湖南天壹数学联考2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

机密★启用前 2026届高三全真模拟适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1设=一则：在复平面内对应的点位于 1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.某校随机抽取了200名学生进行成绩调研，再从这200名学生中随机抽取8名学生，得到他们的 数学成绩如下：106,110,83,122,75,103,120,81，记这组数据的平均数为G,则G= A.100 B.98 C.101 D.102 3.已知抛物线E:y-mr的焦点为F,雅线为1，过E上一点P(分司)作1的垂线，垂足为Q,则 直线FQ的一般式方程为 A.4x+4y-1=0 B.2x+4y-1=0 C.2x+2y-1=0 D.4x+4y+1=0 4.对于平面向量a,b,设甲：a2=2026a·b,乙：a=0,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 5.现用Python生成随机秘钥，该秘钥共三位，前两位要求从1,2,3,6,7,8中进行选择（可以重 复)，第三位要求从A,C,D,F中进行选择，则可生成的秘钥数量为 A.36 B.72 C.108 D.144 6.已知数列am=si n(2m十1)π，若am=a,则正整数m的最小值为 2 A.1 B.2 C.3 D.4 【高三数学试题第1页（共5页）】 7.已知函数f(x)=a(ax2-x)-lnx,a<0,若f(x)≥b,则的最小值为 A.-e- B.-2e- C.-e D.-2e 8.已知函数f(x)=sin(ωx十p)一m的部分图象如图所示，满足x1<x2<x3,x1十2x3=3x2,则m 的值为 R号 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若U={x|x<10,x∈N},A∩(CuB)={1,9},(CuA)∩(uB)={4,6,7},A∩B={3},则下列 命题为真命题的是 A.0∈A B.A的真子集个数为7 C.{9}二A D.6 C(AUB) 10.在直四棱柱ABCD一AB1C,D1中，四边形ABCD是菱形，B1C=AC1=3√7，BD1=3√15，则 A.四棱柱ABCD一A,B,C1D1的体积为162 B.四棱柱ABCD一A1B1C1D1的表面积为108√3 C点B到平面B,CD的距离为9 、D.直线B,C与AB所成角的余弦值为？ 11.下列函数f(x)中，对于任意使得f(x)有意义的k,始终存在常数a,b(b>a>0),使得f(x) 在区间[a,b]上的最大值与最小值之差为b一a的有 A.f(x)=kx B.f(x)=x(k≠0) C.f(x)=logkx D.f(x)=k" 【高三数学试题第2页（共5页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m= 13.已知△ABC的面积为12,3,3A=B十C+,则边BC的最小值为 14.现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立 变换.每一次变换有力的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数 字2倍的数.设n(n∈N*)轮变换后黑板上的数字为Xm.已知在X3≥8的前提下，第1轮变换 前后数字之差为1的概率为，则p= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知等比数列{am}满足a2=a1十2，a3=9. (1)求{am}的公比； (2)求{am}的前n项和. 16.(本小题满分5分)已知椭圆无十 方2—1C0b2)与双曲线E2:,一21的离心室之 多名 (1)求b; (2)记E2的左顶点为A,过点A的直线l(l的斜率不为0)与E1另交于点M,与E2另交于点 N,证明：AM|≠2AN|. 【高三数学试题第3页（共5页）】 17.(本小题满分15分)斜三棱柱ABC一A1B1C1中，AB=AC=BB1=22,BC=4, ∠CBB1=45°，平面BB,C1C⊥平面ABC. (1)证明：AB1⊥BC; C (2)若3BM=MC,求平面A1MB1与平面ABC的夹角的余弦值. A B 18.(本小题满分17分)某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权， 挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权.已 知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为0.5，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率 分别为0.4、0.6，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为0.4、0.6.经商定，高一篮球队 获得首次挑战权. (1)经过3次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为，求ξ的分布列及数学期望； (2)若经过（∈N)次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为 事件Am、Bn、Cn. (i)证明：P(Bn)=P(Cn); (1)证明：当n为偶数时，P(A,)>号 【高三数学试题第4页（共5页）】 19.(本小题满分17分)设函数f(x)=sinx ,0<x<π. (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：函数y=f(sinx)f(x)在定义域内单调递减； (3)设△ABC的外接圆直径为d,且内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若在数值上Bsina= A sinb当且仅当A=B,证明：0<d≤π. 【高三数学试题第5页（共5页）】2026届高三全真模拟适应性考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】B i(1+i) 【解析】因为=白)-一是+，所以复数：在复平面内对应的点为（一号，），位 -1+i11. 于第二象限，故选B. 2.【答案】A 【解析】由题意可得G= 106+110+83+122+75+103+120+81 8 =100,故选A. 3.【答案】A 【解折把点P坐标代人Ey=m7的方程可得Ey=,显然F(0,)1:y=一，故点Q(分一寻)于 是1：y=一x+年，转化为一般方程为4x十4y一1=0，故选A. 4.【答案】B 【解析】对于充分性，当a⊥(a一2026b)时甲成立，而乙不一定成立，矛盾，对于必要性，a=0时a2=2026a·b=0, 成立，故选B. 5.【答案】D 【解析】由分类加法计数原理知前两位可选取种数为6种，由分步乘法计数原理知秘钥数量为6×6×4=144 种，故选D. 6.【答案】B 【解析】此时a:=sin(ux十)=c0,而a:+?=cos(n元十2x)=a,a+1=cos(n元十)=一a,且a1=-1≠0，可 得正整数m的最小值为2，故选B. 7.【答案】D 【解标1/)=2a7-a--②at+1)a-D.而a<0.则x∈(0，-)时fr)<0,fx)单调递减， ∈(-2a+）时，f'u)>0f)单调递增：故f(x)≥f(-)-+号-1n()=+1n(-2a)≥ e,g≥-2e,故选D. 8.【答案】A 【解析】由21十2红=3x:得一x1=3(x一)，结合函数图象不妨设w>0,依题意有x,一11=T=2,则 有xa一x2= 2 3w 2=-)-,-,)--新-由8mo十g)=m,na,+9） 4π sn(+)十gsin(or十g+）=m,结合五点法作图，有 3π 十2k元， k∈Z,所以，十e=5 +2,∈1.结合题意则有加=n晋故途A 【高三数学试题参考答案第1页（共6页）】 9.【答案】BC 【解析】U={xx<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},由A∩(CuB)={1,9}, B (CuA)∩(CuB)={4,6,7},A∩B={3},作出Venn图，如图所示，由图可知， 9 02 A={1,3,9},B={0,2,3,5,8},故A错误，C正确；集合A的真子集个数为23-1 58 =7个，故B正确：因为Cu(AUB)={4,6,7},所以6∈Cu(AUB),D错误；故选 6 BC. 10.【答案】ABD 【解析】对于A,记棱柱的高为h,由勾股定理得h2+BC2=h2+AC2=63,h2+BD2=135,由BC=AC得 △ABC是等边三角形，可得BD=5AC,于是：+3AC=135,解得AC=6,M=35,故棱柱的体积V=2 ×ACXBDXh=-2×6X6,5X35=162,故A正确：对于B,表面积S=4 KABXh-十2X号×ACXBD- 4X6X3√5+6X6√5=108√3，故B正确；对于C,记点B到平面B1CD的距离为d,由VB1-D=VB-1cD得 M·S△Cw=d·Sam=3万X2X65×3=81,由余弦定理得c0s∠B,CD= BC2+CD2-BD2 2XB CXCD 63+36-135。√7 2X3√7×6 由∠B.CD∈0，x得in∠BCD=osZB.CD-厘，枚Sa-3×B,C ×CDXsin∠B,CD=96,d=3故C错：误对于D,由AB/CD知所求角为∠B,CD的补角.可 9√6 知余弦值为号，放D正确，故选AD 11.【答案】BC 【解析】题目要求函数在区间[a,b]且b>a>0上的最值之差等于b一a.对于选项A,函数f(x)=k.x的最 值之差为b一ka=k|(b一a),若要其等于b一a,则必须满足|k|=1,这与任意有意义的k均成立的要求 矛盾，故A错误；对于选项B,函数f(x)=x,令b=at且t>1,当k>0且k≠1时，由b一a=b一a推导 可得a-1= 号因为>1，号>0，因此必定存在正实数a,同理，当k<0时，由。一公=6-a指导可 t- 得a1=,1>0,必定存在正实数a,当=1时显然存在，故B正确：对于选项C,函数fc) Γ1-t1一t @gx,令b=aL,当k>1时，由1og:b-oga=h-a,a一o根据对数函数图象性质易知o>0,可知必 定存在正实数a,当0<人<1时由10ga-10gb=b一a推导可得u三，，同理可知必定存在正实数a: C正确：对于选项D,若k=e,假设存在满足条件的正实数a与b,令t=b一a,因为b>a,故有t>0,由指数 函数的单调性可知必有心心=4，则心=。乙由于a>0,必有e>1,进而琴求>。一1，显然不存在，故 D错误；故选BC 12.【答案】16 【解析】由题意可知，等差中项为 十13=8，则由等比中项的性质得82=4m,解得m=16,故答案为16. 2 【高三数学试题参考答案第2页（共6页）】 13.【答案】4√5 【解析】由A十B十C=元得3A-弩-A,A=号，由面积得12S=2×ABX ACXsinA,可得ABXAC- 48,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×c0sA=AB2+AC2-AB×AC≥AB×AC=48,当且 仅当AB=AC=4√时，等号成立，于是BC的最小值为4√3，故答案为4√3. 14【答案】号 【解析】因为初始数字为2，故易知“第1轮变换前后数字之差为1”等价于“第1轮执行加1变换”.设该事件 为N,设“3轮变换后X3≥8”为事件M,列举所有3轮变换的路径，满足事件M的路径及其概率分别为： 加1、加1、乘2概率为p2(1一p),加1、乘2、乘2概率为p(1一p)2,乘2、加1、乘2概率为p(1一p)2,乘2、 乘2、加1概率为p(1一p)2,乘2、乘2、乘2概率为(1一p)3,求和得P(M)=(1一p)(-p2十p+1),事件 N∩M包含前两条路径，其概率P(N∩M)=p2(1-p)+p(1一p)2=p(1一p),易知P(M)>0,故由条件 员幸公式可得PNM)=0-。2十日芝理得6p+5》6=0,底得》号或= 6 3 P(M) 2 结合0C<1可得号故答案为号 15.【解析】(1)记{an}的公比为g,qa1=a1十2，(g-1)a1=2,…2分 0192=9，…3分 两式作化，得，分7号，2g2-9g十9-0， 4分 解得9三2或93.……………6 (②)i记S.为a.3的前n项和，当g=时，由(g-1Da1=2得a1=4, 8分 此时S。=a1一g 2=4 1() 1-q =8×() 10分 当q=3时，2a1=2,a1=1, 11分 S.-01-92）_1-33-1 1-9 1-32 13分 16.【解析】1)E,的离心率，=√4 2 -,E2的离心率e2= √4+b2 2 2分 由题意可得e1e2 ,解得6=. 16-bW7 16 4分 (y=k(x+2) (2)显然l的斜率存在，设l:y=k(x+2),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立 得(4k2+3)x2+ 3.x2+4y2=12 16k2x十16k2-12=0,…7分 可得x 46于3联立=(x+2) 6-8k2 得(4k2一3)x2+16k2x+16k2十12=0，…9分 (3.x2-4y2=12 12 -12 可得x2= 26,假设AM=21AN可得z1+2=2x2+2,21十242+3'X?T24k2-3 ……………………11分 【高三数学试题参考答案第3页（共6页）】 故、12 24 4k2+3 4k2-3 ,显然k≠0，得862+6=462-3.k2<时，8k+6=3-4h,矛盾，…14分 8k2十6=4k23,矛盾：综上，AM≠2AN四 17.【解析】(1)如图，取BC中点D,连接DA,DB1,因为AB=AC=BB1=22, C B 所以AD⊥BC,…1分 因为平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC,又因为 ADC平面ABC,所以AD⊥平面BB1C1C,…2分 因为∠CBB1=45°，所以在△BDB1中，B1D2=BD2+BB-2·BD·BB1cos45°，解得B1D=2,·4分 所以B1D2十BD2=BB,所以△BDB1为直角三角形，所以B1D⊥BC,因为B1D∩AD=D, B1DC平面ADB1,ADC平面ADB1,所以BC⊥平面ADB1,因为AB1C平面ADB1,所以AB1⊥BC.… ………6分 (2)由(1)可得AD⊥平面BB,C1C,且B1D⊥BC,AD⊥BC, 因为B,DC平面BB1CC,所以AD⊥BD,所以以D为原点，DA为x轴， DB为y轴，DB1为之轴，建立空间直角坐标系，如图，…7分 所以AD=√AC2-CD7=2,所以A(2,0,0),B(0,2,0)C(0,-2,0),因 为3BM=MC,所以DM=1,所以M(0,1,0),…9分 因为B1D=2,所以B1(0,0,2),因为AA1=CC1=2√2，所以，C1(0,-4,2),因为AC=A1C,所以解得 A1（2,2,2）,………………………10分 设平面A1MB1的法向量为m=(x1,y1,之1)，所以A1B=(-2,2,0),B1M=(0,1,-2),所以 1A1B1·m=0 -2x1+2y1=0 ,即 ,令之1=1，则21=2，y1=2,所以m=(2,2,1),…12分 B1.m= y1-2z1=0 设平面ABC的法向量为n=(x2,y2,之2)，则n=(0,0,1), 13分 设平面A1MB,与平面ABC的夹角，所以平面A,MB与平面ABC的夹角的余弦值为cos0=m·n m·n 1 1 1×√/22+22+123· 15分 18.【解析】(1)随机变量ξ的可能取值为1和2，=1时，第一次高一篮球队挑战高二篮球队，第二次高二篮球队 挑战高三篮球队，第三次高三篮球队挑战高二篮球队，或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队，第二次高三 篮球队挑战高二篮球队，第三次高二篮球队挑战高三篮球队，…2分 则P(ξ=1)=0.5×0.6X0.6十0.5X0.6X0.6=0.36,………3分 P(ξ=2)=1-0.36=0.64. 4分 则：的分布列为 5 1 2 5分 P 0.36 0.64 则E的数学期望为E(E)=1×0.36+2×0.64=1.64. 6分 (2)(1)若第n次挑战权属于高二篮球队，若第n一1次挑战权属于高一篮球队，则第n一1次高一篮球队挑 【高三数学试题参考答案第4页（共6页）】 战高二篮球队，其概率为0.5P(A。-1),若第n一1次挑战权属于高三篮球队，则第n一1次高三篮球队挑战高 二篮球队，其概率为0.6P(Cn-1),… ……7分 所以P(Bn)=0.5P(Am-1)十0.6P(Cm-1)①， 8分 同理可得P(Cn)=0.5P(An-1)十0.6P(Bn-1)②，…9分 ②-①得P(Bn)-P(Cm)=-0.6(P(Bm-1)-P(Cm-1),…10分 又P(B)=P(C)=,因此P(B.)-P(C)=0,因此P(B,)=P(C.)；1分 (ⅱ)若第n次挑战权属于高一篮球队，若第n一1次挑战权属于高二篮球队，则第n一1次高二篮球队挑战 高一篮球队，其概率为0.4P(Bn-1),若第n一1次挑战权属于高三篮球队，则第n一1次高三篮球队挑战高一 篮球队，其概率为0.4P(Cn-1),… …12分 所以P(A.)=0.4P(B,-1)+0.4P(Cm-1)③，①十②，得P(Bn)十P(Cn)=P(A.-1)+0.6(P(B。-1)+ P(Cn-1),… …13分 由③知P(Bm-1)+P(Cm-1)=2.5P(An),又因为1-P(An)=P(Bn)+P(Cm)=P(An1)+1.5P(An),从 而有PA)=-PA-1.所以PA)号-PA)-)】 …15分 第一次挑战权为高一篮球队，经过一次挑战后，挑战权不是高一篮球队，则P(A)=O,故P(A)一气 子，则有{P(A)}是以一二为首项，一号为公比的等比数列， 16分 因此PA)=号()PA)号·()当为偶数时，号·(》 >0 因此P(A)> …17分 19.【解6析】1）f(r)=tcos-sinZ.设h(r)=rcos7-sSin,'(r)=cos2-xsin-cosx=一xsin 当x∈(0，r)时，x>0且six>0,h'(x)<0,h(x)在区间(0，r)上单调递减，又因为h(0)=0,故h(x)<h(0)=0.即 x cOSz一six<0恒成立，则f'(x)<0在定义域(0，元)内恒成立，故f(x)的单调减区间为(0，元)，无单调递 增区间.………4分 (2)y=f(sin)·fx)=sin（sin）,xE(0,,且y'=coos(sinr）-sin(sin）.要证明其单调递减， 只需证明y'<0.由于x>0,只需证明分于小于0，设N(x)=0(sinx)-sim(siu).当x∈[受x) 时，cosx<0,由于0<sinx≤1<乏，所以cos(sinx)>0且sin(sinx)>0,此时cosF0s(sinx)≤0， -sin(sinx)<0,所以N(x)<0成立. 当∈(0.时，此时cos>0,要证明coc0s(sin)<sin(sinx),只需证明（)>xcos,即正明 tan(sinx)>xC0sx.……7分 下面证明∈(0，受)时：tax>,设函数m()=au-x,x∈(0，受.n'(x)= cos22 -1=tan2x,当 x∈(0，受)时，m')>0,m(x)在[0，受)上单调递增.又因为m(0)=0,所以x(0,受)时mx)>m(0, 【高三数学试题参考答案第5页（共6页）】 即anr-x>0,从而tanx>x得证.因为x∈(0，受)，所以sinx∈(0,1)C(0,),故tan(sinx)>sin,只需 证明sinr>1cos,等价于证明snC>,即tanx>,此结论已证，故tan(sinr)>sin>cOS,即 cOSz os(sin)>xcos,又因为cos(sinx)>0,枚sin(sinx)>cocos(sinr),即N(ar)<0. sin(sina) 综上，函数y=f(six)f(x)在定义域内单调递减.…10分 (3)由正弦定理可知，在△ABC中，a=dsinA,b=d sinB,代人得Bsin(dsinA)=Asin(dsinB),即 sin(dsinA)_sin(dsinB).i设gr)=sin(dsin）,其中x∈(0，x),则Bsina=-Asinb当且仅当A=B,等价 A B x 于方程g(A)=g(B)在△ABC满足A,B∈(0，π)且A十B<π时只有唯一解A=B.…11分 当0<d≤元时，g(r)=d.ndsn.n.当x∈(0，]时，sx∈(0,1单渭递增，故a= dsinz dsi∈0，x]单调递增，由(1)可知，si血（dsn与n严均为关于z的正值减函数，则g()在(0，]上单调 dsina 递减，下面证明：若g(A)=g(B),则必有A=B.不妨设A<B.当B∈(0,2]时，由于A,B∈(0，]且 gx)在该区间单调递减，故由gA)=g(B),必有A=B:当B∈（受，x)时，由于A,B是△ABC的内角，故 A十B<元，即0<A<元-B<2.由g(x)在(0,5]单调递减，可得g(A)>g(元-B),又g(元-B)= ndsn石B》_innB,因为B>受，所以0Kx-B<B,且d≤.in∈0.1)，有dsinB∈0， 元一B π一B 故sin(dsinB)>0.所以sin(si)sin(dsinB),即g(r-B)>g(B),联立得g(A)>g(x-B)>g(B, 元一B B 这与g(A)=g(B)矛盾，故当0d≤π时，当且仅当A=B时，Bsina=A sinb成立.…14分 当d>元时假设原命题成立，下证矛盾.因d>元，存在z,∈(0，受)使得dsi,=元，此时g(x,)=0.取 B∈（受，x)使得dsinBC(x,2x),则g月）<0.令a=元-B,则a∈(0,2)且sia=sin9.因dsina=-dsin9>x =d sinzo,且a,x。均为锐角，故xo<a.只需比较g(a),g(3).由于sin(d sina)=sin(dsin3)<0且0<a<3, 枚sin(sin）<sin（dsin9》,即g(a)<g(g)<0,此时有g(a)<g(g)<g(x).设F(x)=g(e)-gg), F(x)=g(xn)-g(B)=一g(B)>0,F(a)=g(a)一g(3)<0,则根据零点存在性定理，存在A∈(xo,a)使 得F(A)=0,即g(A)=g(3).令B=B,则g(A)=g(B).由于A<a且B=x-a,故A十B<a十（π-a)= :且A<2<B,故A≠B.这与“当且仅当A=B”矛盾，故d>x不成立，综上所述，d的取值范围是(0，]. …17分 【高三数学试题参考答案第6页（共6页）】