精品解析：2025年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第十二中学中考二模数学试题

吉林省延吉市第12中学2024-2025学年度 九年级下学期《数学》二模试卷（名校调研） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的比较大小，求一个数的绝对值；根据正数大于零，负数小于零解答即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是， 故选：C． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将4500000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：4500000000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：主视图是从正面看物体，得到的平面图形分上下两层，而上层第二列缺一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键． 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的实数根，，一元二次方程没有实数根，，一元二次方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得出，然后证明出是的中位线，即可得到． 【详解】∵矩形的对角线、交于点， ∴ ∴ ∵点、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴． 故选：C． 6. 如图，点A，B，C在上，的切线交的延长线于D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，切线的性质及直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：为切线， ， ， ， ． ， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根和零指数幂，然后计算减法即可． 【详解】 ． 故答案为：8． 8. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 9. 把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则，理由是_______________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】由两个三角尺的形状、大小相同可得，由内错角相等，两直线平行可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行，是解题的关键． 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的定义是解题的关键．由题意得到是的垂直平分线，根据求出，即可得到，求出，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：是的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则图中阴影部分的面积为___（结果保留根号和）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟知边形的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 连接，将阴影部分的面积转化为四边形与中间空白部分两边形面积的差即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵四边形菱形， ， 又 ∵， ∴是等边三角形，． ∵点是的中点， ， ∴， ， ， 同理可得，， ， ∴， ∴，， ∵， ∴中间空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式以及代数求值， 首先根据平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式化简，然后合并同类项，然后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵当时， ∴原式． 13. 九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同学担任主持人． （1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是________； （2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4名同学，甲同学被选中的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有种等可能结果，其中甲同学被选中的结果有6种， ∴甲同学被选中的概率为． 14. 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒挂件的个数恰好与用360元购进敖丙挂件的个数相同．求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元． 【答案】该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程，解方程即可 【详解】解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进数丙挂件的单价是元， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，画出一个，使是轴对称图形，且点在格点上； （2）在图②中，在线段上找一点，使； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）找到格点E，F，连接，交于D，点，即为所求； （3）取格点C、F、G、连接、、交于点O，得为等腰直角三角形，再证四边形是平行四边形，得，根据平行线的性质即可获得答案． 【小问1详解】 如图，以为腰的即为所求； ， 【小问2详解】 如图②，，， ∴ ∵，， ∴ 点即为所求． 【小问3详解】 如图：线段即为所求； 取格点C、F、G、连接、、， 由图知：，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ， ∵，，， 四边形是平行四边形， ∴， ， 即与的夹角为. 16. 如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，点的坐标为； （2）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，求反比例函数解析式等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将代入，即可求出k的值，即得出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）设，则根据，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设，的面积等于3， ∴， 解得：或，经检验符合题意； ∴或． 17. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送带长为5米．求新传送带的长度（结果保留一位小数，参考数据：，，，）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先在中求出的长，进而在中求出的长． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，， （米） 在中，，，，， （米）． 答：新传送带的长约为米． 18. 某校王老师为了解七年级学生英语口语水平，从七年级随机抽取了名学生进行口语测试，测试成绩满分为分，对这名学生的成绩进行统计、整理和分析，并绘制成如下统计图表． 学生成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）表 平均数 众数 中位数 已知成绩在这一范围内的是：，，，． （1）填空：_____，_____； （2）王老师对数据分析后，最终对测试成绩前十名的学生进行了奖励，其中一位学生找到王老师说：“我的成绩是分，比平均数分高，为什么我没有拿到奖励？”假如你是王老师，请你给该学生作出合理的解释； （3）若该校七年级共有名学生，估计成绩为优秀（成绩不低于分为优秀）的学生有多少人？ 【答案】（1）；； （2）见解析； （3）人． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、中位数、平均数、用样本估计总体，解决本题的关键是根据条形统计图中的已知数据求出未知数据． （1）根据条形统计图中各组的数据和总人数求出值即可；把一组数据按照由大到小或由小到大的顺序排列，中间的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，解决本题的关键是根据中位数的定义求出这组数据的中位数即可； （2）平均数容易受极端数值的影，名学生的中位数是，这名学生的成绩没有超过中位数，所以不应受奖； （3）被抽查的名学生中优秀的人数占抽查总人数的，利用样本估计总体估计估计该校七年级共有名学生，成绩优秀的人数即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知：， 由中位数的定义可知：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：平均分容易受极端数值的影响，成绩差的学生拉低了平均分，测试成绩的中位数是分，分比中位数低，所以不应拿到奖励； 【小问3详解】 解：由条形统计图可知：成绩达到优秀的人数是人， 优秀的人数占抽查总人数的， 估计该校七年级共有名学生，成绩优秀的人数为人． 19. 已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． （1）甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____； （2）求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值． 【答案】（1）4；9； （2）； （3）、、． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象表示的甲5小时匀速行驶20千米，得到其速度为4；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为9； （2）乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据甲乙相距，，当时，求出，推出t不存在；当时， ，推出或；当时，，推出． 【小问1详解】 解：甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； 【小问2详解】 解：乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为， 由（1）可得：函数过，， ∴， 解得：， ∴乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：由（1）知，， 当时，设， 把，代入， 得，，解得，， ∴， ∴，，不合题意，t不存在； 当时，由（2）知，， 若，则， 若，则； 当时，， ∴，． 故甲乙相距时甲行驶的时间为： 、、． 20. 如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. （1）【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______. （2）【问题探究】 如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延申】 如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 【答案】（1）相等，垂直 （2）垂直且相等，证明见解析 （3）14 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据旋转的性质得到，证明即可求解； （2）根据正方形性质得到，根据旋转的性质得到，证明即可求解； （3）过作交延长线于，连接，取中点，连接，根据中位线的判定和性质得到，由等角对等边判定等腰三角形得，由勾股定理得到，结合（1）的方法可证，求出，，在中，由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于 ，交于， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 理由：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于，与相交于， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作交延长线于，连接，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． （1）填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点、、、的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分图形的面积为． ①当点与点重合时，求值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、二次函数与几何的综合．解决要本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解． 过点作，因为，，根据点的坐标是，可得，根据等腰直角三角形的性质可得：，从而可得点的坐标是；根据正方形的顶点的坐标可得，可得点的坐标是； 当点与点重合时，正方形向右平移了个单位长度，从而可知； 正方形向右平移时：当时，重叠部分是等腰直角三角形；当时，重叠部分是五边形；当时，重叠部分是等腰直角三角形；当时，正方形与等腰直角三角形没有重叠部分．分情况根据三角形的面积公式求出与的函数关系式即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是； 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当点与点重合时，如下图所示， 此时， ； 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图①所示， 由题意，得， ； 当时， 正方形与重叠部分为五边形， 如图②所示， 由图可知：， 由可知， ， ； 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图③所示， 由题意，得， ， ， 整理得：． 综上所述， 22. 已知抛物线，经过，点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． （1）求抛物线解析式； （2）连接，当与轴平行时，求点坐标； （3）抛物线上点之间的部分（包括点）为图象． 当时，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围． 以原点为中心，边长为构造正方形，正方形的边与坐标轴垂直或平行，当点在正方形的内部且图象在正方形的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于时，直接写出的值． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）； （3）与之间的函数关系式；的值为或或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由由（）得：抛物线解析式为求出，，然后根据与轴平行得出一元二次方程∴，然后解方程即可； （）先根据题意求出的取值范围，根据的范围，结合的位置，分情况讨论即可得出结论； 根据中的取值范围，进行分类讨论，结合图形列出方程，解之即可； 本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，分类讨论思想等相关知识，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 ∵抛物线，经过， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 由（）得：抛物线解析式为， ∵点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴当时，；当时，； ∴，， ∵与轴平行， ∴，解得：（舍去），， ∴； 【小问3详解】 由（）得：抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 又由（）得：，， ∵当时，即， ∴或， 当时，即时，图象的最高点为，最低点为， ∴； 当时，即时，图象的最高点为，最低点为抛物线解析式顶点， ∴； 当时，即时，图象的最高点为，最低点为， ∴； ∴与之间的函数关系式； 如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时，解得：或， ∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标， ∴，解得：或， 如图，点，点在正方形的内部，当时，即时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标， ∴，解得：（舍去）或； 如图，点，点在正方形的内部，当时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标， ∴，无实数根； 如图，点，点在正方形的内部，即时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为抛物线解析式顶点， ∴，解得：（舍去）或（舍去）； 如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时， ∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标， ∴，解得：， 综上可知：的值为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林省延吉市第12中学2024-2025学年度 九年级下学期《数学》二模试卷（名校调研） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的数是（　　） A. B. C. D. 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将4500000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，的切线交的延长线于D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：___． 8. 不等式组的解集是_______． 9. 把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则，理由是_______________． 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是_____________． 11. 如图，在菱形中，，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则图中阴影部分的面积为___（结果保留根号和）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12 先化简，再求值：，其中． 13. 九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同学担任主持人． （1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是________； （2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中的概率． 14. 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒挂件的个数恰好与用360元购进敖丙挂件的个数相同．求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，画出一个，使轴对称图形，且点在格点上； （2）在图②中，在线段上找一点，使； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 16. 如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送带长为5米．求新传送带的长度（结果保留一位小数，参考数据：，，，）． 18. 某校王老师为了解七年级学生英语口语水平，从七年级随机抽取了名学生进行口语测试，测试成绩满分为分，对这名学生的成绩进行统计、整理和分析，并绘制成如下统计图表． 学生成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）表 平均数 众数 中位数 已知成绩在这一范围内的是：，，，． （1）填空：_____，_____； （2）王老师对数据分析后，最终对测试成绩前十名的学生进行了奖励，其中一位学生找到王老师说：“我的成绩是分，比平均数分高，为什么我没有拿到奖励？”假如你是王老师，请你给该学生作出合理的解释； （3）若该校七年级共有名学生，估计成绩为优秀（成绩不低于分为优秀）的学生有多少人？ 19. 已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． （1）甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____； （2）求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值． 20. 如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. （1）问题发现】 如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______. （2）【问题探究】 如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延申】 如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． （1）填空：点坐标为_____，点的坐标为_____； （2）将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点、、、的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分图形的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 22. 已知抛物线，经过，点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． （1）求抛物线解析式； （2）连接，当与轴平行时，求点坐标； （3）抛物线上点之间的部分（包括点）为图象． 当时，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围． 以原点为中心，边长为构造正方形，正方形的边与坐标轴垂直或平行，当点在正方形的内部且图象在正方形的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$