专题07定义、命题、证明专项训练(7大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

**基本信息** 聚焦定义、命题、证明核心概念，通过8类题型构建从概念辨析到推理应用的完整逻辑链，分层精练14题强化中考高频考点突破，培养推理意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型梳理归纳|8类题型|覆盖命题判断、题设结论、真假辨析等基础到综合类型|从命题定义生成到逆命题、互逆定理的性质推导| |核心题型精讲|7题型各3题|结合回文数、几何命题等实例强化概念应用|通过正反例分析深化对命题真假的逻辑推理| |分层精练|14道题|选择、填空、解答题梯度设计，含代数背景推理题|从基础巩固到综合应用，契合中考命题趋势|

专题07定义、命题、证明专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断是否是命题 题型2.写出命题的题设与结论 题型3.判断命题真假 题型4.举例说明假（真）命题 题型5.写出命题的逆命题 题型6.以代数为背景的推理与论证 题型7.互逆定理 题型8.分层精练14道题 核心题型精讲 题型1判断是否是命题 1．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 2．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 3．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？ （1）作，（ ）      （2）两个锐角互余．（    ） （3）直线a与b有可能垂直．（ ）      （4）作射线．（    ） （5）作直线．（ ）      （6）整数一定是有理数．（    ） 题型2写出命题的题设与结论 1．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 2．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 3．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 题型3判断命题真假 1．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②内错角相等；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④在同一平面内，对于直线，，，如果，，那么；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 3．说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 题型4举例说明假（真）命题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．钝角三角形中有两个锐角 2．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 3．判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 题型5写出命题的逆命题 1．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 3．举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 题型6以代数为背景的推理与论证 1．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 3．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 题型7互逆定理 1．定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是（   ） A．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B．到角两边距离不相等的点不在这个角的角平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离不相等 D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 2．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 分层精练 一、单选题 1．下列语句中，是真命题的是（   ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等 2．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．下列命题中，真命题的是（     ） ①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 4．下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 5．命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是______命题.（填“真”或“假”） 6．暑假里，音乐王老师接到排练大合唱的通知，她用打电话的方式通知40名成员，如果每通知一人需1分钟，至少________分钟后可通知到所有的成员． 7．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 三、解答题 8．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 9．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 10．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 11．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 12．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    13．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 14．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07定义、命题、证明专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断是否是命题 题型2.写出命题的题设与结论 题型3.判断命题真假 题型4.举例说明假（真）命题 题型5.写出命题的逆命题 题型6.以代数为背景的推理与论证 题型7.互逆定理 题型8.分层精练14道题 核心题型精讲 题型1判断是否是命题 1．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 2．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 3．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？ （1）作，（ ）      （2）两个锐角互余．（    ） （3）直线a与b有可能垂直．（ ）      （4）作射线．（    ） （5）作直线．（ ）      （6）整数一定是有理数．（    ） 【答案】（1）不是，（2）是，（3）是，（4）不是，（5）不是，（6）是 【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答． 【详解】解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，是命题；故答案为：是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是． 【点睛】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键． 题型2写出命题的题设与结论 1．下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，由此即可得解． 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 3．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2） 解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 题型3判断命题真假 1．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②内错角相等；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④在同一平面内，对于直线，，，如果，，那么；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题，逐一分析每个命题的真假性即可． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行产生的同位角相等，不是对顶角，故①是假命题； ②只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，命题未给出两直线平行的条件，故②是假命题； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③是真命题； ④平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，如果，，那么，故④是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，即和为，设这组同旁内角分别为和，则此时，它们的平分线为和，平分，平分，则两个半角的和为，根据三角形内角和定理，两条角平分线的夹角为，即两条平分线互相垂直，故⑤是真命题． 2．下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 【答案】（3） 【分析】根据对顶角、平行公理、邻补角、平行线的性质等相关初中数学知识点，逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：（1）相等的角不一定是对顶角，因此（1）是假命题； （2）该命题未限定“在同一平面内”，因此（2）是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，因此（3）是真命题； （4）邻补角需要满足两个角有公共边，且另一边互为反向延长线，仅满足有一条公共边且互补的两个角不一定是邻补角，因此（4）是假命题； （5）只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，因此（5）是假命题； （6）同一平面内，两条直线不垂直，也可能相交不平行，因此（6）是假命题． 3．说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】见解析 【分析】根据题意写出已知和求证，再利用数的整除证明． 【详解】解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数． 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 题型4举例说明假（真）命题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．钝角三角形中有两个锐角 【答案】C 【分析】本题考查逆命题的真假判断．需要写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假． 逆命题是将原命题的条件和结论互换． 【详解】解：A选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵时，a可为2或， ∴ 逆命题为假命题． B选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵ 该条件符合（两边及其其中一边的对角），但不能保证三角形全等（如可能存在两个不全等的三角形满足条件）， ∴ 逆命题为假命题． C选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵ 立方运算具有唯一性，由 可以推出， ∴ 逆命题为真命题． D选项：原命题“钝角三角形中有两个锐角”的逆命题为“有两个锐角的三角形是钝角三角形”． ∵ 有两个锐角的三角形可能是锐角三角形或直角三角形，不一定是钝角三角形， ∴ 逆命题为假命题． 综上，逆命题是真命题的只有C选项． 故选：C． 2．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 【答案】对顶角相等（答案不唯一） 【分析】要说明小红的观点错误，只需举出一个原命题为真，交换题设与结论后得到的新命题为假的例子即可． 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，该命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论后得到新命题“相等的角是对顶角”，该命题是假命题， 例如不同三角板的直角都为，二者相等但不是对顶角， 因此该例子可以说明小红同学的观点是错误的. 故答案为对顶角相等（答案不唯一）. 3．判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 (3)假命题，反例见解析 (4)假命题，反例见解析 【详解】（1）解：“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题； （2）解：“四边形的两条对角线相等”是假命题，反例：普通的平行四边形（非矩形），对角线的长度不相等； （3）解：“若，则”是假命题，反例：当，时，，但，，此时； （4）解：“若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于”是假命题，反例：两个有理数和，它们的和为，而它们的积为． 题型5写出命题的逆命题 1．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根概念垂线性质平行线性质及逆命题真假判断，逐一分析每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：①一个数的平方根是它本身，则这个数是0，∴①正确． ②只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，题目未说明同一平面，∴ ②错误． ③只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，题目未说明两直线平行，∴③错误． ④“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等但不一定是对顶角，∴逆命题是假命题，④错误． 综上，正确的说法只有个，故选A． 2．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 3．举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假，正确写出逆命题是解此题的关键． （1）先写出原命题的逆命题，再根据数的整除判断即可； （2）先写出原命题的逆命题，再根据直角的概念判断即可． 【详解】（1）解：如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除，逆命题是如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题， 反例：30能被5整除，但个位数字不是5； （2）解：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题， 反例：两个角都是，但都不是直角． 题型6以代数为背景的推理与论证 1．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论． 【详解】解： 第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位， 第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位， 第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐， 第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人， 重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐， 重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人． 故选：B． 【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 【答案】 乙 【分析】（1）根据题意，每个运维站至少1台，先确定已分配4台，剩余2台需全部投放到同一运维站，分别计算不同投放的总利润，比较得到最大值对应的运维站即可； （2）根据题意，自由分配6台机器人，每个运维站最多3台，列举所有可能使总利润较大的分配方案，计算总利润后比较得到最大值即可. 【详解】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润： 若追加给甲：总利润为； 若追加给乙：总利润为； 若追加给丙：总利润为； 若追加给丁：总利润为； 因为，因此应优先追加投放给乙； （2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况： ①投放甲台，乙台，总利润； ②投放甲台，乙台，丁台，总利润； ③投放甲台，乙台，丁台，总利润； ④投放甲台，乙台，丁台，总利润； ⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润； 故最大总利润为元. 3．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 题型7互逆定理 1．定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是（   ） A．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B．到角两边距离不相等的点不在这个角的角平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离不相等 D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 【答案】A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”， ∵“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题， ∴定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”， 故选：A． 2．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案． 【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 3．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 分层精练 一、单选题 1．下列语句中，是真命题的是（   ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查真命题的判断，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据锐角与钝角的和、同旁内角性质、命题的定义及补角的性质进行判断即可． 【详解】解：两个锐角的和可能是锐角，直角，钝角，故选项A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故选项B为假命题； 过一点作直线的垂线不是命题，故选项C错误； 同角的补角相等，故选项D为真命题； 故选D． 2．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【详解】解：命题①，如果，，那么， ∵，∴， ∵， ∴，整理得， ∴该命题是假命题； 命题②，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 命题③，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 综上分析可知，组成真命题的个数为2，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 3．下列命题中，真命题的是（     ） ①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①∵钝角是大于且小于的角，直角为， ∴钝角大于直角，①是真命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题。 ③同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理， ∴③是真命题。 ④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行， ∴④是假命题 综上，真命题为①②③ 4．下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“若，则”是假命题，需找到一组a、b的值，使得成立但不成立，选项D中，，但，满足条件． 【详解】解：∵ 命题为假需满足且， 选项A：，，不符合； 选项B：，，不符合； 选项C：，即不成立，不符合； 选项D：，，即不成立，符合假命题条件． 故选：D． 二、填空题 5．命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是______命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了命题和定理，根据逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的，再根据三角形内角和定理判断其真假； 【详解】解：∵原命题“等边三角形三个内角都相等” ∴题设是“等边三角形”，结论是“三个内角都相等”， ∴逆命题是“三个内角都相等的三角形是等边三角形”， ∵三角形内角和为， ∴每个角为， ∴三角形三边相等， ∴三角形是等边三角形， 故答案为：真． 6．暑假里，音乐王老师接到排练大合唱的通知，她用打电话的方式通知40名成员，如果每通知一人需1分钟，至少________分钟后可通知到所有的成员． 【答案】6 【分析】题目主要考查推理结论，理解题意，根据题意分别得出某一分钟最多可通知的队员人数是解题关键． 【详解】解：第1分钟通知到1个队员， 第2分钟最多可通知到3个队员， 第3分钟最多可通知到7个队员， 第4分钟最多可通知到15个队员， 第5分钟最多可通知到31个队员， 第6分钟最多可通知到63个队员， 故答案为：6． 7．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 8．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 9．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 【答案】(1)两个数的绝对值相等；这两个数也相等；两个数的绝对值相等；这两个数也相等 (2)假命题，见解析 【分析】（1）根据命题改写的规则，将原命题拆分为“如果+条件，那么+结论”的形式，明确条件和结论． （2）通过举反例的方法，判断命题的真假． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 条件是：两个数的绝对值相等． 结论是：这两个数相等． （2）解：该命题是假命题． 反例：虽然，但是， 故原命题为假命题． 10．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 11．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 12．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 13．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)真命题，理由见解析 (3)4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 14．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $