精品解析：安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

高一数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 B. 对某品牌手机电池待机时间的调查 C. 对某校九年级（1）班学生视力情况的调查 D. 对长江水质情况的调查 2. 某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（ ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A. 175 B. 866 C. 751 D. 615 3. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（ ） A. 350 B. 345 C. 450 D. 485 5. 记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（ ） A. 86.7 B. 88.7 C. 90 D. 100 8. 如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数，则为纯虚数的充要条件是 C. 若复数，满足，则 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆 10. 某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，若八面体的各棱长均为1，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形为菱形 B. 八面体的体积为 C. 直线与平面所成角的大小为45° D. 二面角的正弦值是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本，的平均数为10，则该样本方差的最小值为______． 13. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____.  14. 如图，在梯形ABCD中，，CD=3，·=2·，且·=45，则∠BAD=____.  四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市出租车公司统计该公司某品牌出租车1~6月份的平均收入（单位:万元），其情况如下表所示: 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 白天 1.05 0.96 1.29 1.17 1.53 1.2 晚上 1.38 1.26 1.5 1.56 1.8 1.5 （1）试求1~6月份的平均收入及月收入的中位数； （2）甲、乙两位师傅打算合租该品牌的一辆出租车，其中甲师傅租白天、乙师傅租晚上，且租车时间所得利润归各自所有，若该品牌的出租车月出租费为0.81万元，根据1~6月份的收入数据，甲、乙两位师傅如何分配租金最为合理? 16. 已知复数 ， . （1）若在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上，求实数的值； （2）若，求实数的最值. 17. 某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: （1）求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. （2）两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? （3）从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 18. 在中，角的平分线交于点，. （1）若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. （2）若，求的最小值. 19. 在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. （1）求证:. （2）若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 B. 对某品牌手机电池待机时间的调查 C. 对某校九年级（1）班学生视力情况的调查 D. 对长江水质情况的调查 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面调查（普查）适合调查范围小、易实施、无破坏性的调查的特点，逐一分析四个选项的调查场景. 【详解】对于A：对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，适合抽样调查； 对于B：对某品牌手机电池待机时间的调查，具有破坏性，适合抽样调查； 对于C：对某校九年级（1）班学生的视力情况的调查，人数较少，适合全面调查； 对于D：对长江水质情况的调查，范围广，适合抽样调查. 2. 某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（ ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A. 175 B. 866 C. 751 D. 615 【答案】A 【解析】 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 3. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 4. 某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（ ） A. 350 B. 345 C. 450 D. 485 【答案】B 【解析】 【分析】先计算抽取的300名样本中至多阅读一本名著的人数，算出样本中该情况的频率，进而即得. 【详解】在这300人中，至多阅读一本名著的人数为（人）， 则高一全体名学生中，至多阅读一本名著的人数约为. 5. 记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和角公式与正弦定理将题设等式化成，结合角的范围即可求得角. 【详解】由，展开得， 由正弦定理，， 因， 代入可得， 即. 因为，所以 ，故， 则，又，所以. 6. 在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥补形为直三棱柱，利用直三棱柱外接球与三棱锥外接球相同的性质，先求底面正三角形外接圆半径，再结合棱柱高计算外接球半径，最终求出外接球表面积. 【详解】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 7. 某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（ ） A. 86.7 B. 88.7 C. 90 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分层抽样比例算出、社区各自抽取的样本量，再计算60名样本居民用水量的总平均数，最后套用分层随机抽样的总体方差公式计算得到方差估计值. 【详解】总人数为（人），抽取人，则抽样比为. 而社区的权重为，社区的权重为. 这两个社区的居民用水量的平均数的估计值为， 所以这两个社区的居民用水量的方差的估计值如下， 为. 8. 如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数，则为纯虚数的充要条件是 C. 若复数，满足，则 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合复数性质举出反例可得A、B、C，借助复数几何意义可得D. 【详解】A选项，若，则，但，故A错误； B选项，若，则为实数，故B错误； C选项，若，为任意复数，都满足，但不一定等于，故C错误； D选项，复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离， 若复数满足，则复数在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 10. 某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】BD 【解析】 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 11. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，若八面体的各棱长均为1，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形为菱形 B. 八面体的体积为 C. 直线与平面所成角的大小为45° D. 二面角的正弦值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正八面体的中心对称性，结合菱形判定、线面角定义、棱锥体积公式与二面角平面角的余弦定理，逐一验证各选项. 【详解】对于A：如图，连接交于点O，则点O为正方形的中心， 由对称性可知，， 所以四边形为平行四边形，又，故四边形为菱形，A正确； 对于B：该八面体的各棱长均为1，则其体积，B项正确； 对于C：由，，得， 在正方形中，，平面，平面， 又，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角. 由该八面体的棱长为1，得， 所以，所以，，C项正确； 对于D：取的中点为N，连接，，因为各棱长均为1，则， 则即为二面角的平面角. 由该八面体的棱长为1，得，， 所以， 所以二面角的余弦值是，正弦值为，D错误. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本，的平均数为10，则该样本方差的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平均数可求的关系，再结合二次函数可求方差的最小值. 【详解】由题设有即， 故样本方差， 故，当且仅当时等号成立， 故样本方差的最小值为， 故答案为：. 13. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____.  【答案】## 【解析】 【分析】设四棱锥的总体积为，利用同高不同底的棱锥体积比等于对应底边长（底面积）的比，结合已知比例​，分割几何体计算出平面上方（含顶点）部分的体积，即可求得上下两部分的体积之比. 【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V，在PD上取一点N，使，连接MN，AN，BD，BN， 如图.因为，所以且，又，所以， 则，所以A，B，M，N四点共面，即为截面. 又，其中， ，所以， 即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为，则下半部分的体积为， 所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为. 14. 如图，在梯形ABCD中，，CD=3，·=2·，且·=45，则∠BAD=____.  【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的分配律化简已知等式，推导出，再结合向量加法的三角形法则与数量积公式，建立关于的方程求解，进而求出，得到. 【详解】设，由，得， 即，所以， 所以|，所以，即. 又， 解得，所以，又，所以，即. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市出租车公司统计该公司某品牌出租车1~6月份的平均收入（单位:万元），其情况如下表所示: 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 白天 1.05 0.96 1.29 1.17 1.53 1.2 晚上 1.38 1.26 1.5 1.56 1.8 1.5 （1）试求1~6月份的平均收入及月收入的中位数； （2）甲、乙两位师傅打算合租该品牌的一辆出租车，其中甲师傅租白天、乙师傅租晚上，且租车时间所得利润归各自所有，若该品牌的出租车月出租费为0.81万元，根据1~6月份的收入数据，甲、乙两位师傅如何分配租金最为合理? 【答案】（1）中位数为（万元），平均收入为（万元） （2）甲师傅应该分担（万元），乙师傅应该分担（万元）. 【解析】 【分析】（1）先将 1~6 月的月收入数据从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数，再用所有数据的和除以数据个数计算平均收入； （2）先分别算出白天、晚上的平均收入，再按收入占比分配总租金，得到两位师傅各自应分担的金额. 【小问1详解】 1~6月份的月收入分别为2.43万元，2.22万元，2.79万元，2.73万元，3.33万元，2.7万元，所以中位数为 （万元）.平均收入为 （万元）. 【小问2详解】 由所给数据可知，出租车收入与时间段有关联，所以两位师傅的租金应该根据1~6月份的平均收入按比例分担. 而白天的平均收入为 （万元）， 晚上的平均收入为 （万元）， 所以甲师傅应该分担 （万元）， 乙师傅应该分担 （万元）. 16. 已知复数 ， . （1）若在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上，求实数的值； （2）若，求实数的最值. 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复平面第三象限角平分线上点的实部、虚部均为负数且相等的性质，列不等式与方程求解参数； （2）根据复数相等条件建立方程组，消元后将表示为的三角函数，再利用辅助角公式结合正弦函数的值域求的最值. 【小问1详解】 若z1在复平面内对应的点在第三象限的角平分线上，则且， 且 ，解得. 【小问2详解】 若，则，由①得 ③， 将③代入②中，得 ， 故， 因为 ，所以当 时，， 当 时，. 17. 某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: （1）求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. （2）两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? （3）从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 【答案】（1）82，77 （2）， （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图所有矩形面积和为1求出高一的未知参数，再分别计算高一、高二的累积频率，确定第80百分位数所在分组，最后代入百分位数计算公式求出对应结果； （2）1小时等于60分钟，分别统计高一、高二平均阅读时间超过60分钟的累计频率，即可得到两个年级对应情况的百分比； （3）先根据频率分布直方图得到两个年级阅读时间的众数，再以每组中点为代表计算两个年级的平均阅读时间，最后对比两个年级的众数和平均数结果，分析两个年级的阅读情况. 【小问1详解】 由题可知，， 所以. 设高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为m，则，解得. 设高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为n， 则，解得. 【小问2详解】 高一年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为， 高二年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为75， 平均数为. 高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为65， 平均数为. 由此可以看出，无论从阅读时间的众数来讲，还是从阅读的平均时间来看，高一年级都明显高于高二年级，所以高一学生的阅读情况要好于高二学生的阅读情况，这可能与高二的学业加重有关. 18. 在中，角的平分线交于点，. （1）若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. （2）若，求的最小值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出角，然后由正弦定理结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理得出外接圆的半径即可； （2）根据三角形的面积公式得到，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ①因为，角的平分线交于点，所以，， 所以，， 由正弦定理得，即， 代入数据得， 所以. ②设的外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以， 则的外接圆的周长. 【小问2详解】 由，所以，， 根据三角形的面积可得，即， 代入数据并化简得， 由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 因此，当是等腰三角形时，的最小值为. 19. 在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. （1）求证:. （2）若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定与性质推导平面平面，可得，结合为直角三角形推出平面，可知垂直平分，即可证得. （2）①由面面垂直的判定定理得平面平面，过作可得平面，结合，可知即为与平面所成角，结合已知边长计算即可得所求正弦值. ②利用线面角的几何意义，点到平面的距离等于线段的长度乘以与平面所成角的正弦值，代入数据计算即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. ，分别为的中点，. 又平面，平面， 平面. 平面，，平面， 平面平面. 又平面平面，平面平面， . 在中，，，， ，， ，又，， 平面，又平面，. 又∵是中点，∴垂直平分, ∴. 【小问2详解】 由（1）可知，平面，平面，平面平面. 如图，过点作，为垂足，则平面， 为与平面所成的角. 在等边中，， 在中，由，可得， ， 又，与平面所成角的大小为，即正弦值为. ②设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 则由①可知， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $