2026年内蒙古初三年级中考数学全真综合模拟测试（五）

**基本信息** 内蒙古初三数学期末监测卷以原创情境为载体，融合抽象能力、数据意识与模型观念，覆盖数与代数、图形与几何等核心知识，梯度设计适配学业水平评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|实数比较、科学记数法（马拉松钠补充）、概率（博物馆展厅选择）、三视图|结合生活与文化情境，考查数学眼光| |填空|4/12|一次函数解析式、加权平均数（博物院招聘）、圆的计算|原创问题设计，体现应用意识| |解答|6/64|统计应用（通勤调查）、方程与方案设计（蔬菜运输）、函数几何综合（动画抛物线）|分层设置问题，融合数学思维与语言，适配中考命题趋势|

内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（五） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）下列各数中最小的数是(     ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：， 最小的数是：． 故选：． 2.专业马拉松选手如图长距离训练时会大量出汗造成钠的流失，因此需要补充盐丸以维持体液平衡与肌肉正常收缩．若选手每日需额外补充钠的质量约为千克．数据“”用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，对于绝对值小于的数，为负整数，其绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：的第一个非零数字是，小数点向右移动位得到，  ． 3.（原创）下列运算中，正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和完全平方公式，依据法则进行计算． 【解答】 解：、由同底数幂的乘法法则可知，故本选项错误；  B、由合并同类项法则可知，故本选项正确； C、由完全平方公式可知，故此选项错误； D、不是同类项不能合并，故选项错误；  故选B． 4.太原北齐壁画博物馆于年月日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位场馆一层分三个展厅：第一展厅别都华彩，第二展厅一眼千年和第三展厅简易标美某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：将三个展厅分别记作、、， 列表如下： 由表知，共有种等可能结果，其中他俩恰好选择同一展厅的有种结果， 所以他俩恰好选择同一展厅的概率为， 故选：． 将三个展厅分别记作、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解． 【详解】解：主视图是直角三角形， 故A，，选项不合题意， 故选：． 6.已知，，那么的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查的是分式的混合运算，平方差公式的有关知识，先将给出的式子进行变形，然后代入求解即可． 【解答】 解：，， ． 7.如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻的电流与其两端电压变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D  【解析】解：， ， 电阻随电压的增大而增大，随电流的增大而变小， ． 故选：． 根据得到，结合图象解答即可． 本题考查了反比例函数的应用，跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 8.如图，等腰直角三角形中，，，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将沿所在直线翻折得对应，交于点已知，当时，的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】首先，根据是等腰直角三角形，，，得，，解得，然后，由折叠的性质得：，得，，接着，证得为等腰直角三角形，得，即，解得，最后，由，即可求得的长． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ，且，， ，解得，  由折叠的性质得：，  ，， ，即， 为等腰直角三角形，， ，即，解得， ，即的长为． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创）请写出一个图象经过点的一次函数的解析式           ． 【答案】答案不唯一  【解析】根据给定的函数经过的点，利用待定系数法，选取合适的函数形式，代入点的坐标求解参数，即可得到符合要求的函数解析式． 10.（原创）内蒙古博物院拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为分、分、分．综合成绩中笔试占、试讲占、面试占，那么张三最后的成绩为          分． 【答案】2.7 【解析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：张三最后的成绩为：分， 故答案为：.7 11.如图，在中，，，以为直径的交于点，则的长为          计算结果保留 【答案】  【解析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， 的长为． 故答案为：． 12.如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，若，则阴影部分的周长是          ． 【答案】  【解析】根据圆周角定理及等弧对等弦性质判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出与的长，进而得到的度数；根据弧长公式计算弧的长度，结合线段和差关系求出的长，最后将各部分长度相加即可得出阴影部分的周长． 【详解】解：为半圆的直径 为等腰直角三角形 在中，由勾股定理得，即 解得， 以点为圆心，长为半径画弧交于点 弧的长 点在上 阴影部分的周长． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：化简： (1)原式.........................................................3分 .........................................................5分 (2)原式.........................................................3分 .........................................................5分 【解析】  本题考查了分式乘除加减混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先化简算术平方根、零次幂、负整数指数幂，再把除法化为乘法，然后运算加减，即可作答．  先通分括号内，再把除法转化为乘法，然后根据分式性质化简，即可作答． 14.本小题7分（原创） 近年来，交通工具的多样化和普及化，为上班族通勤带来便利的同时，也在一定程度上造成了早高峰地铁站口的交通拥堵．为了解具体情况，呼和浩特某中学初三调研小组在早高峰时段随机选取名上班族，针对通勤方式步行；电动车；私家车；公交和时段进行了问卷调查所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图不完整． 调查问卷内容单选： 您通常的通勤方式是      步行                电动车                私家车                公交 2. 您通常的通勤时段是      ．           ．            ．            其他时段 相关统计图信息提示： 通勤方式调查扇形统计图 电动车和私家车在不同通勤时段人数条形统计图 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1) 扇形统计图中“步行”所在扇形的圆心角度数为 ，本次调查的上班族中骑电动车通勤的有 人，并补全条形统计图； 若该区域共有名上班族，估计用私家车通勤的上班族人数； 假如你是调研小组的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成早高峰地铁站口交通拥堵的原因，并给上班族提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】(1)解：“步行”所在扇形的圆心角度数为 ..................................1分 骑电动车通勤的有人， 骑电动车在的人数为人； 私家车的总人数为人， 那么其他时间段开私家车的人数为人..................................2分 补全条形统计图为： ..............................3分 (2)解：（人）， 答：估计用私家车通勤的上班族人数人；..............................5分 (3)解：原因示例： 出行方式集中：电动车占通勤方式的，是占比最高的方式，且大量电动车集中在早高峰出行，地铁站口车流量过大；..............................6分 建议示例： 绿色出行：短距离通勤优先选择步行，中长距离优先选择公交、地铁等公共交通，减少电动车和私家车的出行量．.............................7分 【解析】  用乘以步行的占比即可求解步行的占比，总人数乘以骑电动车的占比即可求解骑电动车的人数，再由骑电动车的总人数减去已知三个时间段的人数求出骑电动车的人数，然后求出开私家车的总人数，再由总人数减去已知三个时间段开私家车的人数求出其他时间段开私家车的人数，即可补全条形统计图；  用样本估计总体的方法求解即可；  合理即可． 15.本小题10分（原创） 菜农要将新鲜蔬菜吨由运往包头．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：假设每辆车均满载 车型 甲 乙 丙 汽车运载量吨辆 汽车运费元辆 若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 为了节省运费，该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为辆，请你设计方案使得运费最少并求出最少运费． 【答案】(1)解：设分别需甲、乙两种车型分别为辆和辆，..............................1分 由题意，得：，..............................2分 解得：，..............................4分 答：分别需甲、乙两种车型分别为辆和辆；..............................5分 (2)设需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车，..............................6分 由题意，得：，..............................7分 解得：，..............................8分 ∵均为正整数， ∴或，..............................9分 当时，， 总运费为：（元）； 当时，， 总运费为：（元）； ∵， ∴需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车时，运费最少，为元．........................10分 【解析】  本题考查二元一次方程组的实际应用： 设分别需甲、乙两种车型分别为辆和辆，根据题意，列出方程组进行求解即可．  设需要辆甲型车，辆乙型车，根据它们的总辆数为辆，以及将新鲜蔬菜吨由地运往地，列出二元一次方程，求出整数解，再进行判断即可． 16.本小题分 如图，为的内接三角形，其中是的直径，点在射线上，且． 尺规作图：作，交射线于点不写作法，保留作图痕迹； 求证；为的切线； 若，，求直径的长． 【答案】(1)解：作如图所示． ..............................2分 (2)证明：如图，连接，​​​​​​​ 为的直径， ，即..............................3分 ，， ， ，..............................5分 即， 为的半径， 为的切线．..............................7分 (3)解：由（2）知，， ， 设的半径为r， ，..............................9分 解得， ， 答：直径的长为．..............................12分 【解析】  根据作一个角等于已知角的步骤即可画出图形；  连接，根据直径所对的圆周角等于度得出，然后根据角的和差及切线的判定即可得证；  设的半径为，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案． 17.本小题分（原创） 如图是呼和浩特初三年级某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点． 求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； 当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，求抛物线的表达式； 在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证中沿抛物线下落的点能落在边包括端点上，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)解：如图所示， 由题意台级左边端点，右边端点的坐标， 对于抛物线，令，即：， 解得或6， ∴， ∴点的横坐标为，..............................2分 当时时，， 当时，， 当时，， 解得或， ∴抛物线与台级有交点， ∴点会落在台阶上；.............................4分 (2)解：由题意抛物线经过，最高点的纵坐标为， ∴，..............................6分 解得或（舍去）， ∴抛物线的解析式为，..............................8分 (3)解：对于抛物线， 令，得到， 解得，..............................9分 ∴抛物线交轴的正半轴于， 当时，， 解得或， ∴抛物线经过，..............................10分 在中，，，， ∴当点D与重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为， 当B点与重合时，点B的横坐标最小，最小值为， ∴点横坐标的横坐标的取值范围：．..............................12分 【解析】  本题主要考查了二次函数图象及其性质，待定系数法求解析式： 由题意台阶的左边端点，右边端点的坐标，求出，时的的值，即可判断；  由题意抛物线经过，最高点的纵坐标为，构建方程组求出，即可得到答案；  求出抛物线与轴的交点，以及时点的坐标，判断出两种特殊位置点的横坐标的值，即可得到答案； 18.本小题3分 如图，在中，，，，点为边上不与端点重合的一动点，过点作交于点，已知． 【初步感知】如图，请写出的值           ． 【尝试证明】如图，绕点顺时针旋转一定角度，连接，，请问中的结论还成立吗并说明理由． 【深入探究】在的条件下，旋转使得，，三点在一条直线上，请直接写出线段的长． 【答案】(1)​..............................2分 ​​​​​​  (2)解：成立；理由如下： 根据旋转可得：， ∴， 即， 根据解析（1）可知：，..............................4分 即， ∴， ∴；..............................8分 (3)解：当点D在线段上时，如图所示： 根据解析（1）可知：，，，， ∴， ∴，..............................10分 根据解析（2）可知：， ∴； 当点D在的延长线上时，如图所示： ∵， ∴， 根据勾股定理得：，..............................11分 ∴， 根据解析（2）可知：， ∴； 综上，或．..............................13分 【解析】  先根据勾股定理求出，根据，得出，，证明，得出，求出，再得出，即可得出答案；  根据旋转得出，从而得出，证明，得出；  当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（五） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）下列各数中最小的数是(     ) A. B. C. D. 2.专业马拉松选手如图长距离训练时会大量出汗造成钠的流失，因此需要补充盐丸以维持体液平衡与肌肉正常收缩．若选手每日需额外补充钠的质量约为千克．数据“”用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 3.（原创）下列运算中，正确的是(     ) A. B. C. D. 4.太原北齐壁画博物馆于年月日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位场馆一层分三个展厅：第一展厅别都华彩，第二展厅一眼千年和第三展厅简易标美某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为(    ) A. B. C. D. 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(     ) A. B. C. D. 6.已知，，那么的值为(     ) A. B. C. D. 7.如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻的电流与其两端电压变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8.如图，等腰直角三角形中，，，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将沿所在直线翻折得对应，交于点已知，当时，的长为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创）请写出一个图象经过点的一次函数的解析式           ． 10.（原创）内蒙古博物院拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为分、分、分．综合成绩中笔试占、试讲占、面试占，那么张三最后的成绩为          分． 11.如图，在中，，，以为直径的交于点，则的长为          计算结果保留 12.如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，若，则阴影部分的周长是           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：化简： 14.本小题7分（原创） 近年来，交通工具的多样化和普及化，为上班族通勤带来便利的同时，也在一定程度上造成了早高峰地铁站口的交通拥堵．为了解具体情况，呼和浩特某中学初三调研小组在早高峰时段随机选取名上班族，针对通勤方式步行；电动车；私家车；公交和时段进行了问卷调查所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图不完整． 调查问卷内容单选： 您通常的通勤方式是      步行                电动车                私家车                公交 2. 您通常的通勤时段是      ．           ．            ．            其他时段 相关统计图信息提示： 通勤方式调查扇形统计图 电动车和私家车在不同通勤时段人数条形统计图 请认真阅读上述信息，回答下列问题： 扇形统计图中“步行”所在扇形的圆心角度数为 ，本次调查的上班族中骑电动车通勤的有 人，并补全条形统计图； 若该区域共有名上班族，估计用私家车通勤的上班族人数； 假如你是调研小组的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成早高峰地铁站口交通拥堵的原因，并给上班族提出一条缓解拥堵的建议． 15.本小题10分（原创） 菜农要将新鲜蔬菜吨由运往包头．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：假设每辆车均满载 车型 甲 乙 丙 汽车运载量吨辆 汽车运费元辆 若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 为了节省运费，该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为辆，请你设计方案使得运费最少并求出最少运费． 16.本小题分 如图，为的内接三角形，其中是的直径，点在射线上，且． 尺规作图：作，交射线于点不写作法，保留作图痕迹； 求证；为的切线； 若，，求直径的长． 17.本小题分（原创） 如图是呼和浩特初三年级某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点． 求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； 当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，求抛物线的表达式； 在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证中沿抛物线下落的点能落在边包括端点上，求点横坐标的取值范围． 18.本小题分 如图，在中，，，，点为边上不与端点重合的一动点，过点作交于点，已知． 【初步感知】如图，请写出的值          ． 【尝试证明】如图，绕点顺时针旋转一定角度，连接，，请问中的结论还成立吗并说明理由． 【深入探究】在的条件下，旋转使得，，三点在一条直线上，请直接写出线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2026年内蒙古初三年级中考数学全真综合模拟测试（五）双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 实数大小比较、无理数估值 选择题 3 0.95 基础题 2 科学记数法（绝对值小于1的数） 选择题 3 0.9 基础题 3 整式运算（同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式） 选择题 3 0.9 基础题 4 概率计算（列表/树状图法求等可能事件概率） 选择题 3 0.85 基础题 5 几何体三视图（由三视图判断几何体） 选择题 3 0.85 基础题 6 分式运算、平方差公式化简求值 选择题 3 0.8 基础题 7 欧姆定律、I-U图像分析（电阻大小判断） 选择题 3 0.75 基础题 8 等腰直角三角形性质、折叠问题、垂直性质综合应用 选择题 3 0.6 中档题 9 一次函数解析式（待定系数法） 填空题 3 0.95 基础题 10 加权平均数的计算 填空题 3 0.9 基础题 11 平行四边形性质、圆周角定理、弧长公式 填空题 3 0.75 基础题 12 半圆性质、弧长公式、扇形周长计算 填空题 3 0.65 中档题 13 实数混合运算（乘方、开方、负指数、零指数）、分式化简 解答题 10 0.88 基础题 14 统计图表分析（扇形/条形统计图）、用样本估计总体 解答题 7 0.85 基础题 15 二元一次方程组应用、一元一次不等式与一次函数最值问题 解答题 10 0.7 基础题 16 尺规作图（作等角）、圆的切线判定、勾股定理应用 解答题 12 0.68 中档题 17 二次函数图像性质、待定系数法求解析式、平移与取值范围问题 解答题 12 0.55 中档题 18 相似三角形判定与性质、旋转综合问题、动点探究 解答题 13 0.45 压轴题 合 计 100 0.78 Sheet2 Sheet3 $