第六讲等式与不等式的性质题型归纳讲义2026届高三艺术生数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第六讲 等式与不等式的性质题型归纳 知识再现 1．两个实数大小的比较 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么.反过来也对．这个基本事实可以表示为：⇔，⇔，⇔. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质 性质1　如果，那么； 性质2　如果，，那么； 性质3　如果，那么； 性质4　如果，那么； 性质5　如果，，那么. 3．不等式的性质 (1)如果，那么；如果，那么.即⇔. (2)如果，，那么.即，⇒ (3)如果，那么. (4)如果，，那么；如果，，那么. (5)如果，，那么. 不等式的同向可加性 (6)如果，，那么. 不等式的同向可乘性 (7)如果，那么． 题型一：不等式性质的应用 例1.下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解析：A：若，则（），故A错误； B：若，则，所以，所以B正确； C：若，则，所以C错误；D：若，则，故D错误. 故选：B. 例2.如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 解析：由于，不妨令，，可得，，故A不正确． 可得，，，故B不正确． 可得，，，故C不正确．故选：D． 变式训练 1.若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 解析：对于A中，由，因为，可得，因为不确定，故A错误； 对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误； 对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误； 对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确. 故选：D 2．（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若则. B．若则. C．若，则 D．若，则 解析：若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但，不成立，B选项错误； 若，，满足，但，不成立，C错误； ，则，又，∴，即，D选项正确.故选：AD 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 例3.若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ） A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 解析：因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0. 所以m≥n.故选：B. 例4.（1）试比较与的大小； （2）已知，，求证：． 解析：（1）由题意，， 所以． （2）证明：因为，所以，即，而，所以，则． 变式训练 1.设，，则s与t的大小关系是________. 解析：,.故答案为：. 2.（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小； （2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小. 解析：（1）∵a，b均为正实数， ∴，即≥. （2）由. ①当a=0时，0，则；②当a<1且a≠0时，0，则； ③当a>1时，0，则. 综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，. 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 例5.已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（ ） A．(1，3) B． C． D． 解析：因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A． 例6.已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：设， 所以，解得：， 因为，所以，故选：A. 例7.若α，β满足，则2α－β的取值范围是（ ） A．－π < 2α－β < 0 B．－π < 2α－β < π C．－< 2α－β < D．0 < 2α－β < π 解析：由知： 由知：∴ 又∵即∴故选：C 变式训练 1.已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：设，则解得， ∴，又，， ∴即.故选：B. 2.已知，求，的取值范围． 解析：∵，∴－≤<，－<≤. 两式相加得－<<. ∵－≤<， －≤－<， 两式相加得－≤<. 又∵α<β，∴<0，∴－≤<0. 题型四：不等式的证明 例8.（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 解析：证明：（1）因为，，所以，。 所以，故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 例9.证明不等式： （1）设，求证：； （2）设，求证：. 解析：（1）因为 ， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为 ，所以. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第六讲等式与不等式的性质题型归纳 知识再现 1.两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b;如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数， 那么a<b.反过来也对.这个基本事实可以表示为：a>b台a-b>0,a=b台 a-b=0,a<b台a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与①的 大小 2.等式的基本性质 性质1如果a=b,那么b=a; 性质2如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4如果a=b,那么ac=bc; 性质5如果a=b,c≠0，那么0=b cc 3.不等式的性质 (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b台b<a. (2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c→a>c (③)知果a>b,那么a+c>b+c. (4如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc. (⑤如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 不等式的同向可加性 (⑥如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 不等式的同向可乘性 (⑦如果a>b>0,那么a”>b”n∈N,n≥2 题型一：不等式性质的应用 例1.下列说法正确的有() 第1页共6页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 A.若a>b,则ac2>bc2 B.若>b 2>，则a>b C.若a>b, 则≥ D.若a>b,则a2>b2 例2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是() B.ab<b2 C.-ab<-a2 D.6 变式训练 1.若非零实数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是() B.a+b>2√ab C.Iga2>Igb2 D.a'>b3 2.(多选题)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是() A.若a>b,c>d则a-d>b-c. B.若a>b,c>d则ac>bd C.若a>h,c>d>0,则g>b "d c D.若ab>0,bc-ad>0,则S>d a b 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 例3.若m=2x2+2x十1，n=(x十1)2，则m,n的大小关系为（) A.m>n B.m>≥n C.m<n D.m≤n 第2页共6页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例4.(1)试比较(x+1(x+5)与(x+3)的大小， 11 (②)已知a>b,日方，求证：ab>0. 变式训练 1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则s与t的大小关系是 2.(1)已知a,b均为正实数.试比较a3+b3与ab+ab2的大小； (2)已知a≠1且aR,试比较，1与1+a的大小 1-a 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 例5.已知-3<a<-2,3<b<4,则？的取值范国为（） 49 A.(1,3) B.34 c〔到 . 第3页共6页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例6已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤5，则3x-2y的取值范围是() A.[2,13] B.[3,13] C.[2,10l D.[5,10l 例7若，销足-受<a<B<号，到2-的取位范周是(） A.-π<2a-B<0 B.-π<2-B<π C.-经<2a-g< D.0<2x-B<π 变式训练 1.已知2≤a+b≤5，-2≤a-b≤1，则3a-b的取值范围是() A.[-1,4] B.【-2,7] C.【-7,2] D.[2,7] 第4页共6页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 2已知1、 -2saspsl 1 ，求+B心一B的取值范围 2’3 题型四：不等式的证明 例8.(1①设b>a>0,m>0,证明：6<61 (2)设x>0,y>0,z>0,证明：1<X+)+2<2 x+yy+zz+x 第5页共6页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例9.证明不等式： (1)设a>0,b>0,求证：a3+b3≥ab2+ab; (2)设x,y∈R,求证：x2+y2+5≥2(2x+y). 第6页共6页