专题03平移、轴对称专项训练（14大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期数学.

**基本信息** 以题型分层为框架，系统覆盖平移与轴对称的概念辨析、性质应用及实际问题，通过典例构建从基础到综合的解题逻辑链，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移|15题（5题型×3例）|含现象辨析、性质应用、作图及综合问题，结合实际场景（如绿地面积）|从平移概念到性质（对应点连线、图形全等），再到作图与实际应用，形成完整认知链| |轴对称|27题（9题型×3例）|涵盖图形识别、折叠、反射路径、垂直平分线及最值问题，注重动手操作|以轴对称性质为核心，延伸至镜面对称、折叠变换及“将军饮马”模型，强化推理意识| |分层精练|14题|分选择、填空、解答，梯度覆盖基础与综合应用|整合平移与轴对称知识点，通过变式训练提升知识迁移能力|

专题03平移、轴对称专项训练 题型梳理归纳 题型1.平移现象的辨析 题型2.图形平移性质应用题 题型3.平移实际应用 题型4.平移作图题 题型5.平移综合求解问题 题型6.轴对称图形识别判断 题型7.轴对称图形作图题 题型8.轴对称性质的应用 题型9.镜面对称问题 题型10.折叠问题 题型11.反射路径类问题 题型12.垂直平分线性质应用题 题型13.角平分线性质应用题 题型14.轴对称最值问题 题型15.分层精练14道题 核心题型精讲 题型1.平移现象的辨析 1．在安检时，背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（　　） A．位似 B．轴对称 C．旋转 D．平移 2．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是______________． 3．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是_____（填序号）． 题型2.图形平移性质应用题 1．如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形与相交于点H．若，，平移距离为8，则阴影部分的面积是（    ） A．40 B．58 C．64 D．80 2．如图，经过平移得到，连接、，若，则平移的距离为________． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，已知的顶点和点D都在格点上（小正方形的顶点称为格点），在方格纸内将经过一次平移后得到，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F． (1)请直接写出平移的方向，平移距离； (2)画出平移后的； (3)求线段平移至时扫过的图形面积． 题型3.平移实际应用 1．如图，长方形花园中，，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（   ） A．640 B．576 C．540 D．600 2．如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 3．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 题型4.平移作图题 1．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 题型5.平移综合求解问题 1．如图，将直角三角形沿着点到点的方向平移得到三角形，且交于点，，，，那么图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为______． 3．如图，矩形（长方形）中，，第1次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，第2次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，……，第次平移将矩形．沿的方向向右平移5个单位，得到矩形． (1)求和的长； (2)若的长为56，求的值． 题型6.轴对称图形识别判断 1．传统剪纸题材多为花鸟纹样，如今也可用于呈现前沿科技成果，这类作品被称为科技剪纸，既彰显国家科技成就，又赋予传统艺术新的生命力．下列科技剪纸图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有_____个． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 题型7.轴对称图形作图题 1．如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 2．如图，已知，在和上分别截取，，使，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，过射线上一点作，交于点，若，则_____． 3．如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a_____2（填“”“”或“＝”）． 题型8.轴对称性质的应用 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个成轴对称的图形中，对称轴被对应点所连线段垂直平分 B．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点不一定在这个角的角平分线上 C．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线是它的对称轴 D．两点之间，线段最短 2．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 3．如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 题型9.镜面对称问题 1．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 2．从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 3．电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 题型10.折叠问题 1．如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿所在直线折叠，，将图①纸带继续沿所在直线折叠成图②，则__________． 3．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，恰好与平行．若，求的度数． 题型11.反射路径类问题 1．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________． 3．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 题型12.垂直平分线性质应用题 1．如图，在中，点E在边上，是的垂直平分线，的周长为19，的周长为12，则线段的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____． 3．如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型13.角平分线性质应用题 1．如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，按下列步骤作图： 步骤1：以点C为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交BC、AC于点D、E； 步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M； 步骤3：作射线CM交AB于点F，若，则______． 3．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 题型14.轴对称最值问题 1．如图，点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，．点P在直线l上，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 2．如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 3．如图： (1)画出关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使得最小． 分层精练 一、单选题 1．下列图形对称轴最多的是（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 2．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 3．如图，将三角形沿的方向平移到三角形，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．10 D．12 4．小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 6．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 _______cm． 7．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是___． 8．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 三、解答题 9．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，连接，点B的对应点在边上，若平分，求的度数． 10．如图，某住宅小区内有两长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分为绿化，如图、图所示，道路的宽为，分别求出图、图中需要绿化的面积． 11．如图，与关于直线对称．直线交于点E、F，若，． (1)求的长度； (2)连接，与有什么位置关系？并说明理由． 12．如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 13．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． (1)在图中请画出平移后得到的； (2)若连接、，则这两条线段之间的关系是_______； (3)四边形的面积为___________． (4)画出点关于直线的对称点． 14．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平移、轴对称专项训练 题型梳理归纳 题型1.平移现象的辨析 题型2.图形平移性质应用题 题型3.平移实际应用 题型4.平移作图题 题型5.平移综合求解问题 题型6.轴对称图形识别判断 题型7.轴对称图形作图题 题型8.轴对称性质的应用 题型9.镜面对称问题 题型10.折叠问题 题型11.反射路径类问题 题型12.垂直平分线性质应用题 题型13.角平分线性质应用题 题型14.轴对称最值问题 题型15.分层精练14道题 核心题型精讲 题型1.平移现象的辨析 1．在安检时，背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（　　） A．位似 B．轴对称 C．旋转 D．平移 【答案】D 【详解】解：在安检时，背包随安检传送带移动，根据平移定义可知主要涉及的图形变换是平移． 2．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象．分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案． 【详解】解：利用平移的性质得：甲、乙、丙都可以变成边长为a和b的矩形，所用铁丝的长度都为：， 故． 故答案为：． 3．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是_____（填序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，进行判断即可．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：①在游乐场荡秋千是旋转，不是平移； ②转动的电扇叶片是旋转，不是平移； ③正在上升的电梯是平移； ④行驶的自行车后轮是旋转，不是平移； ⑤水平传送带上的物体是平移； ⑥飞机在跑道上滑行，直至停止是平移； 故答案为：③⑤⑥ 题型2.图形平移性质应用题 1．如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形与相交于点H．若，，平移距离为8，则阴影部分的面积是（    ） A．40 B．58 C．64 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 即. 2．如图，经过平移得到，连接、，若，则平移的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据平移的性质可知，图形平移后对应点所连线段平行且相等，所以平移得到的过程中，对应点所连线段的长度等于平移的距离． 【详解】解：∵经过平移得到，点与点是对应点，且， ∴平移的距离为． 故答案为：． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，已知的顶点和点D都在格点上（小正方形的顶点称为格点），在方格纸内将经过一次平移后得到，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F． (1)请直接写出平移的方向，平移距离； (2)画出平移后的； (3)求线段平移至时扫过的图形面积． 【答案】(1)平移的方向：点A到点D的方向；平移的距离是线段的长度： (2)见解析 (3)12 【分析】本题主要考查平移变换、利用网格面积等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由点A的对应点为点D可得平移方向，再根据勾股定理求出的长即为平移距离； （2）先根据平移的性质确定点E、F，然后顺次连接即可； （3）直接利用平行四边形的面积公式即可． 【详解】（1）解：∵点A的对应点为点D， ∴平移的方向：点A到点D的方向， ∵ ∴平移的距离是线段的长度． 综上，平移的方向：点A到点D的方向；平移的距离是线段的长度：． （2）解：如图：即为所求． （3） 解：线段平移至时扫过的图形面积为． 题型3.平移实际应用 1．如图，长方形花园中，，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（   ） A．640 B．576 C．540 D．600 【答案】C 【分析】利用平移将分散的绿化部分拼凑成一个完整的长方形，从而简化计算． 【详解】解：利用平移的性质，将图中的两条小路分别平移到长方形的边缘（例如最下方和最左侧），则剩余的绿化部分可以拼成一个新的长方形， 新长方形的竖直边长为，水平边长为， 花园中可绿化部分的面积为． 2．如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 【答案】171 【分析】利用平移的性质，将分散的草皮区域通过平移拼凑成一个完整的长方形，确定新长方形的长和宽，利用长方形面积公式求解． 【详解】解：利用平移的性质，将图中的阴影部分走道分别向右和向下平移至长方形的边缘，则剩余铺设草皮的部分可拼成一个新的长方形． 该新长方形的长为米，宽为米. 根据长方形的面积公式，得： ． 3．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)这个道路宽设计不达到要求 【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依照例题画出图形即可； （3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图： ； （3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米， 故答案为：； （4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． ， ∴这个道路宽设计不达到要求． 题型4.平移作图题 1．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①，②，不能拼成③， 故选C． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2．作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 【详解】解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)向右平移4个单位，向下平移1个单位 (3)8 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置； （2）利用平移的性质即可求解． （3）线段在平移过程中扫过部分是两个平行四边形的面积之和． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位． （3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为． 题型5.平移综合求解问题 1．如图，将直角三角形沿着点到点的方向平移得到三角形，且交于点，，，，那么图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等．根据平移性质利用梯形面积公式计算． 【详解】解：由平移可得，，， ，即， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为______． 【答案】1288 【分析】根据平移的性质，将三条小路分别平移到长方形草地的边缘，可得绿地部分拼成一个新的长方形，确定新长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意及平移的性质得： 绿地部分可拼成一个长方形， 其长为，其宽为， 则绿地面积为：． 3．如图，矩形（长方形）中，，第1次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，第2次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，……，第次平移将矩形．沿的方向向右平移5个单位，得到矩形． (1)求和的长； (2)若的长为56，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平移的性质得出，进而求出和的长； （2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出求出即可． 【详解】（1）解：∵，第1次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形， 第2次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形…， ∴ ， ∴， ∴的长为：； （2）解：∵ ，……， ∴， ∴， 解得：． 题型6.轴对称图形识别判断 1．传统剪纸题材多为花鸟纹样，如今也可用于呈现前沿科技成果，这类作品被称为科技剪纸，既彰显国家科技成就，又赋予传统艺术新的生命力．下列科技剪纸图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：、该图形无法找到一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形无法找到一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形右侧有斜向的飞行器，左侧没有对应部分，无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意． 2．下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有_____个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形性质来判断，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可得出答案． 【详解】（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形，轴对称图形对应线段相等，对应角相等，说法正确； （2）成轴对称的两个图形的对称轴可能在图形中间，说法不正确； （3）等边三角形三边相等，角相等，是轴对称图形且有三条对称轴，说法正确， 故答案为：2 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的性质，对称轴数量的判断是解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析，，， (2)是，见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图，再写出坐标即可； （2）先作出，再由轴对称的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所画， 由图可得：，，； （2）解：如图所示，为所画， 与成轴对称，直线即为所画． 题型7.轴对称图形作图题 1．如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 【答案】C 【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， 即直线垂直平分线段． 2．如图，已知，在和上分别截取，，使，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，过射线上一点作，交于点，若，则_____． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的作法、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的作法成为解题的关键． 由平行线的性质可得、，由作图可知平分，即，进而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故答案为：25． 3．如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a_____2（填“”“”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的做法即可求解． 【详解】解：由题意， ∵， ∴． 故答案为： 题型8.轴对称性质的应用 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个成轴对称的图形中，对称轴被对应点所连线段垂直平分 B．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点不一定在这个角的角平分线上 C．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线是它的对称轴 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】根据轴对称图形，成轴对称图形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等逐项判断即可． 【详解】解：对于A，根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，原说法颠倒关系，故A错误； 对于B，根据角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上，故B错误； 对于C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的高线是线段，正确表述为等腰三角形底边上的高线所在直线是它的对称轴，故C错误； 对于D，“两点之间，线段最短”是基本几何事实，说法正确． 2．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 3．如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【答案】 【详解】解：∵，分别是点关于、的对称点，， ∴，， ∴， 即的周长为． 题型9.镜面对称问题 1．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 2．从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 3．电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．平面镜成像左右颠倒，数字本身也左右翻转；数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变；左右位置互换，因此平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟显示“”，在平面镜中左右颠倒，数字翻转：数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变； 左右位置互换，实际右边分钟22翻转后为55移到左边，实际左边小时11翻转后为11移到右边，故平面镜中的像为“”． 故答案为． 题型10.折叠问题 1．如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠可知，，再根据已知条件和平行线的性质求出和，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿所在直线折叠，，将图①纸带继续沿所在直线折叠成图②，则__________． 【答案】 【分析】根据平行的性质，折叠的性质得到，，由，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，恰好与平行．若，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，根据平行线的性质得到，进而得到，即可求出． 【详解】解：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型11.反射路径类问题 1．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 2．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________． 【答案】674 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为674． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 3．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型12.垂直平分线性质应用题 1．如图，在中，点E在边上，是的垂直平分线，的周长为19，的周长为12，则线段的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】由是的垂直平分线，可得，由的周长为19，的周长为12，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为19，的周长为12， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质．解题的关键在于正确表示线段之间的数量关系． 2．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____． 【答案】13 【分析】当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，最小值为AB+AC的长． 【详解】解：如图， ∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴△ACP的周长=AP+PC+AC=BP+AP+AC≥AB+AC， ∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小， ∵AB=9，BC=7，AC=4， ∴△ACP的周长9+4=13， ∴△ACP的周长最小值为13， 故答案为13． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 3．如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接，作的垂直平分线，作，交于点，则点即为所作． 【详解】解：如图，点即为超市的位置． 题型13.角平分线性质应用题 1．如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线，限定工具作图，角的和差；根据图中尺规作图得平分，再结合角的和差计算即可． 【详解】解：根据图中尺规作图得， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 2．如图，在中，，按下列步骤作图： 步骤1：以点C为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交BC、AC于点D、E； 步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M； 步骤3：作射线CM交AB于点F，若，则______． 【答案】10.5 【分析】通过面积之比来反推边长之比，从而得出BF长，再得出AB长． 【详解】解：∵点F在∠ACB平分线上， ∴△BCF和△AFC等高， ∴， 当△BFC以BF为底，△AFC以AF为底时， 两三角形高相等， 故， 又AF=4.5， ∴， 解得BF=6， ∴AB=AF+BF=6+4.5=10.5， 故答案为：10.5. 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质、三角形面积之比与底边的关系，掌握这些性质是解决本题的关键． 3．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 题型14.轴对称最值问题 1．如图，点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，．点P在直线l上，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，则，当三点共线时，最小． 【详解】解：点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，可得， ∴， 当三点共线时，最小，为， ∵， ∴的最小值为． 2．如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称结合线段和最小问题，三角形的内角和定理，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，则：，当在线段上时，四边形的周长最小，根据对称性结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图： (1)画出关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，作图－轴对称变换，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键． （1）根据轴对称的性质分别作出、、三点关于轴的对称点、、，依次连接各点即可； （2）由于点关于轴对称的点为，则，连接交轴于点，则点即为所求点． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点P即为所求． 分层精练 一、单选题 1．下列图形对称轴最多的是（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，分别确定各选项图形的对称轴条数，比较后即可得到结果． 【详解】解：∵ 正方形有4条对称轴． 等边三角形有3条对称轴． 圆过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴． 正五边形有5条对称轴． ∴ 对比可知，圆的对称轴数量最多． 2．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，将三角形沿的方向平移到三角形，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用平移的性质得到，，然后利用，，得到，从而得到的长． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形处．， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质，根据在平面镜中的像与现实中得事物刚好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，分析即可求解． 【详解】解：根据镜面对称得性质，分析可得此时的时间应是． 故选：A． 二、填空题 5．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设光线在上方平面镜的反射点为点A、在下方平面镜的反射点为点B， 根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ， 两个平面镜平行， ， 根据光的反射性质、光线在点B处再次反射， ， ． 6．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 _______cm． 【答案】12 【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的关键是利用垂直平分线的性质． 【详解】解：∵边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E， ∴，， ∵， ∴的周长 ＝12， 故答案为：12． 7．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是___． 【答案】书，图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是根据轴对称的性质作出图形． 根据轴对称图形的性质画出图形即可解答． 【详解】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 8．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 三、解答题 9．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，连接，点B的对应点在边上，若平分，求的度数． 【答案】 【分析】由平移性质可知，，，由平行线的性质得出，求出，由角平分线的定义得出，由平行线的性质分别求出进而求出的度数． 【详解】解：由平移性质可知，，， ． ， ． 又平分， ． ， ， ， ． 10．如图，某住宅小区内有两长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分为绿化，如图、图所示，道路的宽为，分别求出图、图中需要绿化的面积． 【答案】图中需要绿化的面积为，图中需要绿化的面积为 【分析】本题的核心思路是平移法：将分散的绿化部分通过平移拼接成一个完整的新长方形，直接计算其面积，避免复杂的分割计算． 【详解】解：利用平移将图变为 ； 利用平移将图变为 ． 11．如图，与关于直线对称．直线交于点E、F，若，． (1)求的长度； (2)连接，与有什么位置关系？并说明理由． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由轴对称的性质得，进而可解； （2）连接交直线于点，由轴对称得直线垂直平分线段，，进而可得． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ． ； （2）解：． 理由如下：连接交直线于点， 与关于直线对称， ∴直线垂直平分线段，直线垂直平分线段， ， ． 12．如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可； （2）延长与直线m相交，作夹角的平分线即可； （3）分别以点B为圆心，以为半径和以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点． 【详解】（1）解：如图1所示，直线即为所求 （2）解：如图2所示，直线即为所求 （3）解：如图3所示，点即为所求 13．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． (1)在图中请画出平移后得到的； (2)若连接、，则这两条线段之间的关系是_______； (3)四边形的面积为___________． (4)画出点关于直线的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)25 (4)见解析 【分析】（1）观察得点C平移到点D的平移规则：向右平移3个单位，向下平移2个单位， 按照同样规则平移点A得到对应点E，平移点B得到对应点F，顺次连接E、F、D，即得到平移后的； （2）根据平移的性质解答即可； （3）利用“割补法”进行求解即可； （4）观察网格，线段的走向是“向右6格，向上3格”，将从点D“向右移动3格，再向下移动6格”得到格点M，连接，此时，垂足为点N，观察网格，点D位于点N“向上2格，向左1格”的位置，则从点N“向下移动2格，向右移动1格”得到格点G，此时，则点G即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据平移的性质，平移后所有对应点的连线平行且相等，、都是平移的对应点连线， 因此，线段与之间的关系是平行且相等； （3）解： 因此，四边形的面积为25； （4）解：如图，点即为所求． 14．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $