精品解析：河北省曲阳永宁中学等校2026届高三考前学情自测数学试题

高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，，所以． 2. 若(i为虚数单位)，则（ ） A. B. C. i D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，代入，计算即可． 【详解】由，因为， 故，因为， 故． 3. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对A：因为为奇函数，故A不满足条件； 对B：为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，故B不满足条件； 对C：为偶函数，在上单调递增，故C满足条件； 对D：，根据B选项可知，D不满足条件. 4. 已知数列是各项为正数的等比数列.若则公比（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】设公比为，则，，则， 故化简后得，有， 所以或（舍）或（舍）. 5. 已知的展开式中的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 12 B. 6 C. -16 D. -18 【答案】D 【解析】 【详解】令可得，，解得， 所以的展开式中的常数项为 ． 6. 已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，所以，所以， 该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为. 7. 在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与抛物线有交点转化为方程有正实数根求解. 【详解】因为，， 所以点在以为直径的圆上， 而以为直径的圆的方程为， 又点在抛物线上， 所以圆与至少有一个交点，且交点横坐标大于， 即至少有一个正根， 即至少有一个正根， 所以，解得. 8. 若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线则（ ） A. B. 双曲线C的焦距为定值 C. 若双曲线C为等轴双曲线，则 D. 若双曲线C的渐近线方程为，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由双曲线，得，解得，A正确； 对于B，由，得双曲线的焦距为，为定值，B正确； 对于C，由双曲线为等轴双曲线，得，解得，C正确； 对于D，由双曲线的渐近线方程为，得，解得，D错误. 10. 已知P，Q分别是正方体的棱，上的点，且，正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 平面 C. 的最小值为 D. 平面PBQ与平面ABCD的夹角的余弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题知四边形是平行四边形，进而判断A；假设平面，则可以推出，显然矛盾，进而判断B；将问题转化为在正方体表面上由点经棱到点的最短距离问题，再结合展开图形求解判断C；设，利用坐标法求解判断即可. 【详解】因为，所以四边形是平行四边形． 对于A选项，有，故A选项正确； 对于B选项，若平面，由平面得， 因为，，所以四边形是菱形，则，矛盾， 所以假设不成立，故B选项错误； 对于C选项，，即在正方体表面上由点经棱到点的最短距离问题， 可通过翻折转化为平面问题：，故C选项正确； 对于D选项，以为坐标原点建立空间直角坐标系，有，设， 则，所以，， 设平面的一个法向量为， 则由得，取，有， 而平面的一个法向量为， 记两个平面的夹角为，则，故D选项正确． 11. 已知是定义在上且恒为正的非常数函数，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取特殊值即可判断AB；当时，，两边同时取次方根即可判断C；设，，根据题设，结合等比数列求和公式即可判断D． 【详解】对于A选项，令，可得，， 所以，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 令，则，不满足， 故不是偶函数，故B选项错误； 对于C选项，由B可知，两边同时取次方根得， 可得到，故C选项正确； 对于D选项，不妨设，，则，取，， 所以， 因为，所以， 依次类推，所以，故，两边取对数可得， ， 所以， 所以，故D选项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标的加减法运算及向量的数量积的坐标运算可得. 【详解】由向量，，得， 又因为，得,所以 ，解得. 13. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得，再根据切化弦的方法，结合正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以，解得， 所以． 14. 有10个连续编号的座位(1到10)，随机安排4名红队队员、4名蓝队队员和2名白队队员入座，则红队队员中坐在最右边的队员的座位号的数学期望为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出随机变量的概率，再由期望公式利用组合数的性质求解. 【详解】设红队队员中坐在最右边的队员的座位号为随机变量， 则的可能取值为4，5，6，…，10，在10个位置中随机选择4个位置，共有种选择方法， 其中，若，则共有种选择方法，故， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某创业者计划开设一家咖啡店，他从本市已开业的15家规模相似的咖啡店中收集了以下数据：x表示周边一公里内日均人流量(千人)；y表示日均销售额(百元). x 4.2 5.2 5.2 6.2 6.2 6.2 5.2 7.2 9.2 8.2 8.2 8.2 9.2 9.2 10.2 y 34 38 40 40 46 52 42 52 54 47 58 69 64 74 70 经计算得 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）预测x=8时，y的估计值y₀; （3）计算变量x和y的样本相关系数r. 附：最小二乘估计公式分别为： 样本相关系数 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给数据，代入公式求解即可； （2）利用回归直线方程，求估计值即可； （3）根据相关系数公式求解. 【小问1详解】 ， 因为样本中心点在回归直线上，所以 ， 所以关于的线性回归方程为 ． 【小问2详解】 当时，的估计值 ． 【小问3详解】 . 16. 记中的内角所对的边分别为，且 （1）求; （2）设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角差公式和三角形内角和，将等式左边进行化简，再利用正弦定理，即可得角； （2）利用中线向量公式表示，两边平方进行化简，再结合面积公式和余弦定理，即可求得，从而计算面积. 【小问1详解】 依题意，， 所以， 又因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 依题意，，所以， 又由的面积，依题意，，所以， 由余弦定理可得，，所以， 所以，即，所以， 解得或（舍）． 所以的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面是正三角形，， （1）证明：; （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 取棱中点，连接，，， ∴在正三角形中，， ∵底面为菱形，， 是等边三角形，， 平面，平面，， 平面， 平面，， 在菱形中，，． 【小问2详解】 因为，，，由余弦定理可得，， 又，，由勾股定理可得， 又，，平面， 以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ，，， ，， 设是平面的一个法向量，则， 取，则， 又，又，，平面， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及过点即可求解； （2）（ⅰ）设，表示出直线的方程，根据直线与圆相切得出，分别为方程的两根，由韦达定理即可证明；（ⅱ）设，，表示出直线的方程，联立方程组得出两根之积与两根之和，结合直线的斜率为即可求解． 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 因为点在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，则直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 化简得：， 同理：， 所以，分别为方程的两根， 所以． （ⅱ）设，，直线， ， 化简得：， 由，联立消去y得： 所以，所以， 所以， 化简得：，所以或， 当时，直线， 所以在直线上，舍去． 所以，所以． 19. （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）设，记在区间上的值域为证明： （3）设证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数，可得，设，求导，分析函数的单调性，求函数最小值即可. （2）求导，分析函数的单调性，确定其最值，明确数列，的通项公式，再分组求和即可. （3）利用（2）的结论，结合倒序相加法，可得，再利用（1）的结论，可证. 【详解】（1）依题意，即恒成立，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以． （2）依题意，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以， 又，所以， 所以． （3）设， 则， 由（2）可知，， 所以，故， 又由（1）可知，，则有， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. 若(i为虚数单位)，则（ ） A. B. C. i D. 1 3. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是各项为正数的等比数列.若则公比（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知的展开式中的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 12 B. 6 C. -16 D. -18 6. 已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线则（ ） A. B. 双曲线C的焦距为定值 C. 若双曲线C为等轴双曲线，则 D. 若双曲线C的渐近线方程为，则 10. 已知P，Q分别是正方体的棱，上的点，且，正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 平面 C. 的最小值为 D. 平面PBQ与平面ABCD的夹角的余弦值的最大值为 11. 已知是定义在上且恒为正的非常数函数，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_______. 13. 已知，则_____. 14. 有10个连续编号的座位(1到10)，随机安排4名红队队员、4名蓝队队员和2名白队队员入座，则红队队员中坐在最右边的队员的座位号的数学期望为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某创业者计划开设一家咖啡店，他从本市已开业的15家规模相似的咖啡店中收集了以下数据：x表示周边一公里内日均人流量(千人)；y表示日均销售额(百元). x 4.2 5.2 5.2 6.2 6.2 6.2 5.2 7.2 9.2 8.2 8.2 8.2 9.2 9.2 10.2 y 34 38 40 40 46 52 42 52 54 47 58 69 64 74 70 经计算得 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）预测x=8时，y的估计值y₀; （3）计算变量x和y的样本相关系数r. 附：最小二乘估计公式分别为： 样本相关系数 16. 记中的内角所对的边分别为，且 （1）求; （2）设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面是正三角形，， （1）证明：; （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 19. （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）设，记在区间上的值域为证明： （3）设证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $