精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知单位向量，的夹角为60°，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得． 2. 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 3. 在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角解的个数，可得，求解即可. 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理可得==， 所以，解得， 所以外接圆的半径为8. 5. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，，，则△ABC的面积为（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，再由三角形面积公式计算． 【详解】由题意，，所以， 则. 6. 在中，G为重心，，则（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示，延长交于点，则点为的中点. ∴. ∵， ∴. 7. 已知向量，若t是实数，且，则的最小值为（    ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的坐标运算求出，再根据数量积的性质求得，进而可得最小值. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值. 8. 在锐角中，角所对应的边分别为，边与以其为底边的高相等，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，为的高， 在中，，所以， 因为，所以， 又因为，得， 由，得， 所以， 所以． 因为为锐角三角形的内角，所以， 所以， 而， 因为为锐角三角形的内角，所以，， 所以，解得， 由对勾函数的性质可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由二倍角公式， A为锐角，，，故A正确； ，故B错误； 由余弦定理得， 化简得，解得，故C正确，D错误． 10. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A. z的实部与虚部之积为 B. z的共轭复数为 C. z在复平面内对应的点在第三象限 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得，可得其实部与虚部，即可判断A的正误；根据共轭复数的定义，即可判断B的正误；根据复数的几何意义，可判断C的正误，求出，代入求模公式，即可判断D的正误. 【详解】由，得， 对于A，复数z的虚部为3，实部为2，实部与虚部之积为6，故A项错误； 对于B，z的共轭复数为，故B项正确； 对于C，z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C项错误； 对于D，， 所以，故D项正确. 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二倍角公式及三角恒等变换可求得判断A；由已知条件配方可求得判断C；进而利用余弦定理计算可得判断D；利用，求得判断B. 【详解】由，得， 所以，又因为，所以， 所以，所以，即， 所以，所以，故A错误. 又，所以，则，所以. 由，得， 所以，解得.故C正确； 由余弦定理可得， 所以，因为，所以，故BD正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则____. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 设向量、满足，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得，两个等式作差可得出的值. 【详解】由题意可得，上述两个等式作差得，解得. 14. 在中，内角的对边分别是，已知，，则____. 【答案】 【解析】 【详解】，所以， ，，， 即，，，， ， , 由余弦定理得，. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且． （1）求; （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先求出，利用平行关系构造方程求出，进而求出； （2）利用，结合已知条件构造方程求出，从而求解． 【小问1详解】 由题意得，，， ， ，解得，故， 故． 【小问2详解】 ， ，解得， ． 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小 （2）若，边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得，根据角C的范围，即可得答案. （2）由题意得，两边同时平方，化简整理，结合余弦定理，可得，根据正弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式，可得的表达式，根据条件，可得角A的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 则， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为锐角，所以，解得，则， 所以， 则， 则， 故中线CD的长度的取值范围为. 17. 在平行四边形中，，，，为中点，，． （1）若，求实数的值; （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，依题意可得，根据平面向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）依题意可得的坐标，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得． 【小问1详解】 在平行四边形中，，，， 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 为中点，所以，则 因为， 所以，则， 因为， 所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知： 所以，， ，对称轴为． ，当时，的最大值为， 当时，最小值为， 所以． 18. 已知函数，将的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度后得到函数的图象，且在区间上的最小值为1. （1）求m的值; （2）在锐角中，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式，从而得到的最小值，得到方程，求出； （2）先得到，利用三角恒等变换化简，结合角的范围，求出取值范围 【小问1详解】 的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到， 再向左平移个单位长度后得到， 当时，， 故当，即时，取得最小值，最小值为， 故，解得； 【小问2详解】 ，故， 因为为锐角三角形，所以，故， 所以，解得， 故 ， 因为为锐角三角形，所以， 解得，故，故， ，故， 所以的取值范围为. 19. 在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . （1）将复数表示为三角形式; （2）根据复数乘方公式，化简: 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，当时， ， 故； 【小问2详解】 ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知单位向量，的夹角为60°，则（    ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 3. 在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 5. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，，，则△ABC的面积为（    ） A. 2 B. C. D. 6. 在中，G为重心，，则（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知向量，若t是实数，且，则的最小值为（    ） A. B. 1 C. D. 8. 在锐角中，角所对应的边分别为，边与以其为底边的高相等，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，，，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A. z的实部与虚部之积为 B. z的共轭复数为 C. z在复平面内对应的点在第三象限 D. 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.若，则（    ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则____. 13. 设向量、满足，，则____. 14. 在中，内角的对边分别是，已知，，则____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且． （1）求; （2）若，求的值． 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小 （2）若，边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 17. 在平行四边形中，，，，为中点，，． （1）若，求实数的值; （2）求的取值范围. 18. 已知函数，将的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度后得到函数的图象，且在区间上的最小值为1. （1）求m的值; （2）在锐角中，若，求的取值范围. 19. 在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . （1）将复数表示为三角形式; （2）根据复数乘方公式，化简: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $