精品解析：安徽省阜阳第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

阜阳一中2025级期末考试 数学试卷 说明： 1.考试时间：120分钟；试卷满分：150分 2.答题前，请把答题卷上的所有信息填写完整，并把所有答案填写在答题卷上. 第Ⅰ卷(58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，满足：的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中最小值为的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，点在边上，且．记，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，直线和是函数 图象的两条相邻的对称轴，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数.若，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数 ，下列叙述正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上有个零点 D. 的最大值为 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称， ，令，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 第Ⅱ卷(92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为__________． 13. 设点在内部，且，则 __________． 14. 若且，则=__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称. （1）若在区间上的值域为，求的值； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式. 17. 已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度. （1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2） 已知关于的方程在内有两个不同的解、. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 18. 已知函数，（其中是自然对数的底数） （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值. （参考数据：） 19. 已知，设函数，，，， （1）当时，求函数的值域； （2）记的最大值为， ①求； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳一中2025级期末考试 数学试卷 说明： 1.考试时间：120分钟；试卷满分：150分 2.答题前，请把答题卷上的所有信息填写完整，并把所有答案填写在答题卷上. 第Ⅰ卷(58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 2. 下列函数中，满足：的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A， ，A不是； 对于B， ，B不是； 对于C， ，C是； 对于D，，，即 ，D不是. 3. 下列函数中最小值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A， ，当且仅当时，等号成立，所以最小值为3，故A错误； 对于B，因为函数定义域为，所以， 所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为4，故B正确； 对于C，因为， ， 当且仅当，即时等号成立，所以等号取不到，故C错误； 对于D，的定义域为，所以， 当时， ，故D错误. 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】记命题，命题. 幂函数在上单调递增，，所以， 指数函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 指数函数在上单调递增，，所以， 幂函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 所以是的充要条件. 5. 在中，点在边上，且．记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ． 6. 已知，，直线和是函数 图象的两条相邻的对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，所以可得，从而可求出，又由直线为函数图象的对称轴，可得 ，从而可求出的值． 【详解】因为直线和是函数图像的两条相邻的对称轴， 所以，即， 所以，解得， 所以， 因为直线为函数图象的对称轴， 所以 ，得 ， 所以 ， 因为，所以． 7. 已知函数.若，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到结论，当时，，利用该结论判断，的符号，得到的大小关系. 【详解】如图： 当时，，， 设劣弧的长为，则. 因为，所以，. 所以. 因为，所以，所以.故； 又， 因为，所以，所以.故. 综上，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数 ，下列叙述正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上有个零点 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由偶函数的定义判断A；当时，化简得，由三角函数的性质判断B；求出函数在上零点个数，判断C；求出函数在上的最大值，可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 又， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，因为函数是偶函数，且， 故只需研究函数在上的零点个数即可， 当时，， 令，得，所以函数在上只有一个零点， 同理函数在上也只有一个零点，所以函数在上有3个零点，故C错误；    对于D，因为当时， ， 此时函数的最大值为3，   又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，函数的最大值为3， 综上，函数的最大值为3，故D正确. 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 11. 已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称， ，令，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，代入即可判断选项；利用函数关于点对称，则的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项，，. 【详解】解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图像关于点对称，令，当时，， 所以的图像关于对称，即的图像关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图像关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. 第Ⅱ卷(92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在方向上的投影向量为. 所以在方向上的投影向量的模为. 13. 设点在内部，且，则 __________． 【答案】## 【解析】 【分析】变形给定等式，作图使得，进而确定点，再利用等高的三角形面积关系求解. 【详解】由，得，在线段上取点，使得， 取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点， 因此，所以. 14. 若且，则=__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用和差化积公式分别将两个等式中的，，再代回原等式，即可建立关系求出的值. 【详解】解：由和差化积公式可得，，分别代入到原式中， 则， 所以或， ， 所以或， 若，则且，无解， 因此，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【小问1详解】 点 到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； 【小问2详解】 利用诱导公式化简原式： 分子部分：， ， ， ， 因此分子 ， 分母部分： ， ， ， 因此分母 ， 约分化简得原式 ， 根据定义. 16. 已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称. （1）若在区间上的值域为，求的值； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反函数的关系先得出表达式，进而得出表达式，利用的单调性，分类讨论得出结果； （2）由（1）的单调性，结合定义域的范围，解不等式组即可. 【小问1详解】 由题知，是的反函数，，故. 当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立； 当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. 综上可知： 【小问2详解】 由（1）知，，为定义在的增函数， 根据，定义域满足：，解得. 由单调性和可得，，整理得，结合可知， 17. 已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度. （1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2） 已知关于的方程在内有两个不同的解、. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1), 的对称轴方程为. (2)（i）,（ii）证明见解析. 【解析】 【详解】解法一：（1）将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为 （2）1） （其中） 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是. 2）因为是方程在区间内有两个不同的解， 所以，. 当时， 当时, 所以 解法二：（1）同解法一. （2）1） 同解法一. 2） 因为是方程在区间内有两个不同的解， 所以，. 当时， 当时, 所以 于是 考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 18. 已知函数，（其中是自然对数的底数） （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值. （参考数据：） 【答案】（1）单调递增 （2）证明见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）取对数，利用复合函数单调性判断即可； （2）利用零点存在性定理和对数的运算性质证明即可； （3）根据单调性可知，即，代入化简不等式，再利用对勾函数单调性求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为，令，则在上单调递增， 又是增函数， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 因为， . 所以，由函数零点存在定理可知，函数在内存在零点， 即， 因为 . 【小问3详解】 由（2）知，，所以，， 又因为，且在上单调递增， 所以，即，， 所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 所以，即， 所以要使，则整数的最大值为3. 19. 已知，设函数，，，， （1）当时，求函数的值域； （2）记的最大值为， ①求； ②求证：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，转化为， 配方求值域即可； （2）①设，换元得，分类讨论即可求解； ②利用绝对值不等式的性质求出利用做差法与比较大小即可求证. 【小问1详解】 当时，， 令， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ①令， 所以， 因为，所以，所以， ， ， 是对称轴为，开口向上的抛物线， ，， 1）当时，，，所以， 2）当时，，，所以， 3）当时，，，所以， 综上所述：. ② ， 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，，所以， 综上所述：所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $