2026年内蒙古初三年级中考数学全真综合模拟测试（七）

**基本信息** 内蒙古初三数学期末监测卷，以原创题为主，融合地方文化（呼和浩特中学选拔队员）、生活应用（买花方案）及跨学科情境（盐湖溶解度），覆盖代数、几何、统计核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|正负数意义、科学记数法、方差、菱形性质、溶解度曲线|原创题占比高，结合文化（崇宁通宝）与跨学科情境| |填空题|4/12|对称点坐标、概率、用样本估计总体、矩形折叠|生活应用（十字路口概率）与几何变换结合| |解答题|6/64|统计分析、二元一次方程组、圆的切线与相似、二次函数应用|综合实践（买花方案）与探究性问题（叶片生长二次函数），强化数学思维与表达|

内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（七） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若高出海平面米记作米，则低于海平面米可记作(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D  【解析】【详解】解：若高出海平面米记作米，则低于海平面1米可记作米． 2.血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约微米，相当于米，数据用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查绝对值小于的数的科学记数法表示，科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，要求满足，为原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】左起第一个非零数字为，前面共有个零，且，符合科学记数法要求， ， 故选：． 3.（原创）呼和浩特某中学为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了次百米测试，每人成绩的平均数单位：秒和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 1 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B  【解析】百米成绩中平均用时越短说明成绩越优秀，方差越小说明成绩越稳定，根据两个统计量的意义筛选即可． 【详解】解：百米测试中，平均用时越短，成绩越优秀，观察表格可得，甲、乙的平均数为，小于丙、丁的平均数， 先排除丙、丁，在甲、乙中选择． 方差越小，成绩越稳定， 甲的方差为，乙的方差为，且， 在甲、乙两人成绩同样优秀的情况下，乙的成绩更稳定，故乙的成绩优秀且稳定． 选择乙选手代表学校参赛． 4.（原创）下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【详解】解：选项A：，计算正确； 选项B：，计算错误； 选项C：，计算错误； 选项D：，计算错误． 5.（原创）如图，在菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、分别是的中点 是的中位线， ， 菱形的周长为：； 故选：． 6.崇宁通宝是北宋时期的钱币如图，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸单位：如图所示，这枚古钱币实体部分的面积单位：为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ， ， 圆的面积为， 正方形的面积为， 古钱币实体部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，即． 7.如图，为正方形内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到延长交于点，则的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 8.我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指如图是、的溶解度与温度之间的对应关系，则下列说法正确的是(     ) A. 温度每升高，溶解度的增加量不相同 B. 当温度为时，和的溶解度相同 C. 当温度逐渐升高时，的溶解度逐渐增大 D. 在时，与溶解度的最大差值是 【答案】D  【解析】【详解】解：、由图象得，的溶解度图象是一条直线， 温度每升高，溶解度的增加量相同，故 A错误； B、由图象得，的溶解度图象和的溶解度图象交点的横坐标小于 当温度为时，和的溶解度不相同，故 B错误． C、由图象得，当温度逐渐升高时，的溶解度先增大后减小，故 C错误； D、由图象得，当时，与溶解度的差值最大，最大为，故 D正确． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.(原创)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是           ． 【答案】  【解析】【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 ， 故答案为：  10.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是          ． 【答案】  【解析】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有种等可能情况，至少一辆车向右转有种， 至少一辆车向右转的概率是． 故答案为：． 11.(原创)为了解某池塘中现有鱼的数量，呼和浩特某中学初三年级数学学习小组先从中捕捞条鱼并做上标记，然后放归该池塘内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每条鱼中有条鱼有标记，则估计该池塘现有鱼的数量约为           条． 【答案】  【解析】【详解】解：根据题意得条， 所以估计该池塘现有鱼的数量约为条． 12.如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，当点恰好在线段上时，线段的长为           ． 【答案】  【解析】根据矩形及翻折的性质得，，，，，在中，由勾股定理可求出，则，然后在中，由勾股定理可求出，进而可得的长． 此题主要考查了矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， ， 由翻折的性质得：，，，，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.计算或化简： 计算：； 化简：． (1)解： .............................................................3分 ..................................................................................................5分 (2)解： .....................................................................................3分 .................................................................................................5分  【解析】  本题主要考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，零指数幂分式的混合运算， 先计算零指数幂，化简绝对值和二次根式，代入特殊角三角函数值，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可；  先通分计算括号内减法，再运算除法，化简即可求解． 14.本小题分 河南博物院创建于年，是我国成立较早的博物馆之一，是中原地区规模最大的文物收藏、保护、研究与展示中心．为了解中学生对博物院展览的偏好，某校社会实践小组在参观完博物院的学生中随机抽取了名，对明清河南和国宝特展两个专题陈列进行满意度打分百分制，分数为整数． 【数据收集与整理】 实践小组对随机抽取的名参观同学的打分数据进行整理，成绩均高于分成绩得分用表示，共分为五组：：，：，：，：，：，下面给出了部分信息： 明清河南专题陈列的份打分如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 国宝特展专题陈列的份打分中，在组的数据是：，，，，，． 两个专题陈列满意度打分统计表部分 专题陈列 平均数 众数 中位数 明清河南 国宝特展 请你根据上面的信息解答下列各题： 上述表中           ，           ，扇形统计图中组所占圆心角的度数为          ； 关于这两个专题陈列满意度打分情况，下列结论一定正确的是          ；填序号中位数均在组的取值范围内；得分在分以上的一样多；满分一样多． 博物院计划根据此次调查，从这两个专题陈列中选择一个作为“中学生最喜爱的文化窗口”进行重点宣传．请你结合上述统计量，给出推荐建议并说明理由． 【答案】(1)90;97;18° .....................................................3分 (2)① .....................................................5分 (3)解：推荐宣传《国宝特展》.....................................................6分 ∵《国宝特展》平均分、中位数、众数均高于《明清河南》，整体评分水平更高，更受学生喜爱，适合作为重点宣传内容．.....................................................7分 【解析】  依据众数定义确定，结合各组人数排序找准第、个数求出中位数，利用百分比乘算出圆心角．； 解：明清河南打分数据里出现了次，次数最多， 众数． 一共抽取份评分数据， 国宝特展中：组人数：人，组人数：人， 按分数从高到低依次排列，前个数据为组数据，第至个数据为组数据， 偶数个数据的中位数为排序后第、两个数的平均数， 第个数与第个数都在组，均为， ． 组所占百分比：， 组对应扇形圆心角度数：．  根据题意并结合表格的数据逐项分析即可判断求解； 解：两份评分的中位数都落在范围内，都属于组， 此结论正确． 明清河南高于分的数据共有个，国宝特展高于分包含组与组，总个数为个， ， 两份评分中分数高于分的数据个数不相等， 此结论错误． 无法确定国宝特展里满分人数，无法比较满分人数的多少， 此结论错误．综上，正确的是．  根据平均数、中位数和众数的意义分析即可判断求解； 15.本小题0分 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 小明打算在母亲节那天买一束郁金香和满天星组合的鲜花送给妈妈． 素材一 买支郁金香和支满天星共需元． 素材二 支满天星的价格比支郁金香的价格多元． 素材三 小明准备买郁金香和满天星共支，且郁金香不超过支． 请完成下列任务： 任务一：买支郁金香，支满天星分别需要多少元？ 任务二：请你帮小明设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． (1)解：设买支郁金香需要元，买支满天星需要元， 根据题意得，.....................................................3分 解得，.....................................................4分 答：买支郁金香需要元，买支满天星需要元；.....................................................5分 (2)解：设小明买支郁金香，则买支满天星．买这两种花的总费用为元， 根据题意，得，.....................................................6分 ， 随的增大而减小，.....................................................7分 ，且， 当时，取最小值，最小值为，.....................................................9分 此时， 答：费用最少的买花方案为买郁金香支，满天星支，最少费用为元．..........................10分 【解析】  根据“买支郁金香和支满天星共需元”“支满天星的价格比支郁金香的价格多元”，设未知数并列出二元一次方程组，求解得到两种花的单价；  设购买郁金香的数量为支，根据“郁金香和满天星共支”表示出满天星的数量，结合单价列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性以及“郁金香不超过支”的限制条件，求出费用的最小值及对应的购买方案． 16.本小题分 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． 求证：是的切线； 求证：∽； 当，时，求的长． 【解析】证明：如图，连接，    是的直径，  ，  平分，  ， ...................................1分 ，  ，...................................2分 ，  ，  ， ...................................3分 是半径，  是的切线；...................................4分 证明：，  ，  ，  ，  四边形是圆内接四边形，  ，...................................6分 ，  ，  ∽； ...................................8分 解：是的直径，，，  ，  ，  平分，  ，  ，  ， ...................................10分 ，  ，  ∽，  ，，即，  ．...................................12分 先得出，进而得出，得出即可得出结论；  先说明，再推出，即可得出结论；  先求出，再推出，利用勾股定理求出的长，最后利用相似比即可得解． 本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平行线的性质等知识点．判断出∽、掌握圆的基本性质是解题的关键． 17.本小题分 某同学在观察研究幼苗一对叶片如图生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数的图象的一部分．第一天时，该二次函数的图象经过原点如图，此时叶片与茎的交点为，点为左边叶片的叶尖，直线对应的函数表达式为第四天时，左边叶片横向增长，点竖直长高到点处，叶尖落在直线上如图假设叶片生长过程中，两个叶片始终关于茎所在的直线对称 求第一天时二次函数的表达式及点的横坐标； 求第四天时，两个叶片叶尖之间的距离． 【答案】(1)解：由题意知二次函数的图象过原点，且点为顶点， ∴把代入可得：， 解得：，...................................2分 ∴二次函数的表达式为，...................................3分 ∵对称轴为直线， ∴点的横坐标为1；...................................6分 (2)∵直线与抛物线交于，两点， ∴令，...................................8分 解得：，，...................................9分 ∴点的横坐标为， 由（1）可得该二次函数图象的对称轴为直线， ∵左边叶片横向增长， ∴点的横坐标为，...................................11分 ∵叶片生长过程中，两个叶片始终关于茎所在的直线，即关于直线对称， ∴两个叶片叶尖之间的距离为．...................................12分 【解析】  把代入得到的值，再由对称轴为直线运算出对称轴，即可得到的横坐标；  联立两个函数求出点的横坐标为，得到点的横坐标为，再由对称性解答即可． 18.本小题分 某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图，平行四边形中，将线段逆时针旋转，得到线段点为点的对应点，作的角平分线交射线于点，连接，延长交所在的直线于点． 【初步感知】线段与的数量关系为          ． 【问题探究】如图，当时，点是的中点，延长交边于点，判断与是否相等，并说明理由． 【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点，，直接写出线段的长． 【答案】(1)​......................2分 (2)解：，......................3分 理由如下： 如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴......................5分 ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴......................7分 (3)解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， 如图，当点在线段上， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即；......................10分 如图，当点在的延长线上， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由可得，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上所述，的长为或6．......................13分 【解析】  证明即可得结论； 解：线段是线段旋转得到的， ， 平分， ， 在和中， ， ．  连接，同上可得，，再可证明四边形是矩形，可得，证明，即可得结论；  由题意可得四边形是正方形，可得，，分点在线段上、在的延长线上，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（七） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若高出海平面米记作米，则低于海平面米可记作(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2.血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约微米，相当于米，数据用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 3.（原创）呼和浩特某中学为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了次百米测试，每人成绩的平均数单位：秒和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 1 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4.（原创）下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 5.（原创）如图，在菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长是(     ) A. B. C. D. 6.崇宁通宝是北宋时期的钱币如图，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸单位：如图所示，这枚古钱币实体部分的面积单位：为(     ) A. B. C. D. 7.如图，为正方形内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到延长交于点，则的长为(     ) A. B. C. D. 8.我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指如图是、的溶解度与温度之间的对应关系，则下列说法正确的是(     ) A. 温度每升高，溶解度的增加量不相同 B. 当温度为时，和的溶解度相同 C. 当温度逐渐升高时，的溶解度逐渐增大 D. 在时，与溶解度的最大差值是 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.(原创)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是           ． 10.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是           ． 11.(原创)为了解某池塘中现有鱼的数量，呼和浩特某中学初三年级数学学习小组先从中捕捞条鱼并做上标记，然后放归该池塘内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每条鱼中有条鱼有标记，则估计该池塘现有鱼的数量约为           条． 12.如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，当点恰好在线段上时，线段的长为           ． 四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算或化简： 计算：； 化简：． 14.本小题分 河南博物院创建于年，是我国成立较早的博物馆之一，是中原地区规模最大的文物收藏、保护、研究与展示中心．为了解中学生对博物院展览的偏好，某校社会实践小组在参观完博物院的学生中随机抽取了名，对明清河南和国宝特展两个专题陈列进行满意度打分百分制，分数为整数． 【数据收集与整理】 实践小组对随机抽取的名参观同学的打分数据进行整理，成绩均高于分成绩得分用表示，共分为五组：：，：，：，：，：，下面给出了部分信息： 明清河南专题陈列的份打分如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 国宝特展专题陈列的份打分中，在组的数据是：，，，，，． 两个专题陈列满意度打分统计表部分 专题陈列 平均数 众数 中位数 明清河南 国宝特展 请你根据上面的信息解答下列各题： 上述表中           ，           ，扇形统计图中组所占圆心角的度数为          ； 关于这两个专题陈列满意度打分情况，下列结论一定正确的是          ；填序号中位数均在组的取值范围内；得分在分以上的一样多；满分一样多． 博物院计划根据此次调查，从这两个专题陈列中选择一个作为“中学生最喜爱的文化窗口”进行重点宣传．请你结合上述统计量，给出推荐建议并说明理由． 15.本小题0分 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 小明打算在母亲节那天买一束郁金香和满天星组合的鲜花送给妈妈． 素材一 买支郁金香和支满天星共需元． 素材二 支满天星的价格比支郁金香的价格多元． 素材三 小明准备买郁金香和满天星共支，且郁金香不超过支． 请完成下列任务： 任务一：买支郁金香，支满天星分别需要多少元？ 任务二：请你帮小明设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 16.本小题分 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． 求证：是的切线； 求证：∽； 当，时，求的长． 17.本小题12分 某同学在观察研究幼苗一对叶片如图生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数的图象的一部分．第一天时，该二次函数的图象经过原点如图，此时叶片与茎的交点为，点为左边叶片的叶尖，直线对应的函数表达式为第四天时，左边叶片横向增长，点竖直长高到点处，叶尖落在直线上如图假设叶片生长过程中，两个叶片始终关于茎所在的直线对称 求第一天时二次函数的表达式及点的横坐标； 求第四天时，两个叶片叶尖之间的距离． 18.本小题分 某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图，平行四边形中，将线段逆时针旋转，得到线段点为点的对应点，作的角平分线交射线于点，连接，延长交所在的直线于点． 【初步感知】线段与的数量关系为          ． 【问题探究】如图，当时，点是的中点，延长交边于点，判断与是否相等，并说明理由． 【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点，，直接写出线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（七） 命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 正负数的意义（相反意义的量） 选择题 3 0.95 基础题 2 科学记数法（小于1的正数） 选择题 3 0.9 基础题 3 平均数与方差（统计量的意义） 选择题 3 0.85 基础题 4 整式的运算（合并同类项、幂的乘除、积的乘方） 选择题 3 0.85 基础题 5 菱形的性质、三角形中位线定理 选择题 3 0.8 基础题 6 圆的面积与正方形面积计算（几何应用） 选择题 3 0.8 基础题 7 正方形的性质、旋转的性质、勾股定理 选择题 3 0.75 基础题 8 溶解度曲线的解读（函数图像应用） 选择题 3 0.75 基础题 9 平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标 填空题 3 0.9 基础题 10 概率的计算（列表法/树状图法） 填空题 3 0.75 基础题 11 用样本估计总体（标记重捕法） 填空题 3 0.8 基础题 12 矩形的性质、折叠问题、勾股定理 填空题 3 0.55 压轴题 13(1) 实数的混合运算（零指数幂、特殊角三角函数、分母有理化） 解答题 5 0.85 基础题 13(2) 分式的化简（分式的混合运算） 解答题 5 0.8 基础题 14 统计综合（频数分布、平均数、众数、中位数、扇形统计图） 解答题 7 0.7 基础题 15 二元一次方程组的应用、一次函数的最值（方案选择） 解答题 10 0.65 中档题 16 圆的切线判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理 解答题 12 0.65 中档题 17 二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数的交点问题 解答题 12 0.65 中档题 18 正方形、旋转、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质 解答题 13 0.4 压轴题 合 计 100 0.76 $