精品解析：宁夏银川市景博中学2024-2025学年高三下学期质量检测（六）数学试题

银川市景博中学2024-2025学年第二学期高三年级质量检测（六） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，那么的真子集个数有（ ） A. B. C. D. 2. 在复数范围内方程的根为（ ） A. 和1 B. 和5 C. D. 3. 设，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 4. 已知点满足，，，则点依次是的（ ） A. 重心､外心､垂心 B. 重心､外心､内心 C. 外心､重心､垂心 D. 外心､重心､内心 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数有唯一零点，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 数据1，8，9，4，5，5，8，2，3，10的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，，则 C. 变量x，y满足经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 已知数据的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 10. 现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同安排方法共有种 C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同安排方法共有14种 D. 若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种 11. 已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切于点，点与的焦点不重合，且，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆的半径是5 B. 圆与直线相切 C. 抛物线上点到点的距离的最小值为4 D. 抛物线上的点到点的距离之和的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 13. 设等差数列的前项和分别为，若，则__________. 14. 已知定义域为的函数的图象连续不断，且，当时，，若，则实数的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的取值范围． 16. 某健身俱乐部为了研究会员每周锻炼时间（单位：）与体重减少量（单位：）的关系，随机选取了5名会员进行跟踪调查，得到以下数据： （1）求每周锻炼时间与体重减少量的样本相关系数；（保留两位小数） （2）求体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程，并估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量. 参考公式：相关系数；线性回归方程中，. 17. 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. （1）求动点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 18. 在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. （1）证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. （2）若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川市景博中学2024-2025学年第二学期高三年级质量检测（六） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，那么的真子集个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】当时，，又，易知， 当时，，当时，，当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的真子集个数为， 故选：D. 2. 在复数范围内方程的根为（ ） A. 和1 B. 和5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可. 【详解】由，则方程的根为. 故选：D 3. 设，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分别令和代入计算即可. 【详解】令易知， 令可得，， 所以. 故选：A. 4. 已知点满足，，，则点依次是的（ ） A. 重心､外心､垂心 B. 重心､外心､内心 C. 外心､重心､垂心 D. 外心､重心､内心 【答案】A 【解析】 【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论． 【详解】解：若，则，取的中点，则，所以，所以点N是AB中线上的点，同理可得N也是AC、BC中线上的点，所以是的重心． 因为且，所以O到顶点，，的距离相等，所以为的外心． 由得，即，所以． 同理可证，所以为的垂心． 故选：A． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知，. 则，所以. 则，所以. 所以. 故选：D. 6. 已知函数有唯一零点，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由函数奇偶性定义得到为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，由零点唯一性得到，求出的值. 【详解】设，定义域为R, ∴， 故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称， 故函数的图象关于直线对称， ∵有唯一零点， ∴，即． 故选：D． 7. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知“飘带”函数的渐近线，设两渐近线夹角为（），则，求得，进而旋转之前双曲线的一条渐近线斜率，结合计算即可求解. 【详解】“飘带”函数的渐近线为与轴， 设两渐近线夹角为（），则， 整理得，又， 所以，整理得， 由，解得. 所以旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，9，4，5，5，8，2，3，10的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，，则 C. 变量x，y满足经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 已知数据的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据定义计算即可；对于B，正态分布，利用其对称性即可解题；对于C，根据样本点中心为在回归方程上解题即可；对于D，用方差公式直接计算即可. 【详解】对于A，数据按从小到大顺序排列1，2，3，4，5，5，8，8，9，10共10个数据，，所以其下四分位数是3，所以A正确； 对于B，由正态曲线的对称性得，所以，所以B正确； 对于C，样本点中心为代入回归方程，解得，所以C错误； 对于D，，， 可得， 现加入5和7两个数后，平均数为，，所以D正确； 故选：ABD 10. 现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D. 若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用分步乘法原理判断；对B，首先从3项工作中选1项无人参加，再将4人安排到两项工作，计算可判断；对C，分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组与甲乙不同组两种情况，即可判断；对D，先分组只有（1、1、2）这种情况，再分配计算判断. 【详解】对于A，安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确； 对于B，恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有， 再将4人安排到两项工作有种，故一共有种安排方法，故B错误； 对于C，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况， 若甲、乙同组，则有种， 若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加项工作， 则安排不含甲乙的一组参加工作，剩下的两组安排参加、两项工作，则种， 综上，一共有种安排方法，故C正确； 对于D，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配， 则不同的安排方法有种，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切于点，点与的焦点不重合，且，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆的半径是5 B. 圆与直线相切 C. 抛物线上的点到点的距离的最小值为4 D. 抛物线上的点到点的距离之和的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和平面几何知识，判断出是等边三角形，是等边三角形，从而用表示出，利用点横坐标求出的值，进而求出抛物线方程，再根据选项逐一判断即可. 【详解】 如图所示，不妨设点在轴上方，连接． 因为以为圆心的圆与相切于点，所以且轴． 又，所以． 因为，所以，则是等边三角形， 所以，所以是等边三角形，且，所以， 因为，所以，抛物线的方程为， 圆的半径为，选项A不正确． 易知圆心或，圆心到直线的距离为， 而，所以圆与直线不相切，选项B不正确． 抛物线上任意一点到的距离为， 当时，取最小值4，选项C正确． 过点作的垂线，垂足为，则抛物线上的点到点的距离之和为， 当且仅当三点共线时取到等号，故其最小值为6，选项D不正确． 故选：ABD． 多解： 不妨设点在轴上方，连接，作轴于点．易知， 所以为的中点．由，得，所以，．又，所以，故，将其代入，解得或（舍去），所以抛物线的方程为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 13. 设等差数列的前项和分别为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式可得出，然后即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 14. 已知定义域为的函数的图象连续不断，且，当时，，若，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知可得函数为奇函数，求导确定函数的单调性，从而将不等式转化为，即可得实数的取值范围. 【详解】设，则， 因为， 故， 所以函数为奇函数， 又， 因为当时，，即当时，， 故在上单调递减， 由为奇函数可知，函数的图象连续不断， 所以在上是减函数， 因为， 故， 即，故，则． 故实数的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解； （2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可． 小问1详解】 在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． 【小问2详解】 因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 16. 某健身俱乐部为了研究会员每周锻炼时间（单位：）与体重减少量（单位：）的关系，随机选取了5名会员进行跟踪调查，得到以下数据： （1）求每周锻炼时间与体重减少量的样本相关系数；（保留两位小数） （2）求体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程，并估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量. 参考公式：相关系数；在线性回归方程中，. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式求解； （2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题，，， ， ， ， 所以相关系数. 【小问2详解】 由（1），可得，， 所以体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程为， 当时，. 估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量为. 17. 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. （1）求动点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组求弦长即可. 【小问1详解】 设 得 【小问2详解】 设，得， 所以有 得 由题可知 两式求差化简得 即 因为 所以 所以直线方程为 联立解得或 所以 18. 在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. （1）证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. （2）若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据线线平行得到线面平行，进而利用面面平行的判定定理证明即可； ②由面面平行的性质定理得平面平面，由平面基本性质证得直线相交于点，即可证明直线相交于点. （2）先通过线面垂直的判定定理得平面，进而得点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上），再建立空间直角坐标系，结合辅助角公式利用向量法求出异面直线夹角余弦值的表达式，利用正弦函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 ①如图①，四边形与四边形均为直角梯形，，故， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面，因为平面， 所以平面平面. ②如图②，在梯形中，延长交于点， 平面平面，同理平面， 又平面平面. 故直线相交于点， 又由（1）可知：平面平面， 故多面体是三棱台. 【小问2详解】 四边形与四边形均为直角梯形，， ，又，平面，平面， 又动点在内部及边界上运动，且， 等腰直角三角形，， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上）. 如图以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， . 设异面直线与所成角为，则 ， 设（取为锐角）， 则. ，且为锐角，， ， 当，即时，异面直线与所成角取得最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$