】 26-T=6510 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.解：(1因为s血C=9,且C为锐角，所以osC=个-sC=√1-(4=7， …3分 由余弦定理得c2=a2+-2 b C=-72+52-2X7X5X=64,解得c=8. …7分 (2)因为D是线段AB的中点，所以Ci=C成+Ci),… 10分 所以Cò=[2C+ci)]=c亦+2c市.Ci+2)=(72+2x7×5×宁+子)=21， 即|C|=√21，即CD的值为2i. …15分 17.解：1)因为D心=号B心，则BD=子BC. 由B心-A心-范，得Aò=A+i=A+号(A心-A=号A花+号AC …5分 (2)因为G.0.C三点共线，设ci=m0花(m>0),则G0=m7C花 所以aò=花+ò-花+mC-心)=牛A+n肯A心， …8分 由A心=号C成，得G=号.所以-件7花+品D恋， 设Aò=1市，由1得A心=号A恋计合AC,所以0=号a恋+号A花， 11分 2 所以 解得=m=， m 3=m中' 所以片 15分 18.解：1)由S=合csin A及(+2-d)sinA=2S, 得(2+2-a2)sinA=bcsin A,… …2分 又A∈(0，x),所以sinA>0, 3分 所以2十2-☑2=bc, …4分 由余弦定理得sA=十士=会=司， …5分 因为A∈(0，，所以A=号 ………6分 (2)设△ABC外接圆的半径为R,则QA=0B=C=R,且2R=品B一品B·甲R= 2 sin B' …7分 因为∠AOC=2∠ABC,∠BC=2∠BA(C= 3 【高一期中检测·数学试题参考答案第3页（共4页）】 26-T-653A CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 所以S=合R,m∠A0c=合品B·m2B= tan B' …9分 S=R·∠o0=合·品Bm等=9.B点器B-9(1+B): sin2 B …11分 所以s-s=69(1+)=-·BB一 1 …12分 0<B<受， 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得否<B<交、 0<ξ-B<受， 所以tamB∈(9，+o) …14分 令B=xe0).则s-s=)=-2+x-=-（(x-2)+得 …16分 所以当x-2怎时，S,一S取得最大值 12 …17分 19.解：设向量a,b的夹角为a. a·b 2 1 (1)由题知cosa=a:16=2文3=方， 1分 2 则sina 22 ,tan a=3 =2√2， 1 2分 3 所以a⑧b=2X3X2√2=12√2. …3分 a·b x1x2十y2 (2)由题知cosa=a6=√+i)(π+)) …4分 所以sina=A 1- （2十业)3 (号+听)（十）= /+f)(+y)-(.+M) (行十)(.x+) N 5业=√清升并Va干通牛面 （-22)2 1一3y (x十y听)（十） …9分 所以ana=凸业-2y 10分 工12十y1y2 所以a⑧b=业一2V(子十)(r+) 11分 22十y12 (3)由题知|c=√cos2什simp=1,d=√cos2y十simy=1,…12分 所以c②d=cos Bsin -cos ysinl=lsin(y cos pcos y+sin Bsin y cos (y-B) …1儿分 义c②d=2,所以an2(y-f)=4,…l5分 所以m(2g2)=m3g-力g-=二为十答芳=异冷片=骨=-号 …17分 【高一期中俭测·数学试题多考答茶第↓贞（共↓加）】 26-T-653A C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP