命题大赛 四川省雅安市2025-2026学年高一年级下学期末考试模拟数学试题

**基本信息** 覆盖三角函数、立体几何、向量等核心知识，创新设计“十四面体盲盒”表面积计算、声波过滤算法等情境题，体现数学眼光与应用意识，适配高一期末综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数定义、三角形类型判断、斜二测直观图面积|基础概念辨析，如终边过点求三角函数值| |多选题|3/18|圆锥性质、向量夹角与投影、三角函数图像性质|多维度能力考查，如圆锥侧面积与线面位置关系判断| |填空题|3/15|复数运算、三角恒等变换、四边形面积范围|开放探究，如无人机测绘四边形面积范围| |解答题|6/77|直角梯形向量应用、解三角形（选条件）、声波过滤算法（三角函数）、立体几何体积与垂直证明、圆内接四边形综合|分层设计，如解三角形选条件题；跨情境应用，如声波过滤算法函数建模|

四川省雅安市高一年级数学2025-2026学年度下学期末考试模拟试题 （人教A2019版·必修一二第5,6,7,8章） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C B D B C ABD ABD 题号 11 答案 AD 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．C 【分析】先计算点到原点的距离，再根据三角函数定义求得的值. 【详解】点到原点的距离为； 由，，，得. 故选：C 2．C 【详解】因为三条线段的长为4、6、8，所以满足任意两边之和大于第三边，故能构成三角形. 设此三角形最大角为，对应的边为8， 由余弦定理可得，可得为钝角， 故能组成钝角三角形. 3．A 【分析】根据斜二测画法中直观图与原平面图形的关系，先还原原平面图形，计算原平面图形的边长，即可计算面积. 【详解】由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，， 因为，，所以，所以， 所以. 4．C 【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可. 【详解】选项A：若，，或， A错误. 选项B：若，，则或，B错误. 选项C：因为，，则或，又因为，故，C正确； 选项D：若、，故， D错误. . 5．B 【详解】由题意，作图如下： 因为三点共线，所以可设 又，可得； 所以； 又因为三点共线，可设， 因此可得，解得； 所以 可得. 6．D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 7．B 【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为， 其中有个面为正方形，个面为正三角形， 其表面积为. 8．C 【分析】化简得到，得到的最大值为，最小值为，设的中点为，得到点和点都在轴上，由，得出，设的最小正周期为，列出关于的方程，求得，进而得到的值. 【详解】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得， 点是图象与轴的交点，可得， 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．ABD 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 10．ABD 【分析】由平面向量的坐标运算，结合向量夹角、平行、垂直的判定规则，以及投影向量的计算公式逐项分析判断. 【详解】选项A：易知 ，且 ， 说明与不共线，因此两向量夹角为锐角，A正确； 选项B：若，则 ，解得，B正确； 选项C：因为 ，所以 ， 解得 ，C错误； 选项D：投影向量公式为，代入 ， 得 ，D正确. 11．AD 【详解】由正弦函数的性质知，的最大值为1，A正确． 由，故不是对称轴，B错误． 因为，C错误． 由，得，即，，而， 所以时，时，故，D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12． 设 z=a+bi（a,b∈R），则 z=a−bi。 代入原式：(a+bi)+2(a−bi)=3a−bi=6-3i 所以a=2 b=3 |z|= 13．/ 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】因为， 则. 14． 【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式将化简得，所以为等边三角形.将四边形的面积用表示出来，结合，可求得四边形面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）(1)； (2). 【分析】（1）以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式即可求解； （2）设，确定，求出的表达式，即可求得答案. 【详解】（1）在直角梯形中，，，，，连接， 则，四边形为平行四边形，，， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，（2分） 则， 则，， （4分） 所以，（6分） 所以的余弦值为.（7分） （2）由（1）得，由点F在边上，设，（9分） 则，，而， 因此，（12分） 所以的取值范围为.（13分） 16．（本小题15分）(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，， 所以， （2分） 由正弦定理得，解得；（5分） （2）如图所示，若存在，设其边上的高为，    若选①，，因为，所以， 因为，这表明此时有两个钝角，而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； （按规则，这部分表达不给分） 若选②，， 由，有，即，所以， （8分） ，又因为，（11分） 这表明此时是存在的， 由，得， 所以边上的高是；（15分） 若选③，的面积是，则，（8分） 解得，由余弦定理可得，又因为，（11分） 这表明此时是存在的，由，即， 所以边上的高是.（15分） 17．（1）解：由振幅 A=2，周期 T=3得 ω=​ （2分） f(x)=2sin(x+φ)。 代入 (1,−2)：2sin(+φ)=−2⇒φ=​ （4分） f(x)=2sin(x+) （5分） （2）解： g(x)=−2sin[(x+)+]=2sin(x+) （8分） 当 g(x)取最大值时sin(x+)=1（8分） x+ = +2kπ 解得 x=+3k, k∈Z（9分） 取值集合为 {x∣x=+3k, k∈Z}。​ （10分） （3）解： h(x)=2sin[(x−φ0)+]=2sin(x−φ0+) （12分） 若 f(x)=h(x)，则相位差为2kπ： x+=x−φ0++2kπ 化简得：−φ0=−+2kπ （14分） （15分） 18．（Ⅰ）；（Ⅱ）平面，证明详见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）计算出的面积，利用等体积法可得出，即可得解； （Ⅱ）由三角形中位线的性质得出，进而利用线面平行的判定定理可得出结论； （Ⅲ）推导出平面，利用线面垂直的性质可得出. 【详解】（Ⅰ）的面积为，（2分） 平面， （5分） （Ⅱ）直线平面，证明如下： 由于、分别为、的中点，， 平面，平面，平面；（8分） （Ⅲ），为的中点，，（10分） 平面，平面，， 又四边形为矩形，， ，平面， 平面，，（12分） ，平面，（15分） 平面，， 因此，无论点在边的何处，都有.（17分） 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，同时也考查了线面平行的判定以及利用线面垂直证明线线垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，再结合可知四边形为等腰梯形，再利用梯形的边长计算即可； （2）先利用数量积的定义得出，再在中利用余弦定理可得，最后在中利用正弦定理得出外接球直径即可； （3）设，求出以及在中利用正弦定理得，，再利用得出，即可化简求出，进而得出，的值，最后利用面积公式即可. 【详解】（1）因，则，即， 则，，则， 结合，，得， 则四边形为等腰梯形，（3分） 则高为，（4分） 则， 结合图形可知，.（5分） （2）由题意可知，，得，（7分） 在中利用余弦定理可得，， 则，（9分） 设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得，， 故的最大值为.（11分） （3）设，，则， 因，则，，， 在中利用正弦定理得，，（12分） 则，（13分） 则，（14分） 且（因）， 即，即 又，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，则，（15分） 代入中得， 则，则，，（16分） 则，， 则四边形的面积为.（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 四川省雅安市高一年级数学2025-2026学年度下学期末考试模拟试题 双向细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 任意角的三角函数定义（由终边坐标求正弦值） 0.95 2 单选题 5 余弦定理；三角形形状判断 0.9 3 单选题 5 斜二测画法；直观图与原图面积互化 0.8 4 单选题 5 空间中线面位置关系的判定与性质 0.75 5 单选题 5 平面向量基本定理；向量共线定理（爪形图/梅涅劳斯定理） 0.7 6 单选题 5 正弦定理、余弦定理；三角恒等变换；解三角形多解问题 0.65 7 单选题 5 多面体表面积计算（截角立方体/半正多面体） 0.6 8 单选题 5 三角函数辅助角公式；三角函数图像与性质；y=Asin(ωx+φ)参数求解 0.55 9 多选题 6 圆锥的结构特征；线面平行的判定；线面垂直的判定；圆锥的侧面积 0.75 10 多选题 6 平面向量的数量积；向量平行与垂直的坐标运算；投影向量 0.7 11 多选题 6 正弦型函数的图像与性质（对称性、单调性、零点） 0.65 12 填空题 5 复数的代数运算；共轭复数；复数的模 0.9 13 填空题 5 二倍角公式；同角三角函数基本关系（弦化切） 0.8 14 填空题 5 解三角形；四边形面积最值；动态范围分析 0.55 15 解答题 13 空间几何体的线线角；空间向量的数量积运算及应用 0.85 16 解答题 15 正弦定理；同角三角函数关系；解三角形中的选填条件判断；三角形高的计算 0.7 17 解答题 15 三角函数解析式求解；诱导公式；三角函数求值与周期性 0.65 18 解答题 17 锥体体积计算；线面位置关系的判定与证明；线线垂直的证明（空间向量或几何法） 0.6 19 解答题 17 平面向量的线性运算与数量积；圆的性质；向量模的最值；四边形面积计算 0.4 Sheet2 Sheet3 $ 四川省雅安市高一年级数学2025-2026学年度下学期末考试模拟试题 （人教A2019版·必修一二第5,6,7,8章） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若三条线段的长分别为4，6，8，则用这三条线段（    ） A．能组成锐角三角形 B．能组成直角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B．12 C． D．6 4．已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 6．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．某文创品牌推出“十四面体盲盒”，外壳是用棱长为2的立方体亚克力块截去八个顶角制成（如图），求单个盲盒的外表面积（    ） A． B． C． D． 8．函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 10．已知向量，，，则（    ） A．的夹角为锐角 B．若，则 C．若与垂直，则 D．在上的投影向量是 11．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的图象关于直线对称 C． D．在上的两根和为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知复数z满足__________. 13．若，则__________. 14．无人机测绘测得△ABC是等边三角形，在区域外有一点D满足DC=1,DA=2，可测绘的四边形ABCD面积范围为___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点. (1)设和交于点G，求∠EGB的余弦值； (2)若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围. 16．（本小题15分）在中，，． (1)求： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答得分． 17．（本小题15分）某科技公司研发了一种新型声波过滤算法。已知原始噪声信号对应的函数为  （，,），其振幅为2，周期为3，且经过点 (1,−2)。 （1） 求函数的解析式； （2）定义过滤后的信号函数为。求函数取得最大值时 x的取值集合； （3）若将向右平移（>0）个单位，得到的信号与原始信号完全重合（即=）。求的最小正值。 18．（本小题17分）如图：平面，是矩形，，，点是的中点，点在边上移动. （Ⅰ）求三棱锥的体积； （Ⅱ）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）证明：无论点在边的何处，都有． 19．（本小题17分）我们知道，正弦定理和余弦定理可以准确地刻画三角形中的边角关系．由于四边形可以分割为三角形，从而正余弦定理也可以解决有关四边形的问题．圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点C是外接圆上的一个动点（点O，C在直线两侧），记． (1)若，求θ的值； (2)若，求的最大值； (3)若点C满足，，求四边形的面积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $