专题七：立体几何初步（二）点线面位置关系（8考点20考法）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何点线面关系，以“判定-性质-计算-综合”为主线，覆盖8大考点20种考法，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系|2考法|判定辨析|从基础位置关系到平行垂直转化| |平行与垂直|5考法|证明与性质应用|判定定理与性质定理双向推理| |角与距离|4考法|空间角、距离计算|几何法与向量法结合| |翻折/截面/轨迹|9考法|动态几何量求解|平面到立体的转化与空间想象|

专题七：立体几何初步（二）一点线面位置关系 考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系… 1 考法1：异面直线的判定.… 考法2：空间位置关系辨析. …1 考点2：线面平行与面面平行的判定与性质 …2 考法3：线面平行的证明 2 考法4：线面平行的性质应用… …2 考法5：面面平行的性质应用… .3 考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质 3 考法6：线面垂直的证明 3 考法7：面面垂直的证明 4 考法8：线面垂直的性质应用 4 考法9：面面垂直的性质应用.… …5 考法10：平行与垂直的综合证明 …6 考点4：空间中的角… 6 考法11：求异面直线所成角 6 考法12：求二面角 …7 考点5：空间中的距离…。 P 考法13：求点到平面的距离.…。 8 考法14：求两平行平面间的距离.… 考点6：立体几何中的翻折问题… 考法15：翻折前后的几何量求解… .9 考法16：翻折中的垂直关系.. .9 考法17：翻折中的最值问题… 10 考点7：立体几何中的截面问题。 …11 考法18：截面面积的计算 …11 考点8：空间中的动点轨迹问题… …13 考法19：动点轨迹形状判定…。 .13 考法20：动点轨迹相关最值.… 13 第1页，共14页 注意事项 1.本试卷涵盖立体几何中点线面位置关系的判定与性质、空间角与距离的计算、翻折与截 面问题及动点轨迹等核心考点 2.练习时请注重空间想象能力的培养，熟练掌握线面平行与垂直的转化，以及空间向量在 立体几何中的应用 3.解答题请写出详细的证明或计算过程，注意逻辑的严密性与书写的规范性， 考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系 考法1：异面直线的判定 1.(多选)在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，点E,F,G分别为棱BC,AA,BB,的中 点，则下列说法正确的是() A.直线EF,DB是异面直线 B直线4G与CE所成角的余弦值为 C三梭锥C-4BD的内切球的体积为81V5, 16 D.平面GDC,截正方体所得截面的面积为18 考法2：空间位置关系辨析 2.(单选)设m,n为两条不同直线，a,B为两个不同平面，则下列命题正确的是 () A.若m⊥a,m⊥n,则n/1a B.若a⊥B,a∩B=n,m⊥n,则m⊥B C.若m/1n,nca,则m/1a D.若m/1a,m//B,aB=n,则m/1n 第2页，共14页 考点2：线面平行与面面平行的判定与性质 考法3：线面平行的证明 3.(解答)如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，AB/ICD,DC⊥AD,且 CD=AB=AD=2V2,点M为棱DD,的中点，点N为棱BC的中点 D C 证明：DN//平面MB,C; 考法4：线面平行的性质应用 4.（解答)（己知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2, ACOBD=O,PO⊥底面ABCD,OP=2,点E在棱PD上.) E A D B 若BP1/平面ACE,求'AcDE 第3页，共14页 考法5：面面平行的性质应用 5.(解答)如图，在三棱台AB,C-ABC中，AA=AB,=BB=AB=2a. 备用图 过B,C,且平行于AA,的平面分别交AB,AC于M,N,求证：B,M/CN. 考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质 考法6：线面垂直的证明 6.(解答)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/IBC,AB⊥BC, AB=BC=1,AD=2,PA⊥平面ABCD,PA=2. 求证：CD⊥平面PAC; 第4页，共14页 考法7：面面垂直的证明 7.(解答)如图，AA,BB,是圆柱OO,的两条母线，AB,CD是圆O的直径， AA=AB=4,且CD⊥AB,P是母线BB,上的动点. A C D 求证：平面PCD⊥平面AA,B,B; 考法8：线面垂直的性质应用 8.(解答)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形， AB⊥AD,且PA=AC=2,E为棱PC的中点，F在棱PD上，且AF⊥PD. D fi M 求证：AF⊥PC; 第5页，共14页 考法9：面面垂直的性质应用 9.(解答)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，平面AA,B,B⊥平面ABC,平面AACC⊥平 面ABC,AB⊥BC,AB=AA=BC=1,P是线段BC上一动点，BP=元BC,1∈(O,1)· A C B 证明：三棱柱ABC-AB,C是直三棱柱； 考法10：平行与垂直的综合证明 10.(多选)已知下面给出的四个图都是正方体，A,B为顶点，E,F分别是所在棱的 中点，则满足直线AB⊥EF的图形有() B F B 第6页，共14页 B D. 考点4：空间中的角 考法11：求异面直线所成角 11.(解答)（已知AA,BB,是圆柱OO,的两条母线，AB,CD是圆O的直径， AA,=AB=4,且CD⊥AB,P是母线BB,上的动点.) B C -B D 若P是线段BB,的中点，求直线OO,与DP所成角的余弦值； 考法12：求二面角 12.(解答)（已知如图，在三棱台ABC-AB,C,中，平面AACC⊥平面B,BCC, AC=BC,AC⊥BC,且AC=2AA=2AC=2CC=2.) 第7页，共14页 A B A... 线段BB上是否存在点E,使得二面角E-AC-B的平面角正切值为5？若存在， 4 求出线段BE的长，若不存在，请说明理由. 13.(解答)（已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC.) A依 A E B B 若PA=AC,PB与平面ABC所成角的正切值为V√2，求二面角A-PC-B的正切值. 考点5：空间中的距离 考法13：求点到平面的距离 14.(解答)（己知如图所示，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面 直径，PC是圆柱的母线，直线AC与平面PBC所成的角为60°，PC=AC=2.) 第8页，共14页 当CD L PB时，求点D到平面PAB的距离； 15.(解答)（已知如图，已知长方形ABCD是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点 M在底面圆周上（异于C,D两点），AB=V5,BC=3,CM=1,点P是BM上靠近点 B的三等分点.) B 求点A到直线DP的距离. 第9页，共14页 考法14：求两平行平面间的距离 16.(填空)已知三棱锥P-ABC的各个顶点都在表面积为12π的球O的球面上，且球心O 为AP的中点，AC=V2BC=2,AC⊥BC,若E,F分别为直线BC,PA上的动点，则线段 EF长度的最小值为 考点6：立体几何中的翻折问题 考法15：翻折前后的几何量求解 17.(填空)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M为BC的中点，将△ABM 沿直线AM翻折成△A,B,M,连接BC和B,D,N为B,D的中点，连接CN.则在翻折过程 中，AB,与CN的夹角为 B N A B 考法16：翻折中的垂直关系 18.(解答)（已知如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动 点将△ADE沿DE翻折到△SDE,△BEF沿EF翻折到△SEF,) B 求证：平面SEF⊥平面SFD; 第10页，共14页 考法17：翻折中的最值问题 19.(解答)（已知如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动 点.将△ADE沿DE翻折到△SDE,△BEF沿EF翻折到△SEF,) 若BF>1,连接DF,设直线SE与平面DEF所成角为O,求sin0的最大值. 考点7：立体几何中的截面问题 考法18：截面面积的计算 20.（解答)（己知如图，在三棱柱ABC-AB,C中，平面AA,B,B⊥平面ABC,平面 AACC⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=AA=BC=1,P是线段BC上一动点， BP=λBC,2∈(0,1).） 第11页，共14页 A1 B1 ⊙ 若元=}，求平面4，B,P截三棱柱ABC-ABC所得截面的面积： 4 21.(解答)（已知如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， AC=BC=4,AA=8,若侧面AA'B'B水平放置时，水面恰好过AC,BC,C,BC 的中点.现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜程度不同，水 面的形状也不同.) P B 试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括 起始和终止位置)，水面面积S的取值范围.（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不 考虑水面的波动.) 第12页，共14页 22.(解答)（己知如图所示，已知正方体ABCD-ABCD的体积为64，点M为线段CC 的中点，过点A,M的平面α与直线BC平行.) D 求平面o与正方体ABCD-AB,CD的表面形成的截面图形的面积； 考点8：空间中的动点轨迹问题 考法19：动点轨迹形状判定 23.(填空)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，P为DD,的中点，Q为正方 形AA,D,D内一动点，且B,Q/平面BCP,则点Q的轨迹的长度为 D A P D B 第13页，共14页 考法20：动点轨迹相关最值 24.(单选)已知正四棱柱ABCD-AB,CD的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中 点，F是棱CC上靠近点C的三等分点，动点P在侧面BCCB(包括边界)内运动，若 PA/I平面AEF,则线段PA,长度的最小值为() D' A R 、、 A.5 3v2 B.3 C D.2V5 2 第14页，共14页 专题七：立体几何初步（二）——点线面位置关系 考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系 1 考法1：异面直线的判定 1 考法2：空间位置关系辨析 2 考点2：线面平行与面面平行的判定与性质 3 考法3：线面平行的证明 3 考法4：线面平行的性质应用 4 考法5：面面平行的性质应用 5 考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质 6 考法6：线面垂直的证明 6 考法7：面面垂直的证明 6 考法8：线面垂直的性质应用 7 考法9：面面垂直的性质应用 8 考法10：平行与垂直的综合证明 8 考点4：空间中的角 9 考法11：求异面直线所成角 9 考法12：求二面角 10 考点5：空间中的距离 12 考法13：求点到平面的距离 12 考法14：求两平行平面间的距离 14 考点6：立体几何中的翻折问题 15 考法15：翻折前后的几何量求解 15 考法16：翻折中的垂直关系 16 考法17：翻折中的最值问题 16 考点7：立体几何中的截面问题 17 考法18：截面面积的计算 17 考点8：空间中的动点轨迹问题 20 考法19：动点轨迹形状判定 20 考法20：动点轨迹相关最值 21 1 2 3 4 5 ABD D 见解析 见解析 6 7 8 9 10 见解析 见解析 见解析 见解析 ACD 11 12 13 14 15 存在， 16 17 18 19 20 见解析 21 22 23 24 C 考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系 考法1：异面直线的判定 1.（多选）在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ 　　） A. 直线是异面直线 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 18 【答案】ABD 【解析】假设直线是共面直线，∵平面平面，又平面交平面于，平面交平面于，∴，又，∴，相交矛盾，∴直线是异面直线，故A正确； 在棱上取一点，使得，连接，易得，∴角为直线与所成角或其补角，又，，，由余弦定理得，即直线与所成角的余弦值为，故B正确； 由题意，三棱锥为棱长是的正四面体，设其内切球的球心为，半径为，则，又，解得，则三棱锥的内切球的体积为，故C错误； 延长交于点，连接交于点，连接，∵，为的中点，则，∴为的中点，∵，∴为的中点，则，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，在等腰梯形中，，，，则梯形的高为，∴等腰梯形的面积为，故D正确. 【点拨】判定异面直线常用反证法；求异面直线所成角常通过平移转化为相交直线所成角；求截面面积需先作出截面图形. 考法2：空间位置关系辨析 2.（单选）设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ 　　） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，则或，A错误； 对于B，如图，在正方体中，记为平面，为平面，为直线，为直线，由正方体性质易知，，但是与不垂直，B错误； 对于C，若，，则或，C错误； 对于D，过直线作平面分别交于直线， ∵，，∴，∴， 由线面平行的判定定理可知， ∵，，∴， ∴，D正确. 【点拨】判断空间位置关系时，可借助正方体等常见几何体举反例. 考点2：线面平行与面面平行的判定与性质 考法3：线面平行的证明 3.（解答）如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点. 证明：平面； 【答案】见解析 【解析】证明：取的中点，连接， ∵点为棱的中点，∴，且， 又直四棱柱中，，且， 点为棱的中点，∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【点拨】证明线面平行，常通过构造三角形中位线或平行四边形来寻找面内平行线. 考法4：线面平行的性质应用 4.（解答）（已知在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．） 若平面，求； 【答案】 【解析】连接，∵平面，平面， 平面平面，∴， ∵是中点，∴是中点. ∵底面，∴到平面的距离. ∵菱形中，，， ∴， ∴. 【点拨】利用线面平行的性质定理可得线线平行，进而确定点的位置，再利用等体积法求三棱锥的体积. 考法5：面面平行的性质应用 5.（解答）如图，在三棱台中，． 过且平行于的平面分别交，于，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：过且平行于的平面分别交，于，， 即平面， ∵平面平面，平面， ∴. 同理， ∴. 【点拨】利用线面平行的性质定理，由线面平行推导线线平行，再利用平行线的传递性得证. 考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质 考法6：线面垂直的证明 6.（解答）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． 求证：平面； 【答案】见解析 【解析】证明：∵，，∴，. 又，，∴. ∴. ∴. ∵，即， ∴为直角三角形，且. 又平面，平面，∴. 平面，，∴平面. 【点拨】证明线面垂直，通常先利用勾股定理逆定理或几何性质证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证. 考法7：面面垂直的证明 7.（解答）如图，，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且，是母线上的动点． 求证：平面平面； 【答案】见解析 【解析】证明：由题意平面，又平面， ∴， 又，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 【点拨】证明面面垂直，通常先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，即转化为证明线面垂直. 考法8：线面垂直的性质应用 8.（解答）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且． 求证：； 【答案】见解析 【解析】证明：∵平面，平面， ∴. ∵底面为矩形，∴. 又，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 又，，平面， ∴平面. ∵平面， ∴. 【点拨】利用线面垂直的判定定理和性质定理，通过证明直线垂直于平面，进而得到直线与平面内所有直线垂直. 考法9：面面垂直的性质应用 9.（解答）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，，是线段上一动点，，． 证明：三棱柱是直三棱柱； 【答案】见解析 【解析】证明：∵平面平面，平面平面， 且平面平面， ∴平面. 又是三棱柱的侧棱， ∴三棱柱是直三棱柱. 【点拨】若两个相交平面均垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面. 考法10：平行与垂直的综合证明 10.（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，，为顶点，，分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】通过建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别写出各图中点的坐标，计算向量与的数量积.经计算，图形A、C、D中均有，即；图形B中. 【点拨】判断空间两直线是否垂直，可建立空间直角坐标系，利用向量的数量积是否为零进行判断. 考点4：空间中的角 考法11：求异面直线所成角 11.（解答）（已知，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且，是母线上的动点．） 若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； 【答案】 【解析】连接，∵，∴为所求角， 依题意，, ，∴， 又为正方形的边的中点，∴， 故. ∴. ∴直线与所成角的余弦值为. 【点拨】求异面直线所成角，常通过平移直线构造相交直线，再在三角形中利用余弦定理求解. 考法12：求二面角 12.（解答）（已知如图，在三棱台中，平面平面，，，且.） 线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【解析】解：三棱台侧棱延长线交于点， 由（1）得为正三角形， 由平面，平面，则平面平面， 取中点，连接，则，且， 而平面平面，平面，则平面， 过作交于，则平面， 而平面，则， 过作于，连接，则为在平面内的射影， 又，平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 若存在使得二面角的平面角正切值为，即， 设，则， ∵，则， 即，解得， ，，， ∴，即，， ∴线段上存在满足题意的点，且. 【点拨】探究存在性问题，可先假设存在，利用几何关系或建立空间直角坐标系求解参数，若参数符合题意则存在，否则不存在. 13.（解答）（已知在三棱锥中，平面，．） 若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值． 【答案】 【解析】∵平面，∴为与平面所成的角， 即. 不妨设，则. 在中，. 以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. ，. 设平面的法向量为， 则 ，取 . 设平面的法向量为， ，. 则 ，取 . . ∴，. 二面角的正切值为 . 【点拨】求二面角的大小，常建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式求解，注意判断二面角是锐角还是钝角. 考点5：空间中的距离 考法13：求点到平面的距离 14.（解答）（已知如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为，.） 当时，求点到平面的距离； 【答案】 【解析】∵平面，平面，∴. 又，，∴平面. ∵平面，∴. 又为底面直径，∴，即. ∴. ∵平面，∴平面平面. 作于，则平面， ∴为直线与平面所成的角，即. 在中，，，∴，. ∵，为直径，∴，. 点到平面的距离即为点到平面的距离， 设为，. 又，，. ∴，解得. 【点拨】求点到平面的距离，常利用等体积法，将所求距离转化为三棱锥的高，通过计算体积和底面积求解. 15.（解答）（已知如图，已知长方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上（异于两点），，，，点是上靠近点的三等分点.） 求点到直线的距离. 【答案】 【解析】∵，，，∴. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴, 轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设点到直线的距离为， 则. 故点到直线的距离为. 【点拨】求点到直线的距离，可建立空间直角坐标系，利用向量的投影计算距离. 考法14：求两平行平面间的距离 16.（填空）已知三棱锥的各个顶点都在表面积为的球的球面上，且球心为的中点，，，若分别为直线上的动点，则线段长度的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵为三棱锥外接球的球心，∴，∴. 同理. 又，，平面，∴平面. ∵平面，∴. 又，平面， ∴平面. ∵，，∴. 由球的表面积为，知，解得，∴，∴. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则，，. 设与都垂直的向量为， 则，， 令，则， 所以线段长度的最小值为 . 【点拨】两异面直线上动点间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段长，可利用向量法求解. 考点6：立体几何中的翻折问题 考法15：翻折前后的几何量求解 17.（填空）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，连接.则在翻折过程中，与的夹角为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】在菱形中，，，为的中点， ∴为直角三角形，. 翻折后，，， ∴平面. ∵. ∴. 又，， ∴. ∴夹角为. 【点拨】求空间中两直线的夹角，可利用向量的数量积公式，将向量用基底表示后进行计算. 考法16：翻折中的垂直关系 18.（解答）（已知如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，） 求证：平面平面； 【答案】见解析 【解析】证明：∵是正方形，为的中点，∴，. 又，平面， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【点拨】证明面面垂直，通常先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，即将面面垂直转化为线面垂直. 考法17：翻折中的最值问题 19.（解答）（已知如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，） 若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】 【解析】设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角. 设，则. . 在中，，，. . . . ∵，即. . . . 令，则. . ∵，在上单调递减， ∴当，即时，取得最大值 . 【点拨】求线面角的正弦值，常利用等体积法求出垂线段的长度，再转化为求函数的最值问题. 考点7：立体几何中的截面问题 考法18：截面面积的计算 20.（解答）（已知如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，，是线段上一动点，，．） 若，求平面截三棱柱所得截面的面积； 【答案】 【解析】当时，连延长交直线于，易得为线段上靠近的一个三等分点，过作交于点，连，易证面，从而截面为直角梯形，易得, ，从而直角梯形的面积为 . 【点拨】求截面面积的关键是准确作出截面多边形，利用几何体的性质判断截面的形状并计算边长. 21.（解答）（已知如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水，，，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．） 试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.） 【答案】 【解析】由上可知，水面第一次过顶点之前，水面与棱相交， 记的中点分别为，在上，且，. ∵为等腰直角三角形，设. ∴, . ∴. 整理得，平方得 ①. ∵平面，平面，平面平面. ∴与的交点必在上. ∴为棱台. ∴. 整理得 ②. 联立①②可得，. ∵, . ∴为平行四边形. ∴. ∵易知为等腰梯形. ∴为等腰梯形的高. ∴水面面积. 则. ∵当水面刚好过点时，. ∴解得. ∴此时，. ∵由题意可知，，则. 记，. ∴由二次函数性质可知，，即. ∴，所以. 即水面面积的取值范围为. 【点拨】解决动态截面问题，需根据几何体的特征找出截面的形状，利用体积不变性建立参数方程，再转化为函数最值问题求解. 22.（解答）（已知如图所示，已知正方体的体积为64，点为线段的中点，过点，的平面与直线平行.） 求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，则梯形为所求截面图形； 由题意可得，, , ， 故所求梯形面积. 【点拨】作截面图形时，常利用平面的基本性质，通过作平行线或延长线找到截面与各面的交线. 考点8：空间中的动点轨迹问题 考法19：动点轨迹形状判定 23.（填空）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】分别取的中点，连接， ∵为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， ∵平面，平面，故平面， 又∵，，则四边形是平行四边形，故， ∵，故，又平面，平面，可得平面， 且，平面，故平面平面． 又∵平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为． 【点拨】探求动点轨迹，常利用线面平行的性质定理将线面平行转化为线线平行，进而确定动点所在的直线. 考法20：动点轨迹相关最值 24.（单选）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面，则线段长度的最小值为（ 　　） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，是棱的中点，是棱上靠近点的三等分点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, , , ， 向量, ， 设平面的法向量为， 则，， 令，则，即. 设， 向量， ∵平面，∴， 即. . ∵，∴当时，取得最小值， 即的最小值为. 故选C. 【点拨】处理空间动点问题，常建立空间直角坐标系，利用法向量将线面平行转化为向量垂直关系，再利用代数方法求最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $