精品解析：山东省菏泽市 郓城修文外国语学校2026年初中数学学业水平考试模拟试题三

郓城县二○二六初中数学学业水平考试模拟试题三 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 用一些小立方体搭成下面四个立体图形，从（　　）立体图形的左面能看到 ． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 青岛胶东国际机场于2021年8月12日正式通航．2026年春运期间（2月2日至3月13日），该机场旅客吞吐量达到3060000人次．将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 8. 在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是______． 13. 如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为________． 14. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 15. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若，则线段MN的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和． （1）证明：； （2）在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求和的值； （2）将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积． 19. 低空经济作为战略性新兴产业，正逐步成为经济增长新引擎．某市举办中小学生“低空经济知识竞赛”，组委会为了解甲、乙两所学校的准备情况，从甲、乙两所学校各随机抽取名学生进行测试，对测试成绩进行整理、描述和分析（满分分，成绩均为整数），成绩分成五组： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． 【信息一】两校成绩在D组的数据如下（单位：分）： 甲校：； 乙校：． 【信息二】甲校成绩的频数分布直方图如图，乙校成绩的扇形统计图如图． 【信息三】甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲校成绩的频数分布直方图和乙校成绩的扇形统计图中的信息； （2）小亮求得表中的值是，小莹求得的值是，请判断他们所求的结果是否正确，并说明理由； （3）综合以上信息，试对两所学校的学生关于低空经济知识的掌握情况做出分析． 20. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 21. 如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若抛物线过点，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．． ，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到． 操作发现： （1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由； （2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郓城县二○二六初中数学学业水平考试模拟试题三 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，根据定义求解即可． 【详解】解：∵，且算术平方根一定为非负数， ∴的算术平方根是． 2. 用一些小立方体搭成下面四个立体图形，从（　　）立体图形的左面能看到 ． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从左边看到的图形逐项分析判定即可． 【详解】解：A.该几何体，从左面能看到，故不符合题意； B. 该几何体，从左面能看到，符合题意； C. 该几何体，从左面能看到，故不符合题意； D. 该几何体，从左面能看到，故不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先结合两直线平行，同位角相等得，结合平分，故，因为则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：B 5. 青岛胶东国际机场于2021年8月12日正式通航．2026年春运期间（2月2日至3月13日），该机场旅客吞吐量达到3060000人次．将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：. 6. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种， ∴到达点E的概率为． 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 8. 在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，又根据旋转得，点落在轴的正半轴上，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵将点绕原点按顺时针方向旋转到， ∴，点落在轴的正半轴上， ∴． 9. 如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移、最短路径问题，利用轴对称转化线段，将四边形的周长转化为“两点之间线段最短”的模型求解． ①通过联立方程，利用判别式判断是否有解；②结合抛物线的开口方向和对称轴，分析点到对称轴的距离与函数值的关系；③掌握“左加右减、上加下减”的平移规律；④利用轴对称转化线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【详解】解：①已知抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为， 抛物线与直线有交点， ， ， ， ∴抛物线与直线有交点，故①判断正确； ②的对称轴为直线，， 抛物线上的点离对称轴越远，的值越小， ，，， ， ， 故②判断错误； ③由抛物线， 该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 平移后的解析式为， 故③判断正确； ④时，抛物线的解析式为， ，，， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度为， ∴此时，四边形周长为且长度最小：， 故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①③． 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 12. 某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率公式，即可解答． 【详解】解：抽到的同学总共有5种等可能情况， 抽到男同学总共有2种可能情况， 故抽到男同学的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟知概率公式是解题的关键． 13. 如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】根据题意可得，则，进而根据同弧所对的圆周角相等得出，求得，根据即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 15. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若，则线段MN的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形全等、等腰直角三角形及三角函数的应用，掌握通过证明三角形全等确定等腰直角三角形，利用中位线和三角函数求解线段长度是解题的关键． 先通过证明三角形全等得出且，确定为等腰直角三角形，再利用中点性质和三角函数求解的长度． 【详解】如解图，过点M作于点H． ∵四边形是矩形， ∴，， 为的中点，，， ，，． ∴，， 在和中： ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 为AF的中点，， 是的中位线，， ． ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 时，原式． 17. 如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和． （1）证明：； （2）在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长，交于，利用证明，得出，利用角的和差关系得出，即可得结论； （2）在右侧作，可得，根据平行线分线段成比例定理即可得出． 【小问1详解】 证明：如图，延长，交于， ∵在线段同侧作正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：如图，在右侧作，交于，点即为所求． ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求和的值； （2）将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数的解析式求出点，进而求出，再利用反比例函数的解析式求出点，最后求出的值； （2）作于点，由平移规律可得新函数，从而求得点，容易判断轴，则，，直接计算的面积即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 向下平移个单位长度所得新函数， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 低空经济作为战略性新兴产业，正逐步成为经济增长新引擎．某市举办中小学生“低空经济知识竞赛”，组委会为了解甲、乙两所学校的准备情况，从甲、乙两所学校各随机抽取名学生进行测试，对测试成绩进行整理、描述和分析（满分分，成绩均为整数），成绩分成五组： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． 【信息一】两校成绩在D组的数据如下（单位：分）： 甲校：； 乙校：． 【信息二】甲校成绩的频数分布直方图如图，乙校成绩的扇形统计图如图． 【信息三】甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲校成绩的频数分布直方图和乙校成绩的扇形统计图中的信息； （2）小亮求得表中的值是，小莹求得的值是，请判断他们所求的结果是否正确，并说明理由； （3）综合以上信息，试对两所学校的学生关于低空经济知识的掌握情况做出分析． 【答案】（1）见解析 （2）小亮所求结果错误；小莹所求结果错误；理由见解析 （3）甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大 【解析】 【分析】（1）分别求出甲校组的频数，乙校组的百分比，补全图形即可； （2）分别求出平均数及中位数进行判断即可； （3）比较甲乙校成绩的平均数、中位数及方差得出结论即可. 【小问1详解】 解：由题意得：甲校组：人； ∴甲校组：（人）； ∵由题意得：乙校组：； ∴乙校组：； 补全图中信息见下图： 【小问2详解】 解：∵甲组平均数：， ∴小亮所求结果错误； ∵组所占百分比为：， ∴乙校成绩从小到大排列第个数在组是：， ∴ ∴小莹所求结果错误； 【小问3详解】 解：从平均分的角度看： ∵，∴甲校优于乙校； 从中位数的角度看：，甲乙校相同； 从方差的角度看： ∴甲校成绩较稳定； 综上：甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大. 20. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 【答案】（1） （2）峡谷AC的宽度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）在中，根据求解即可； （2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； 【小问2详解】 解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 21. 如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证； （2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出． 【小问1详解】 连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ∵的平分线交于点B， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若抛物线过点，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可； （2）先计算，，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可； （3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值, 由该二次函数的最大值与最小值的差为3，列出方程求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， ，则二次函数为， ， 顶点坐标； 【小问2详解】 把代入得： 把代入得：． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； 【小问3详解】 ∵二次函数的对称轴为， 当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴点抛物线对称轴的左侧， 点抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即，的最大值是 ∴． 解得：（舍去）． 若，即，的最大值是， ∴． 综上，的值是． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．． ，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到． 操作发现： （1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由； （2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）四边形为平行四边形，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可； （2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． （3）证明是的中位线，，后利用正切函数，勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）理由如下：如解图， 是的中点，根据勾股定理，得， ， 由平移的性质，得， ， 为的中点， 又为直角三角形， ． （2）证明：四边形为平行四边形， 证明如下： 由旋转的性质，得， 在中， 是的中点， ， ． 由题图①得， ， 根据旋转的性质，可得， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：， ， ． ， ． ， ， ， 为的中点， 是的中位线， ， ， ， ． ， ． 由（1）知，， 则， ， ， ， 在中，由勾股定理得，． 【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握性质和三角函数，和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $