精品解析：陕西咸阳市乾县薛录高中2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 六棱台的顶点数和棱的条数分别为（ ） A. 6， B. ，6 C. ， D. ， 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，在梯形ABCD中，，，，，将梯形绕着AD所在的直线旋转一周，得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（ ） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 45海里 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. （ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列几何体中为棱柱的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 对任意实数，都有 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线与AB交于点D，，且，则（ ） A. B. C. D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则的面积为______． 14. 已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，，． （1）若，求点的坐标； （2）若A，C，P三点共线，求的值． 16. 已知复数． （1）若，求m，n的值； （2）若z是方程的一个复数根，求m，n的值． 17. 如图，在中，，，，D是BC边上的点，且． （1）求； （2）求． 18. 一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． （1）求该圆锥体石膏的体积； （2）若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； （3）将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 19. 如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，，，H为BD与FG的交点． （1）当时，用，表示，． （2）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 六棱台的顶点数和棱的条数分别为（ ） A. 6， B. ，6 C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】由六棱台的性质可知，上、下底面各有6个顶点，共计个， 上、下底面各有6条边，侧棱有6条，共计条． 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】， 复数在复平面内对应点为，位于第二象限． 4. 下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】对于A：因为，所以向量和不共线，它们可以构成平面的一组基底，因此可以表示向量； 对于B：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量； 对于C：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量； 对于D：因为是零向量，零向量与任何向量共线，不能构成基底，所以不能表示向量. 5. 如图，在梯形ABCD中，，，，，将梯形绕着AD所在的直线旋转一周，得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得所得旋转体为圆台，利用圆台体积公式计算即可得解. 【详解】所得旋转体为圆台，该圆台上底面半径为、下底面半径为， 高为 ，故 . 6. 如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（ ） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 45海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用方位角求出三角形的相关角度，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数定义列方程求解即可. 【详解】设渔船航行路程为，所以海里，由已知，所以， ，延长，过点作延长线于，所以， 设，因为，所以，，，， ，所以，，所以，，所以，解得， ，所以（海里），此时渔船与灯塔的距离为海里. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ，  因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为 ，可得， 综上，的取值范围为 . 8. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列几何体中为棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查空间几何体的结构特征，主要依据棱柱的定义进行判断。棱柱的定义是：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。 【详解】选项A：前后两个面是互相平行的三角形，其余各面（侧面）都是四边形（矩形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是三棱柱，故A正确； 选项B：上下两个面是互相平行的四边形，其余各面（侧面）都是四边形（平行四边形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是四棱柱，故B正确； 选项C：侧棱不互相平行（有的长有的短，且方向不同），不符合棱柱侧棱互相平行的特征，故C错误； 选项D：上下底面平行但不全等（大小不同），侧棱延长后交于一点，符合棱台的定义，是四棱台，不是棱柱，故D错误. 10. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 对任意实数，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用向量模长与数量积的关系求出，再逐一验证各选项 【详解】首先由，两边平方得， 代入，解得. 对于A，，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，这是关于的二次函数，当时，取得最小值为，故，即，故D正确. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线与AB交于点D，，且，则（ ） A. B. C. D. 面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，结合和差公式可求得；由，可得，结合基本不等式可得，再由余弦定理可求得的最小值为；由常值代换可求得；面积的最小值为. 【详解】如图： 由正弦定理得 ， 又，， 化简得 ， 即， 又 ， 故 ，又， ， 又，，故A正确； 由得，， 整理得，当且仅当时取等号. 由余弦定理得 ， 由函数的单调性知当时，取得最小值，取得最小值，故B错误； 由得， 所以，又， 当且仅当时，即时取等号，所以，故C正确； ，，当且仅当时取等号， 故D 正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，则， 还原直观图得，， ． 14. 已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，因此. 已知 是的重心，满足 ，且，代入得： . 取中点，是外心，故，即 ，且， 是中点，故 ，代入得 . 因此 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，，． （1）若，求点的坐标； （2）若A，C，P三点共线，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，先求得的坐标，再利用平面向量线性运算坐标表示计算求解； （2）用表示点的坐标，再利用三点共线对应向量共线的坐标表示列方程求解即可. 【小问1详解】 设，则， 若，则， 即， 所以，解得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 设，， 则， 所以，解得，即， 则， 若A，C，P三点共线，则与共线， 所以，解得. 16. 已知复数． （1）若，求m，n的值； （2）若z是方程的一个复数根，求m，n的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据复数相等的条件，列出关于的二元一次方程组求解； （2）解一元二次方程求出复数根，分两个根分别讨论，分别利用复数相等构造方程组求解． 【小问1详解】 已知复数 ，则 ，解得． 【小问2详解】 ,解得 ， 若，则，解得； 若，则，解得． 17. 如图，在中，，，，D是BC边上的点，且． （1）求； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线段关系求出的长，在中利用余弦定理求出即可. （2）在中利用余弦定理求出，最后在中利用余弦定理及同角三角函数关系求解. 【小问1详解】 由题意可知， D是BC边上的点，且，所以, 在中，根据余弦定理，，所以. 【小问2详解】 在中，根据余弦定理，， 所以，在中，， 因为 ，所以. 18. 一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． （1）求该圆锥体石膏的体积； （2）若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； （3）将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求得圆锥底面圆半径和高，进而根据圆锥体积公式进行求解； （2）通过展开圆锥侧面，得到B到C的最短距离为线段BC的长度，结合弧长的公式进行求解； （3）将圆锥内切球的半径等价为圆锥轴截面三角形内切圆的半径，结合球体的表面积公式进行求解. 【小问1详解】 设为底面圆的半径，为圆锥的高， 因为是边长为8的等边三角形， 所以，， 因此圆锥体石膏的体积 . 【小问2详解】 圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8， 所以 ，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示， ， ，，， 所以到的最短距离， 即昆虫爬行的最短距离为. 【小问3详解】 圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径， 设圆锥内切球的半径为，， 此时球的表面积 . 19. 如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，，，H为BD与FG的交点． （1）当时，用，表示，． （2）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）求的取值范围． 【答案】（1）， （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合中点及共线向量的性质，将目标向量转化为用基底表示. （2）假设存在满足题意，利用向量垂直的充要条件建立关于的方程，求解并检验是否符合题意. （3）利用，，三点共线，设；利用，，三点共线，设，建立方程组，求出关于的表达式，进一步求出关于的表达式,进而计算数量积并求值域. 【小问1详解】 因为E是AB的中点，所以，，因此, , . 【小问2详解】 假设存在满足，则. 因为. 因为，, 所以 ， 解得，不符合题意. 故不存在满足. 【小问3详解】 连接，如图所示： 因为,所以，，，三点共线及，，三点共线. 设，，则. 得. 由平面向量基本定理得，，解得，. 所以，. 所以， . 由，得，，所以，，. 所以，的取值范围为. 【点睛】方法归纳： 1.利用平面向量基本定理，将目标向量转化为用基底表示，进而简化复杂的向量关系. 2.第（3）题，对于交点，通过两次三点共线条件建立参数关系，将数量积问题转化为单参数函数求值域. 易错归纳： 1.忽略参数范围，第（2）题，求出值，需要验证是否满足题意，否则容易误判存在满足题意. 2.基底数量积计算失误，计算时，需要正确熟记数量积公式，还要注意夹角为，避免用错余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $