安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x∈Z|x2+x-12≤0},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B的子集的个数是 A.8 B.7 C.4 D.3 2.已知函数f(x)的定义域为(-2,3),则函数g(x)=的定义域为 A. (-2,3) B. ,1 C. ,2 D. (1,4) 3.已知a,b∈R,那么“loa<lob”是“3a≥3b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知2cosα++cosα-=0,则tan2α+的值等于 A.1 B.-2 C. D. 5.地震发生时会释放大量能量,这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系.若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳,6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳,则5.5级地震所释放的能量约为(参考数据:lg 6.3≈0.8,100.05≈1.1) A.8×1011 焦耳 B.1.1×1013 焦耳 C.1.1×1011 焦耳 D.8×1012 焦耳 6.函数f(x)=x+cos x,x∈[-π,0)∪(0,π]的图象大致为 A. B. C. D. 7.已知函数f(x)=e-x-ex,若f(a-6)+f(a2)>0,则实数a的取值范围是 A.(2,+∞) B.(-∞,-3) C. (-3,2) D.(-2,+∞) 8.已知函数f(x)=2x-3+2-x+3+Asinx-有且只有一个零点,则实数A的值为 A.2 B.-2 C.3 D.-3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若a,b,c∈R,则下列说法正确的是 A.若ab≠0,且a>b,则< B.若c<b<a,则cb2<ab2 C.若0<a<1,则a3<a D.若a>b>0,则> 10.已知sin θcos θ=,|cos θ|=-cos θ,下列结论正确的是 A.是第二象限角 B.sin θ+cos θ=- C.sin θ-cos θ= D.tan θ=或tan θ=2 11.设函数f(x)=maxx,-2|x|+4,2x,其中max{x,y,z}表示x,y,z中的最大者,则下列结论正确的是 A.函数f(x)为偶函数 B.函数f(x)的最小值为2 C.函数f(x)的最大值为4 D.方程f(x)=3有4个根 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若a>0,b>0,且a+2b=2ab,则a+2b的最小值为　　　　.  13.已知函数f(x)=3x+31-x,则不等式f(x)≥4的解集为　　　　.  14.如图所示的是函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象,φ∈(0,π),ω>0,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　,其图象的对称轴方程为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|(x+2)(x-a)<0}. (1)若a=2,求A∪B. (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 16.(15分)在平面直角坐标系中,若角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,-4). (1)求sin α和tan α的值; (2)若f(α)=,化简并求f(α)的值. 17.(15分)已知函数f(x)=sin ωx+cosωx++,x∈R,0<ω<3,若将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度得到了新的图象,此图象对应的函数g(x)为奇函数. (1)求ω与函数f(x)的单调递增区间; (2)求当x∈时,方程2[f(x)]2-5f(x)+3=0的根. 18.(17分)物联网(Internet of Things,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费y1(单位:万元),仓库到车站的距离x(单位:千米,x>0),其中y1与(x+2)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比;若在距离车站8千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和6.4万元. (1)求出y1与y2的解析式. (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 19.(17分) 已知f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数,且f(x)-g(x)=2e-x,其中e=2.71828…. (1)求函数f(x)和g(x)的解析式; (2)若不等式g(x2+3)>g(ax-1)在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围; (3)若∀x1∈[0,1],∃x2∈[m,+∞),使g(x2)=成立,求实数m的取值范围. 参考答案 1.A　依题意,A={x∈Z|x2+x-12≤0}={x∈Z|-4≤x≤3}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3},B={y|y>0},则A∩B={1,2,3},所以A∩B的子集的个数为23=8. 2.C　由x+1∈(-2,3),得x∈(-3,2),又2x-1>0,可得x>,所以函数g(x)的定义域为,2. 3.A　loa<lob⇔a>b>0,3a≥3b⇔a≥b,由a>b>0可推得a≥b,但a≥b不可推得a>b>0,所以“loa<lob”是“3a≥3b”的充分不必要条件. 4.C　因为2cosα++cosα-=0,所以2cosα++sinα+=0,可得tanα+==-2,所以tan2α+==. 5.B　设lg E=λM+μ,则解得所以lg E≈1.5M+4.8,则E≈101.5M+4.8,所以当M=5.5时,E≈101.5×5.5+4.8=1013.05=100.05×1013≈1.1×1013. 6.B　因为f(x)=x+cos x,x∈[-π,0)∪(0,π], 所以f(-x)=-x-cos(-x)=f(-x)=-x+cos x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,所以选项A,D错误;在区间0,上,有cos x>0,且x+>0,则f(x)=x+·cos x>0,所以选项C错误.故选B. 7.C　因为f(x)=e-x-ex(x∈R),所以f(-x)=ex-e-x=-(e-x-ex)=-f(x), 所以f(x)为奇函数,则f(x)的图象关于原点对称, 则y=ex在定义域R上单调递增.因为y=e-x在定义域R上单调递减,所以f(x)=e-x-ex在定义域R上单调递减,则不等式f(a-6)+f(a2)>0,即f(a2)>-f(a-6),所以f(a2)>f(6-a),则a2<6-a,解得-3<a<2,即实数a的取值范围是(-3,2). 8.B　因为f(x)=2x-3+2-x+3+Asinx-,所以f(x+3)=2x+2-x+Acos x. 记g(x)=2x+2-x+Acos x,因为g(-x)=2-x+2x+Acos-x=2x+2-x+Acos x=g(x),所以y=g(x)为偶函数,故函数y=g(x)的图象关于直线x=0对称,即函数f(x+3)的图象关于直线x=0对称,所以y=f(x)的图象关于直线x=3对称.因为函数f(x)有且只有一个零点,所以f(3)=0,所以f(3)=23-3+2-3+3+Asin-,所以2+A=0,所以A=-2. 9.CD　选项A中,a,b的符号不确定,故不正确;选项B中,若b=0,则cb2=ab2=0,故B不正确;若0<a<1,则a3-a=a(a+1)(a-1)<0,故C正确;由糖水不等式可知选项D正确.故选CD. 10.BD　由条件可知θ为第三象限角,即π+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z, 则+kπ<<+kπ,k∈Z,所以是第二或第四象限角,故选项A错误;因为θ为第三象限角,则sin θ<0,cos θ<0,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+2×=,所以sin θ+cos θ=-,故选项B正确; 因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-2×=,所以sin θ-cos θ=±,故选项C错误;sin θ+cos θ=-,sin θ-cos θ=±联立方程,解得或则tan θ=2或tan θ=,故选项D正确.故选BD. 11.ABD　在同一坐标系作出y=x,y=-2|x|+4和y=2x的图象,如图所示,由f(x)=maxx,-2|x|+4,2x,当x<0时,令⇒可求得A(-1,2),当x>0时,令⇒可求得B(1,2),由题意可知f(x)=其图象是图中实线部分.对于选项A,由图可知函数f(x)的图象关于y轴对称,是偶函数,故A正确;对于选项B,C,由题可知,函数f(x)有最小值2,无最大值,故C错误,B正确;对于选项D,结合图形f(x)=3,显然有4个根,故D正确.故选ABD. 12.4　因为a>0,b>0,a+2b=2ab,得到+=1,所以a+2b=(a+2b)+=++2≥2+2=4,当且仅当=,即a=2,b=1时取等号. 13.(-∞,0]∪[1,+∞)　因为f(x)=3x+31-x,f(x)≥4,所以3x+3·3-x≥4,即(3x)2-4×3x+3≥0,所以(3x-1)(3x-3)≥0,所以3x≤1或3x≥3,解得x≤0或x≥1,即不等式f(x)≥4的解集为(-∞,0]∪[1,+∞). 14.-+kπ,-+kπ,k∈Z　x=-+,k∈Z　由题图可知,=-=,∴T=π,=π,∴ω=2,∴y=sin2x+φ.又∵过点,0,∴sin2×+φ=0,即+φ=kπ,∵φ∈(0,π),令k=2,则φ=. ∴y=sin2x+,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是-+kπ,-+kπ,k∈Z. 令2x+=+kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=-+,k∈Z. 15.解:(1)因为a=2,所以B={x|(x+2)(x-2)<0}={x|-2<x<2}.因为A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},所以A∪B={x|-2<x<3}. (2)由x2-2x-3<0,得-1<x<3,所以A=(-1,3).因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以集合A是集合B的真子集,所以B≠⌀,故a≠-2. 当a<-2时,B={x|a<x<-2},此时A⊈B; 当a>-2时,B={x|-2<x<a},此时A⫋B,a≥3. 综上,当“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件时,实数a的取值范围为[3,+∞). 16.解:(1)∵角α的终边经过点P(-3,-4),∴|OP|=5(其中O为坐标原点),sin α=-,tan α=. (2)f(α)======-. 17.解:(1)f(x)=sin ωx+cosωx++=sin ωx+cos ωx-sin ωx+=sin ωx+cos ωx+=sinωx++,函数g(x)=fx--=sinωx-ω+.因为g(x)为奇函数,所以ω-=kπ,k∈Z,解得ω=12k+2,k∈Z.因为0<ω<3,所以ω=2,f(x)=sin2x++,要求函数f(x)的单调递增区间,只需满足条件-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z). (2)由2[f(x)]2-5f(x)+3=0,解得f(x)=或1,当f(x)=时,sin2x+=2,这时不成立,当f(x)=1时,sin2x+=1,2x+=,x=, 所以方程2[f(x)]2-5f(x)+3=0的根为. 18.解:(1)设y1=,k1≠0,y2=k2x,k2≠0,其中x>0, 当x=8时,y1==2,y2=8k2=6.4,解得k1=20,k2=0.8, 所以y1=,x>0,y2=0.8x,x>0. (2)设两项费用之和为z(单位:万元)则z=y1+y2=+0.8x=+0.8(x+2)-1.6≥2-1.6=6.4,当且仅当=0.8(x+2),即x=3时,等号成立,所以这家公司应该把仓库建在距离车站3千米处才能使两项费用之和最小,最小费用是6.4万元. 19.解:(1)由题意知f(x)-g(x)=2e-x,令-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2ex, 即f(x)+g(x)=2ex,联立方程解得f(x)=ex+e-x,g(x)=ex-e-x. (2)已知g(x2+3)+g(1-ax)>0在(0,+∞)上恒成立,因为g(x)=ex-e-x是R上的奇函数且单调递增,所以g(x2+3)>g(ax-1)在(0,+∞)上恒成立.所以x2+3>ax-1在(0,+∞)上恒成立,即a<x+在(0,+∞)上恒成立,所以a<x+min. 因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立, 所以a<4. (3)设h(x)=,因为∀x1∈[0,1],∃x2∈[m,+∞),使g(x2)=成立,所以函数h(x)的值域包含于g(x)的值域,因为g(x)=ex-e-x,函数单调递增,所以函数的值域是[em-e-m,+∞),记g(x)在[m,+∞)上的最小值为g(x)min,h(x)在[0,1]上的最小值为h(x)min,由题意,只需g(x)min≤h(x)min,因为g(x)=ex-e-x为R上的增函数,所以g(x)min=em-e-m.当m≥0时,因为h(x)在(-∞,m)上单调递增,在(m,+∞)上单调递减,所以当x∈[0,1]时,h(x)min={h(0),h(1)},于是 由h(0)=e-|m|≥em-e-m,得em≤2e-m,即e2m≤2,解得m≤ln 2. 考虑到m≤ln 2<1,故h(1)=e-|1-m|≥em-e-m,即e2m≤, 解得m≤ln .因为<2,所以0≤m≤ln . m<0时,h(x)在[0,1]上单调递减,所以h(x)min=h(1)=em-1.又em-1>0,em-e-m<0,所以对任意m<0,恒有h(1)=em-1≥em-e-m=f(x)min恒成立. 综上,实数m的取值范围为-∞,ln . ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $