精品解析：四川省雅安市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

雅安市2024-2025学年下期期末教学质量检测高一年级 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的第20百分位数是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 4. 在正方体中，直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知，，则（ ） A. B. 3 C. D. 8. 菱形的边长是2，且在方向上的投影向量为，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人，有人为了获得该校全体高中学生身高信息，采用分层抽样的方法，从500个学生中抽取一个容量为50的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为17，女生样本的均值为165，方差为30，则下列说法正确的是（ ）（注：总体划分为2层，通过分层抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则 A. 抽取的男生人数为30 B. 抽取的女生人数为20 C. 估计该校高中学生身高的总体均值约为170 D. 估计该校高中学生身高的总体方差约为46.2 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 在区间上单调递增 11. 如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径的圆上一动点（异于），与圆柱的底面圆交于点，若平面平面，则（ ） A. B 直线与直线有可能垂直 C. 与平面所成角的余弦值的取值范围为 D. 三棱锥的外接球的表面积为定值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 已知正四棱台上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是_____. 14. 在中，为坐标原点，，，，则面积的最大值是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）当时，求； （2）设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 16. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 4 22 38 28 8 （1）在答题卡上按照示例补全这些数据频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若周长为，求边上的中线的长度. 18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅安市2024-2025学年下期期末教学质量检测高一年级 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的虚部概念即可求得结果. 【详解】因为复数，则的虚部是， 故选：B 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正切函数的周期公式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期为. 故选：A. 3. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的第20百分位数是（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可得出答案. 【详解】把样本数据由小到大重新排序： 因为，所以样本数据的第百分位数是第个数据. 故选：B 4. 在正方体中，直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，连接，证明可得或其补角即为直线与直线所成的角，在中求即可求解. 【详解】设正方体的棱长为，连接， 因为且，所以四边形是平行四边形， 可得， 所以或其补角即为直线与所成的角， 在中，，所以， 所以直线与所成角大小， 故选：C. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及大边对大角即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，由于，所以或. 故选：A 6. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由线面、面面关系平行性质依次分析选项可得答案． 【详解】对于A，若，则可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，则可能平行或异面，故B错误； 对于 C，若，由直线与平面平行性质可得，故C正确； 对于D，若，则平面可能重合或平行，故D错误． 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，利用两角和与差的余弦公式展开，解方程可得，，进而求得答案. 【详解】由，得， 解得，， 所以. 故选：D. 8. 菱形的边长是2，且在方向上的投影向量为，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在方向上的投影向量为，可得，利用向量线性运算用表示，由数量积的分配律运算得解. 【详解】由菱形的边长为2，在方向上的投影向量为， 所以，得， 又，故， 又，则 . 故选：A. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法，从500个学生中抽取一个容量为50的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为17，女生样本的均值为165，方差为30，则下列说法正确的是（ ）（注：总体划分为2层，通过分层抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则 A. 抽取的男生人数为30 B. 抽取的女生人数为20 C. 估计该校高中学生身高的总体均值约为170 D. 估计该校高中学生身高的总体方差约为46.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义，结合平均数、方差的计算公式逐项求解判断. 【详解】对于A，抽取的样本里男生有人，故A正确； 对于B，抽取的样本里男生有人，故B正确； 对于C，该学校学生身高的平均值，故C错误； 对于D，该学校学生身高的方差，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由题求出周期，进而求得；对B，由题求出函数解析式，进而求出的解析式判断；对C，利用图象变换求出解析式判断；对D，利用正弦型函数的单调性可判断. 【详解】对于A，由题，可得，，则，故A正确； 对于B，由A，，所以，又， 所以，故， 所以是偶函数，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位得到 ，故C正确； 对于D，由，则，当，即时，取最小值， 故在上不是单调递增函数，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径的圆上一动点（异于），与圆柱的底面圆交于点，若平面平面，则（ ） A. B. 直线与直线有可能垂直 C. 与平面所成角的余弦值的取值范围为 D. 三棱锥的外接球的表面积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由题可得，利用线面平行的性质定理判断；对B，利用反证法，推出矛盾；对C，由题可得平面，故是与平面所成角，在中，，，运算得解；对D，由均是以为斜边的直角三角形，得三棱锥的外接球的球心为的中点，求出半径得解. 【详解】对于A，在平面中，分别为两圆的直径， 所以，，故， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以，故A正确； 对于B，假设，又由A，得， 又平面，，所以平面， 又平面，则，即， 由圆柱的对称性可得，则， 显然矛盾，所以假设错误，直线与直线不可能垂直，故B错误； 对于C，因为垂直圆柱底面圆，所以，又， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 所以是与平面所成角， 在中，，，则， ，故C正确； 对于D，由题，均是以为斜边的直角三角形， 所以三棱锥的外接球的球心为的中点，又， 所以外接球的直径，则三棱锥的外接球的表面积，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】取正棱台的轴截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，截取棱台过侧棱的轴截面，为侧棱，， 则，，， 所以，即棱台的高为2， 所以棱台的体积. 故答案为：. 14. 在中，为坐标原点，，，，则面积的最大值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】如图，点在线段上运动，点在线段上运动，设与交于点，由相似三角形可得，进而得，所以，利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的单调性求解. 【详解】如图，由题，点线段上运动，点在线段上运动， 设与交于点，设， 由，得，故， 所以， 所以 ， 又，则，， 当且仅当，即时，面积取得最大值，最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）当时，求； （2）设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 【答案】（1）1 （2）1或 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的定义及复数除法运算，复数模公式求解； （2）由题，利用复数的几何意义求得，，利用两向量垂直的坐标关系求解. 【小问1详解】 当时，，则， ， . 【小问2详解】 由题，，所以，， 则， 由，则，解得或. 16. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 4 22 38 28 8 （1）在答题卡上按照示例补全这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【答案】（1）答案见详解 （2） （3）能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出各组的频率，补全频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图估算平均数公式计算得解； （3）由题，计算质量指标值不低于90的产品所占比例的估计值，与大小比较判断. 【小问1详解】 由频数分布表中对应频数，可得频率分布直方图中各个小长方形的高，直方图如图. 【小问2详解】 这种产品质量指标值的平均数为 . 【小问3详解】 质量指标值不低于90的产品所占比例的估计值为, 所以能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若的周长为，求边上的中线的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求； （2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求边上中线的长． 【小问1详解】 由，得，又， ，得，又， ， 由及正弦定理得， 所以，又，， ，得. 【小问2详解】 由（1）知，，，则， 所以，又，得， 因为的周长为，所以，解得， 设的中点为，则，如图所示， 在中，由余弦定理，可得， 所以边上中线的长为. 18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点F，连接，利用线面平行的判定定理即可证明结论. （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （3）首先做辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果. 【小问1详解】 如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. 【小问2详解】 如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故, 又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. 【小问3详解】 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用余弦函数的单调性求解； （2）（i）利用三角恒等变换化简得，令，问题转化为存在两个不相等的满足，利用二次函数的单调性求解；（ii）由（i），，即，利用反证法证明. 【小问1详解】 当时，， ， ，， 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 （i）当时，， ， 若，则，令，则， 方程在上有两个不相等的实数根， 即存在两个不相等的满足，其中， 因为的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减， 当或1时，，当时，， ，且. （ii）由（i），，即， 不妨设，则，即， 又，所以，则，故， 假设，则，即， ， ，又， ，即，这与前面矛盾，故假设错误， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$