精品解析：四川省雅安市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

雅安市2024-2025学年下期期末教学质量检测高一年级 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的虚部概念即可求得结果. 【详解】因为复数，则的虚部是， 故选：B 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正切函数的周期公式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期为. 故选：A. 3. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的第20百分位数是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可得出答案. 【详解】把样本数据由小到大重新排序： 因为，所以样本数据的第百分位数是第个数据. 故选：B 4. 在正方体中，直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，连接，证明可得或其补角即为直线与直线所成的角，在中求即可求解. 【详解】设正方体的棱长为，连接， 因为且，所以四边形是平行四边形， 可得， 所以或其补角即为直线与所成的角， 在中，，所以， 所以直线与所成角大小为， 故选：C. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及大边对大角即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，由于，所以或. 故选：A 6. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由线面、面面关系平行性质依次分析选项可得答案． 【详解】对于A，若，则可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，则可能平行或异面，故B错误； 对于 C，若，由直线与平面平行性质可得，故C正确； 对于D，若，则平面可能重合或平行，故D错误． 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，利用两角和与差的余弦公式展开，解方程可得，，进而求得答案. 【详解】由，得， 解得，， 所以. 故选：D. 8. 菱形的边长是2，且在方向上的投影向量为，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在方向上的投影向量为，可得，利用向量线性运算用表示，由数量积的分配律运算得解. 【详解】由菱形的边长为2，在方向上的投影向量为， 所以，得， 又，故， 又，则 . 故选：A. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法，从500个学生中抽取一个容量为50的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为17，女生样本的均值为165，方差为30，则下列说法正确的是（ ）（注：总体划分为2层，通过分层抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则 A. 抽取的男生人数为30 B. 抽取的女生人数为20 C. 估计该校高中学生身高的总体均值约为170 D. 估计该校高中学生身高的总体方差约为46.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义，结合平均数、方差的计算公式逐项求解判断. 【详解】对于A，抽取的样本里男生有人，故A正确； 对于B，抽取的样本里男生有人，故B正确； 对于C，该学校学生身高的平均值，故C错误； 对于D，该学校学生身高的方差，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由题求出周期，进而求得；对B，由题求出函数的解析式，进而求出的解析式判断；对C，利用图象变换求出解析式判断；对D，利用正弦型函数的单调性可判断. 【详解】对于A，由题，可得，，则，故A正确； 对于B，由A，，所以，又， 所以，故， 所以是偶函数，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位得到 ，故C正确； 对于D，由，则，当，即时，取最小值， 故在上不是单调递增函数，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径的圆上一动点（异于），与圆柱的底面圆交于点，若平面平面，则（ ） A. B. 直线与直线有可能垂直 C. 与平面所成角的余弦值的取值范围为 D. 三棱锥的外接球的表面积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由题可得，利用线面平行的性质定理判断；对B，利用反证法，推出矛盾；对C，由题可得平面，故是与平面所成角，在中，，，运算得解；对D，由均是以为斜边的直角三角形，得三棱锥的外接球的球心为的中点，求出半径得解. 【详解】对于A，在平面中，分别为两圆的直径， 所以，，故， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以，故A正确； 对于B，假设，又由A，得， 又平面，，所以平面， 又平面，则，即， 由圆柱的对称性可得，则， 显然矛盾，所以假设错误，直线与直线不可能垂直，故B错误； 对于C，因为垂直圆柱底面圆，所以，又， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 所以是与平面所成角， 在中，，，则， ，故C正确； 对于D，由题，均是以为斜边的直角三角形， 所以三棱锥的外接球的球心为的中点，又， 所以外接球的直径，则三棱锥的外接球的表面积，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】取正棱台的轴截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，截取棱台过侧棱的轴截面，为侧棱，， 则，，， 所以，即棱台的高为2， 所以棱台的体积. 故答案为：. 14. 在中，为坐标原点，，，，则面积的最大值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】如图，点在线段上运动，点在线段上运动，设与交于点，由相似三角形可得，进而得，所以，利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的单调性求解. 【详解】如图，由题，点在线段上运动，点在线段上运动， 设与交于点，设， 由，得，故， 所以， 所以 ， 又，则，， 当且仅当，即时，面积取得最大值，最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）当时，求； （2）设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 【答案】（1）1 （2）1或 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的定义及复数除法运算，复数模公式求解； （2）由题，利用复数的几何意义求得，，利用两向量垂直的坐标关系求解. 【小问1详解】 当时，，则， ， . 【小问2详解】 由题，，所以，， 则， 由，则，解得或. 16. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 4 22 38 28 8 （1）在答题卡上按照示例补全这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【答案】（1） （2） （3）能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出各组的频率，补全频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图估算平均数公式计算得解； （3）由题，计算质量指标值不低于90的产品所占比例的估计值，与大小比较判断. 【小问1详解】 由频数分布表中对应频数，可得频率分布直方图中各个小长方形的高，直方图如图. 【小问2详解】 这种产品质量指标值的平均数为 . 【小问3详解】 质量指标值不低于90的产品所占比例的估计值为, 所以能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若的周长为，求边上的中线的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求； （2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求边上中线的长． 【小问1详解】 由，得，又， ，得，又， ， 由及正弦定理得， 所以，又，， ，得. 【小问2详解】 由（1）知，，，则， 所以，又，得， 因为的周长为，所以，解得， 设的中点为，则，如图所示， 在中，由余弦定理，可得， . 所以边上中线的长为. 18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明：如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2）证明：如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故, 又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点F，连接，利用线面平行的判定定理即可证明结论. （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （3）首先做辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用余弦函数的单调性求解； （2）（i）利用三角恒等变换化简得，令，问题转化为存在两个不相等的满足，利用二次函数的单调性求解；（ii）由（i），，即，利用反证法证明. 【小问1详解】 当时，， ， ，， 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 （i）当时，， ， 若，则，令，则， 方程在上有两个不相等的实数根， 即存在两个不相等的满足，其中， 因为的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减， 当或1时，，当时，， ，且. （ii）由（i），，即， 不妨设，则，即， 又，所以，则，故， 假设，则，即， ， ，又， ，即，这与前面矛盾，故假设错误， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安市2024-2025学年下期期末教学质量检测高一年级 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的第20百分位数是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 4. 在正方体中，直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知，，则（ ） A. B. 3 C. D. 8. 菱形的边长是2，且在方向上的投影向量为，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法，从500个学生中抽取一个容量为50的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为17，女生样本的均值为165，方差为30，则下列说法正确的是（ ）（注：总体划分为2层，通过分层抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则 A. 抽取的男生人数为30 B. 抽取的女生人数为20 C. 估计该校高中学生身高的总体均值约为170 D. 估计该校高中学生身高的总体方差约为46.2 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 在区间上单调递增 11. 如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径的圆上一动点（异于），与圆柱的底面圆交于点，若平面平面，则（ ） A. B. 直线与直线有可能垂直 C. 与平面所成角的余弦值的取值范围为 D. 三棱锥的外接球的表面积为定值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是_____. 14. 在中，为坐标原点，，，，则面积的最大值是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）当时，求； （2）设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 16. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 4 22 38 28 8 （1）在答题卡上按照示例补全这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若的周长为，求边上的中线的长度. 18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $