专题06 空间直线、平面的垂直15大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦空间直线与平面垂直专题，汇编四川多地期末真题，覆盖15大高频考点，突出垂直关系证明与体积、夹角计算的综合应用，适配高中数学期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/多选|多题|线面垂直判断（考点02）、异面直线所成角（考点01）|结合正方体、长方体模型，设置动态动点问题（如考点01第4题）| |解答题|综合大题|线面垂直证明与体积综合（考点03）、二面角计算（考点14）|融入“刍甍”文化素材（考点06），设计翻折、最值探究（如考点15第1题）|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06空间直线、平面的垂直 ☆15大高频考点概览 考点01求异面直线所成的角 考点09由线面角的大小求值（重点题型） 考点02判断线面是否垂直 考点10判断面面是否垂直（重点题型） 考点03线面垂直的证明与几何体积综合（重点题 考点11面面垂直的证明与夹角综合（高频题型） 型) 考点04线面垂直的证明与夹角问题（高频题型） 考点12面面垂直的证明与体积综合（高频题型） 考点05线面垂直的综合证明（高频题型） 考点13面面垂直的综合证明（常考题型） 考点06证明线面垂直中相关计算 考点14二面角的相关计算解答题（高频题型） 考点07求点到面的距离（难点题型） 考点15有二面角的大小求线段长度或距离（重点题 型) 考点08求线与面的夹角（重点题型） 目地城诗点01 求异面直线所成的角 1.(24-25高一下·四川宜宾期末)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=AB,则直线 A,C与AB,的夹角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 2.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在长方体ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD是边长为2的正 方形，侧棱CC,=4点E,F分别为CC,AD的中点，则异面直线EF和AD,所成角的正弦值为（） 1/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 5 B. 2 c D.95 3 3.(多选)(24-25高一下四川南充期末)正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,M是CC1的中点， 则下列说法中正确的有() 5 A.异面直线MB与AA1所成角的余弦值为 B.A1C⊥平面MBD C.过A,B,M三点作正方体ABCD-ABC1D的截面，则截面面积为2/5 D.若p为正方体对角线BD上的一个动点，则|PD+PM最小值为 5+83 3 4.(24-25高一下·四川成都·期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB上的动点，DF⊥ 平面D,EC,F为垂足，下列结论正确的是(） D C B E B A.FD=FC B.三棱锥C-DED1的体积为定值 C.ED1⊥A1D D.BC1与AC所成的角为45° 2/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目地城诗点02 判断线面是否垂直 1.(多选)(2425高一下·四川绵阳·期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别是AB, BC的中点，将△ADE,△BEF,△CDF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点A1,得 到三棱锥A,-g艺：下列关于该三棱锥的说法正确的有(） D A A.A1D⊥EF R.点A,到平面DEF的距离为号 C.三棱锥A1-乙的外接球的体积为V6π D.点G,H分别是DE,DF上的动点，则△A1GH周长的最小值为22 2.(多选)(24-25高-下四川南充期末)如图，在正三棱柱ABC-AB,C1中，AB=6,AA1=4,则下 列说法正确的是() B A直线AD直线B,C所成角为号 B.三棱锥A-A1BC的体积为123 C.点C1到平面A1BC的距离为V13 D.四棱锥A1~B1BCC1的外接球的表面积为64π 3.(多选)(2425高一下·四川成都期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C1D1中，M, N,P分别是线段C1D1,CC,A1A的中点，则下列说法正确的是() 3/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M 6 D C A.B1N⊥平面ABN B.正方体的外接球的表面积为12π，体积为4V3π C.平面BMP截正方体所得截面的形状是五边形 D.若底面ABCD内的动点Q(包含边界)满足D1QI平面BMN,则CQ∈[0,5] 4.(多选)(2425高一下·四川凉山期末)在正方体ABCD-A1BC1D1中，点E为棱DD1的中点，点 F是正方形A,B,C,D,内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（） A.BC1⊥AC B.存在点F使得D1F/平面BC1E C.存在点F使得DF⊥平面BC1E D.平面BC1E截正方体所得的两部分体积比为7：17（或17：7） 目地 城诗点03 线面垂直的证明与几何体积综合 1. (24-25高一下·四川乐山期末)如图，己知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，M,N分别为BC,BC1的中点，P为AM上一点，过B,C1和P的平面交AB于E,交AC于F. B 1)求证：BC1/1EF: (2)求证：WP⊥B,C1: 4/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6发BB与平而EFCB,所成角为30，且AB=4,B,=2,P=5.求网楼B-BC,IE的体积 2.(2425高一下·四川攀枝花期末)如图，AE⊥平面ABCD,CF//AE,BF/平面ADE. E B (1)求证：AD//BC: (2)若AD⊥AB,AB=AD=CF=2,AE=BC=4,求三棱锥F-BCE的体积 3.(2425高一下·四川德阳·期末)如图，己知平面BCC1B1是圆柱的轴截面，底面直径BC=2,母线 CC,=3,O为底面圆心，A为底面半圆弧BC上的动点（不含端点)，E为母线CC上的动点（含端点）， ∠AOC=a,∠EOC=β. B E A (I)请用a、β的三角函数值表示三棱锥B,一AOE的体积V,求Q、β的取值范围并求V的最大值： (2)若三楼锥B,-A0E的体积为，当 2 sina+号tanB最小时，求直线AB与半圈柱底面所成角的大小. 1 4.(24-25高一下·四川乐山期末)已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥AD,CD⊥AD,AB// CD,AB=号CD,且AD=CD=PD=2,PC=22,M是PC中点 2 5/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：BM/平面PAD: (2)求三棱锥A-BCM的体积 5.(2425高一下·四川成都·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是 正方形，边长为a,PA=PC=2a,点E为侧棱A的中点，过C,D,E三点的平面交侧棱PB于点F. E D (I)求四棱锥P-ABCD的体积； (2)求证：PA⊥CF 6.（24-25高一下·四川绵阳·期末)如图，在四边形ABCD中， AB⊥AD,AD‖BC,AD=6,BC=2AB=4,点E,F分别在BC,AD上运动，且EF‖AB,现将四边 形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面CDFE. D (I)若E为BC的中点，求证：CD⊥平面ACF: (②)求三棱锥A-CEF体积的最大值，并求出此时点E到平面ACD的距离. 7,.(2425高-下四川南充期末)如图，△M8C中，AC=BC=要AB,ABED是边长为2的正方形. 平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点. 6/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)求证：GF平面ADC: (2)求证：GF⊥平面EBC: 3)求三棱锥F-EBC的体积. 目地城特点04 线面垂直的证明与夹角问题 1. (24-25高一下·四川成都期末)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD11BC,AB=AD=BC=2,E 是BC的中点，AE∩BD=M,将△BAE沿着AE翻折成△B1AE,使B,M⊥平面AECD. B M (I)求证：AE⊥平面B1MD: (②)求二面角B1-DC-A的大小： 3)在线段BC上是否存在点P,使得MP/平面B1AD,若存在，求CP的长；若不存在，说明理由 2.(24-25高一下：四川成都期末)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，AB=V2AA'E,F分别是 AB,A1B1的中点. C E (1)求证：CE⊥平面ABB1A1: 7/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求证：平面AFC1∥平面CEB: 3)求直线AC1与直线CB所成角的大小. 3.(2425高一下四川宜宾期末)如图，在三棱柱ABC-A,B,C1中，∠BAC=2,BC=22, AB=A1C,A1A=2a,D为BC的中点，AD⊥平面A1BC. C B (1)求证：A1D⊥平面ABC: (2)若1≤a≤2，求直线A,C与平面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围. 4.(2425高一下·四川成都期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，Q为棱PC的中点，底面ABCD为平行 四边形，AB=2AD=2,∠ABD=30°，PD⊥平面ABCD,直线BP与底面ABCD所成的角为45°. D D2… s:E327- 、 (1)证明：BC⊥平面PBD: (②)求三棱锥A-BCQ的体积； 3)求直线DQ与平面PBD所成角的正弦值 5.(24-25高一下-四川成都期末)如图1，在ABC中，∠C=90°，AB=4,BC=2,D是AC中点，作 DE⊥AB于E,将△ADE沿直线DE折起到△PDE所处的位置，连接PB,PC,如图2. D D A B 图1 图2 (I)若PB= 34 求证：PE⊥BC: 2 8/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,求PB的长 V6 (2)若二面角P-DE-A为锐角，且二面角P-BC-E的正切值为 6.(24-25高一下·四川巴中·期末)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E是AD的中点，BD与AC交 于点O,AB与AB交于点G 0 B G B (1)证明：OG11平面BCCB: (2)证明：EG⊥平面ABC: 3)求直线BA与平面BDDB所成角的大小 目地城烤点5 线面垂直的综合证明 1.(24-25高一下·四川成都·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱 PA⊥底面ABCD,且PA=2,∠BAD=120° (1)证明：BD⊥平面PAC; (2)求点C到平面PAD的距离. 2.(24-25高一下.四川德阳·期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng)是指底 面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中底面ABCD是矩形，侧 面△BCF是直角三角形，BC⊥BF.求证： 9/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )AB//EF (2)AD⊥AE 3.(2425高一下四川绵阳·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,CD=2AB,AD⊥平面 CDP,BD与AC交于点F,PC=PD,点E为CP的三等分点（靠近点P),点O为CD的中点，连接 BO,PO. (1)求证：AP∥平面BDE: (2)求证：AB⊥BP 4.(2425高一下·四川成都期末)如图四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE,BE⊥EC,点F为线段 BE的中点。 (1)求证：CE⊥平面ABE: (②)求证：DE∥平面ACF 目地 城诗点06 证明线面垂直中相关计算 1. (24-25高一下·四川眉山期末)庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡， 有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）·据记载：“刍甍 10/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度：广：东西方向长度)”，其体积公式为： ×(2× 6 上袤+下袤)×广×高.如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜 脊长度相等，若下表为2m,广为1m,上交是下表的号斜脊与底面所成角均为，则该省蕊的体积为 1 () 正脊 斜脊 北 斜坡 图1 图2 A.400m3 B.400V2m3 C.800m3 D.800V2m3 2.(2425高一下·四川自贡·期末)已知棱长为2的正四面体A-BCD,E、F分别BD和BC的中点，M 是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则MN|+|NB|的最小值为() 23 2V5 c.21 2V6 B. 3 3 3 3 3.(24-25高一下四川宜宾期末)在三棱锥P-ABC中，PB=PC=2PA=2,且 ∠APB=∠BPC=∠CPA,E,F分别是PC,AC的中点，∠BEF=9O°，则三棱锥P-ABC外接球的 表面积为。 4.(2425高一下·四川成都·期末)如图，平面四边形ABCD中，AD=BC=3,AB=4,AB⊥BC, AD⊥AC,沿AC将△ADC折起成直二面角P-AC-B(折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P 点)，则折起后四面体PABC的内切球半径为 D R 5.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，点M,N分别为线段AC和 线段A,B的中点，求直线MN与平面A,B,BA所成角为（） 11/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B M A.60° B.45° C.309 D.75° 6.(24-25高一下-四川成都期末)如图，在正方体ABCD-A1B,C1D1中，E,FM,N分别为棱AB, AD,D1C1,C1B的中点，过E,F,M,N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是() D B A.该截面是六边形 B.A,C⊥平面EFMN C.平面EFMN//平面AD1B1 D.该截面过棱BB1的一个三等分点 7.(24-25高一下四川乐山期末)己知直四棱柱ABCD-A1BC1D1的棱长均相等，且∠BAD=60°， V13 以B为球心 2 为半径的球面与侧面ADD1A1的交线为半圆，且长为2，则该四棱柱的体积为 目地城烤点7 求点到面的距离 1.(2425高一下·四川成都期末)如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,且△ABC是边长 为1的正三角形，若SA=BC,则点A到平面SBC的距离为() 12/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.27 B. 21 c3 > D.321 7 7 2.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点A. D (1)求证AD⊥EF: (2)求三棱锥A-EFD的体积. 3)求点F到平面AED的距离 3.(24-25高一下四川成都期末)y如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1,BCC1B1均为正 方形，AB=BC=2,∠ABC=90°，点D是棱的A1C1中点，点O为A1B与AB1交点. D B (1)求证：BC1∥平面ABD: (②)求点A1到平面AB1D的距离 4.(2425高一下·四川宜宾·期末)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧 棱SD⊥底面ABCD,且SD=4,E为侧棱SC的中点. 13/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：SA∥平面EDB: (2)求点C到平面EDB的距离 5.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形；E为PD的中点. 若AP=1,AD=R3。AB=子当三枝锥P-ABCD的体积取到最大值时，点E到平面PBC的距离为 D 目地城诗点08 求线与面的夹角 1.(24-25高一下·四川成都期末)正方体ABCD-A1BC1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成角的 余弦值为() 3 2 A.2 3 B. 3 c.2 D. 2.(24-25高一下四川成都期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面 ABC1D,所成角的正弦值为() 3 5 V10 A.2 B.2 c.5 D. 5 14/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高一下·四川自贡·期末)正方体ABCD-A1B1C1D1中，则A1C与底面ABCD所成角的正弦值 为() A.3 2 B.2 3 D. 3 4.(2425高一下·四川南充期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BC的中点，点Q为四边形 CC,D,D及其内部的动点，PQ1平面BB,D,D则PQ与平面ABCD所成角正切值的范围(） D D B A. 3 0,3 B. C. V6 0,3 D.0,2 5.(24-25高一下·四川成都·期末)在空间内，若∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，则直线OA与平面 OBC所成角的余弦值为 6.(24-25高一下·四川攀枝花期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是 正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点. (1)证明：AM⊥平面PCD: (②)若正方形ABCD的边长为2，求直线PB与平面ABM所成的角的正切值. 7.(24-25高一下四川成都期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=6,BC=5,AA1=4,A1E=2,BC∥平面EFGH. 15/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0) F B D B (1)证明：四边形EFGH为矩形： (2)若EH=5,求C1E与平面EFGH所成角的正弦值 8.(24-25高一下四川凉山期末)如图，直三棱柱ABC-A1B,C1中每条棱都相等，E、F分别是BC、 AC1的中点。 A B F E B (1)证明EF/平面ABB1A1: (2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值 9.(24-25高一下·四川成都·期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，底面ABC为正三角形，侧面 ACC1A1为正方形，AB=AA1=1,且M,N分别是A1B,B1C1的中点 A B (I)求证：MN‖平面ACC1A1: (2)求直线MC与平面A1B1C1所成角. 目地城道点9 由线面角的大小求值 16/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25高一下·四川成都·期末)己知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的 角的大小为好 则圆台的体积为() B3 C. 5n 2 D.3π 2.（24-25高一下·四川成都·期末)如图，在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC,△ABC是边长为2 的正三角形，直线MC与平面ABC所成夹角为60°，F是侧棱MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的 余弦值是() 4. 3 V13 C. 3 B.4 3 D.8 3.(24-25高一下四川成都期末)长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=2BC,设E为AB的中点，直线 D,E与底面ABCD成45角，则异面直线D,E卢BC所成角的大小为() D C B A E B A.30 B.45 C.60 D.90 4.(24-25高一下·四川成都·期末)如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,CH⊥PB,AB⊥BC 。PA=4,点C到PA的距离CD=2,若H和平面CDH所成角的正弦值为，则sC长度为〈) 17/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.2 c.3 D.2 目地城诗点10 判断面面是否垂直 1. (24-25高一下·四川攀枝花期末)已知m、n是两条不同的直线，C、B是两个不同的平面，下列说法 正确的是() A.若a⊥阝，mca,则m⊥B B.若m⊥a,m⊥n,则n∥a c.若m/1a,n∥β，a∥β，则m∥nD.若m∥n,m⊥a,n∥β，则a⊥B 2.(24-25高一下.四川凉山期末)己知m,n是空间中两条不同的直线，c,B是两个不同的平面，且 mca,ncB,则下列说法正确的是() A.若cnB=l且c⊥β，mcx,m⊥l,则m⊥B B.若mn,则cB C.若anB=l且m⊥l,n⊥1，则a⊥B D.若cB,则mn 3.(24-25高一下·四川宜宾·期末)1，m是空间两条直线，Q,β是空间两个平面，则() A.l11m,1ca,mcβ，则a/1β B.I⊥m,1ca,mcB,则a⊥B c.a⊥β，l//a,m1/β，则l⊥m D.1⊥a,l/1m,mcβ，则a⊥β 4.(多选)(24-25高一下·四川成都期末)已知@，β是两个不同的平面，a,b是两条不同的直线，下列 命题正确的是() A.若a∥b,bCB,a∥B,则a∥aB.若a∥c,acB,cnB=b,则a∥b C.若a⊥a,b⊥B,a⊥b,则a⊥BD.若a⊥B,aCa,bcβ，则a⊥b 18/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.（多选)(24-25高一下·四川遂宁·期末)设m,n为两条不同的直线，c、B为两个不同的平面，则下列 命题中真命题是() A.若m⊥n,m⊥a,n⊥B,则a⊥β B.若c∥B,mca,nc阝，则m与n是异面直线 C.若anB=m,nca,则n与B一定相交 D.若m/1n,m⊥a,n⊥β，则a//β 目地城诗点11 面面垂直的证明与夹角综合 1.(24-25高一下·四川南充期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠ADC=45°，AD=AC=2,O是AC与BD的交点，PO⊥平面ABCD,PO=2,M是PD的中点. B (1)求证：PB/平面ACM: (2)求证：平面PBC⊥平面PAC: (3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值， 2.(2425高一下·四川眉山·期末)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BA1⊥AC1,等腰Rt△ABC 的斜边AB=2V2,A1在底面ABC上的投影恰为AC的中点. B (1)证明：平面BAC⊥平面ACC1A1: (②)求AC1的长； 3)求二面角A1-AB-C的余弦值. 19/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高一下四川成都期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PD⊥AB, AB1/DC,DC=3AB=3,AD=2,PA=3,E为棱PC上一点，且PE=号PC. 3 (1)求证：BE/平面PAD: (2)求证：平面PAD⊥平面PCD: 3)求直线PC与平面PAD所成角的正切值. 4.(24-25高一下四川自贡·期末)如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，各个侧面均是边长为2的正方形， D为线段AC的中点. B D B (1)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1: 2)求证：直线AB平面BC1D: 3)求二面角C-BC1-D大小的余弦值 5,(2425高一下·四川凉山期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的菱形，∠ABC= 3 PB=PD. A D B C 20/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1)证明：平面PBD⊥平面PAC: 2)若PA=2,PC=V7,求二面角P-BC-A的正切值. 目地城诗点12 面面垂直的证明与体积综合 1. (24-25高一下.四川成都期末)如图，在五面体ABCDEF中，AB//CD,BD⊥BF,平面ABFE n平面CDEF=EF,AB=AD=AE=2,BC=23,EF=3,∠BAD=∠DAE= (1)证明：EF/平面ABCD: (2)若点O、G分别为AD、BC的中点，证明：平面EOGF⊥平面ABCD: 3)求该五面体的体积 (注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线) 2.(24-25高一下·四川泸州·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E,F分别为 PB,PC的中点，G为线段AC上一动点，PD⊥平面ABCD D:2 G (I)证明：平面BDF⊥平面AEG; (2)当CG=3AG时，证明：EG11平面BDF: 3 G 3)若AD=2PD,四面体BGEF的体积等于四棱锥P-ABCD体积的 2, AC的值. 目地 城爱点13 面面垂直的综合证明 1.(24-25高一下·四川宜宾·期末)如图，P为菱形ABCD平面外一点，且PA=PC,E为线段PD上的动 点 21/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：平面ACE⊥平面PBD: (②)是否存在点E使得PB/平面ACE,若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由. 2.(2425高一下·四川成都期末)在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=2,A=45°，E,F分别为 AB,AD的中点，将三角形ADE沿DE翻折，使得二面角A-ED-C为直二面角后，得到四棱锥 A-EBCD D F D B (I)求证：EF‖平面ABC: (2)求证：平面AED⊥平面ACD: B)求EC与平面ACD所成角的正弦值， 3.(2425高一下.四川成都期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为 BC,CD的中点， D C A B (I)求证：平面D1AF⊥平面D1DE: (②)记直线D1F与平面D1DE所成角为9，直线D1A与平面D1DE所成角为02，求01+02的余弦值. 4.(2425高-下四川成都期末)如图，△ABC中，AC=BC=2 2 AB,ABED是正方形，平面 ABED⊥平面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点. 22/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证：GF∥平面ABC: (2)求证：平面BCE⊥平面ACD 5.(2425高一下·四川成都期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面 ABCD,E为线段PD的中点. I)求证：PB∥平面AEC: (2)求证：平面PAC⊥平面PBD 6.(24-25高一下.四川德阳·期末)在梯形PABC中，AB‖PC,PA=AB=BC,PC=2PA.D为PC的中 点，G为AD的中点.将△PAD所在平面沿AD翻折，使构成的四棱锥P-ABCD体积最大. D D D D G B (I)求证：BG⊥平面PAD: (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面乙L平面ABCD?并证明你的结论. 目地城烤点14 二面角的相关计算解答题 23/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25高一下·四川泸州·期末)如图，己知平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形， PA=AB=PB=2,点E,F,M分别是BC,PB,AD的中点. D (1)求证：PM//平面AEF: (②)求证：AF⊥平面PBC: 3)求二面角P-DC-A的余弦值. 2.(24-25高一下·四川成都期末)如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧面4D为边长等于2的正三角形， 底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120° P (I)证明AD⊥平面PBO: (2)求点P到平面ABCD的距离： 3)求二面角A-PB-C的余弦值. 3.(24-25高一下·四川眉山期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC,AB=AC=V2,E 为BC中点，侧面BCC1B1为矩形. C B E (1)求证：A1E⊥BC: 24/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若A1A=A1B,四棱锥A1-BB,C1C的体积为 V 3,求侧棱AA与底面ABC所成角： 3)令∠A1AB=6,若AA1=4,60°≤0<90°，求二面角A1-AB-C的正弦值的取值范围. 4.(24-25高一下四川成都期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， ∠PAB=∠PAD. (1)求证：BD⊥平面PAC: @若o52HB=子A=是An ①证明：PA=PC ②求二面角A-PB-C的余弦值 5.(24-25高一下四川攀枝花期末)如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90,AB=6,D为AB的中点， E、F分别为AB、AC边上一点，满足AE=1,EF//DC.将△AEF、△BDC分别沿着EF、DC翻折 成△GEF、△HDC,满足G,H在平面CDEF的同侧，且GEI/HD. G D 1)证明：C,F,G,H共面： (②)设几何体DCHEFG的体积为V,求V的最大值： (3)当V取最大值时，求二面角F-CH-D的余弦值. 6.(24-25高一下四川宜宾期末)如图，四棱锥P-ABCD中，点O,E分别为AC,PD的中点， PC1AC,AE=AD=2,CD=2只V2,△ABC是边长为2的正三角形. 25/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求证：AC⊥平面BOE: (2)若三棱锥P-ACD的体积为 4V2 3,求二面角E-AC-D的正弦值； (3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值. 7.(24-25高一下.四川凉山·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAB是正 三角形，侧面PAB⊥底面ABCD,E是PB的中点 E B (I)求证：AE⊥平面PBC: (②)求侧面PCD与底面ABCD所成二面角的正弦值. 8.(2425高一下·四川绵阳·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PC=PD,底面ABCD是平行四 边形，O点为AD的中点，OB⊥OC,∠AOB=30°，P0=V3. (I)求证：PO⊥平面ABCD: (2)若AD=2,求平面POB与平面PCD所成的二面角的正切值： 3)当PA与平面PCD的所成角最大时，求四棱锥P-ABCD的体积. 9.(24-25高一下·四川成都·期末)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线P℃⊥平 面ABC.其中AB=PC=2,AC=1, 26/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：BC⊥平面PAC: (2)求二面角B-PA-C的余弦值： )M为PC上的动点，以AM为直径作球O,'设PM=t0≤t≤2若球o,与平面PAB相交得到的截面圆 的面积为S,求S的最小值。 10.(24-25高一下·四川自贡·期末)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E,F分别是 AB,BC的中点，将△BEF沿EF折起，使点B到P的位置，且PD=42 (I)若平面PAC∩平面PEF=l,判断AC与l的位置关系并说明理由： (②)求直线PE与平面ABCD所成角的正弦值； 3)求二面角D-PE-F大小的余弦值. 11.(24-25高一下·四川雅安·期末)我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”·现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正 方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点 D (1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； (2)求二面角B-PC-D的大小： 27/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B)若直线PC/平面AEF,求直线AB与平面AEF所成角的正弦值. 12.(24-25高一下·四川期末)如图，在三棱锥A-BCD中， CD=4V3,BC=2V3,∠BDC=30°，BG⊥AD B I)求证：平面BCD⊥平面ABD: (②)当AB=AD=4时，求二面角A-BC-D的正弦值. 目地 城赠点15 有二面角的大小求线段长度或距离 1.(24-25高一下·四川遂宁期末)如图1，在矩形ABCD中，己已知AB=22,BC=2,E为AB的中点， 将△ADE沿DE向上翻折，得到四棱锥A1-BCDE(图2)· D D (图) (图2) I)若N为A1C的中点，求证：BN//平面A1DE: (2)求证：DE⊥A1C: ⊙)在翻折过程中，当二面角A,-CD-B为好时：在平面ABCD内有一动点R满足：直线A,R与底面 3 ABCD所成角正弦值为3，求动点R的轨迹长度. 2.(24-25高一下·四I川雅安·期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/1CD, ∠ADC=90°，侧棱PD⊥底面ABCD,且CD=2PD=2AB=4,点E是PC的中点，连接BE. 28/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E (1)证明：BE/平面PAD: (2)若AD=AB,证明：BC⊥平面PBD: 3 ③)若二面角A-PB-D的正弦值为亏，求AD的长 3.(24-25高一下四川成都期末)如图，在长方形SABC中，AB=2V3,BC=2, SD=ASC3A<I,将△SAD沿AD折起至△SAD,使平面SAB上平面ABO (①) (i) (I)证明：BC⊥平面SAB: ②若三面角S-AD-B的平面角的余弦值为号，求SD的长 (3)设直线BC与平面SAD所成的角为01，二面角S-AD-B的平面角为82，证明： 0s20,+1≥22-1 C0s0, (注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线) 4.(2425高一下·四川成都期末)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD, AB∥CD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为线段AA1的中点，从条件①②中选择一个作为已知，① AD⊥BE;②BC=2, 29/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A C B C ()证明：AC⊥平面BCC1B: (2)求点C1到平面BCE的距离； 2V2 6)已知点M在线段CC1上，直线BM与平面BCC,B,所成角的正弦值为3，求线段CM的长. 30/30 专题06 空间直线、平面的垂直 15大高频考点概览 考点01 求异面直线所成的角 考点09由线面角的大小求值（重点题型） 考点02判断线面是否垂直 考点10判断面面是否垂直（重点题型） 考点03线面垂直的证明与几何体积综合（重点题型） 考点11面面垂直的证明与夹角综合（高频题型） 考点04线面垂直的证明与夹角问题（高频题型） 考点12面面垂直的证明与体积综合（高频题型） 考点05线面垂直的综合证明（高频题型） 考点13面面垂直的综合证明（常考题型） 考点06证明线面垂直中相关计算 考点14二面角的相关计算解答题（高频题型） 考点07求点到面的距离（难点题型） 考点15有二面角的大小求线段长度或距离（重点题型） 考点08求线与面的夹角（重点题型） 地 城 考点01 求异面直线所成的角 1．（24-25高一下·四川宜宾·期末）在直三棱柱中，，，则直线与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】作辅助线，证明直线与的夹角为直线与的夹角（或其补角），然后根据线角关系求出其大小. 【详解】连接交于点，取的中点为，连接. 则根据中位线定理可得， 所以直线与的夹角为直线与的夹角（或其补角）， 设，根据勾股定理得，所以. 设，则根据勾股定理，所以. 所以，. 所以，所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 3．（多选）（24-25高一下·四川南充·期末）正方体中，，是的中点，则下列说法中正确的有（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．平面 C．过，，三点作正方体的截面，则截面面积为 D．若为正方体对角线上的一个动点，则最小值为 【答案】ACD 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；利用线面平行的判定定理和线面垂直的性质可判断B选项；作出截面，并计算出截面面积，可判断C选项；将、延展至同一个平面，由、、三点共线时，取最小值可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，因为，则异面直线与所成角为或其补角， 因为，且，， 则， 所以，， 故异面直线与所成角的余弦值为，A正确； 对于B选项，连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 又因为平面，平面，所以，平面， 若平面，则，根据正方体性质知四边形为矩形， 且，则其对角线与不垂直，则B不正确； 对于C选项，设平面交棱于点，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 又因为，则，因为，故四边形为平行四边形， 所以，，故为的中点，所以，， 又因为，则，所以，四边形为平行四边形， 因为平面，平面，所以，， 所以，四边形为矩形，且其面积为，C正确. 对于D选项，将、延展至同一个平面，如下图所示： 且，， 结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值， 即， 易知，，， ，则在中，， 则，则 ， 则由余弦定理有 故最小值是，D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是将平面、延展至同一个平面，再结合三角恒等变换和余弦定理即可得到最小值. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C． D．与所成的角为 【答案】ABC 【分析】对于A，可证得平面，进而有，所以在的中垂线上，可得，即可判断；对于B，由，而三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，即可判断；对于C，可证得平面，则，即可判断；对于D，在正方体中，由是正三角形，可得与所成的角为，即可判断. 【详解】 对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，所以在的中垂线上， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点， 所以点到平面的距离即为到平面的距离， 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接，则， 又在正方体中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故C正确； 对于D，连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以即为与所成的角， 又是正三角形，所以与所成的角为，故D错误. 故选：ABC. 地 城 考点02 判断线面是否垂直 1．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（    ） A． B．点到平面的距离为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直可证判断A；利用等体积法可求到平面的距离判断B；求得外接球的半径，进而求得体积判断C；展开到一个平面，如图1，即的长为最小值，可判断D. 【详解】因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 设点到平面的距离为，由， 得，解得，故B错误； 因为， 所以三棱锥的外接球即为以为同一顶点的长方体的外接球， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的体积为，故C正确； 将沿转动到与在同一平面内，图1所示： 则周长的最小值为，由勾股定理可得，故D正确. 故选：ACD. 2．(多选)（24-25高一下·四川南充·期末）如图，在正三棱柱中，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．四棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】根据定义，异面直线与直线所成角，即为或其补角，即可判断A；应用等体积法求体积判断B；首先求出到平面的距离，再结合对称性判断C；由四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球，进而求半径，即可得表面积判断D. 【详解】A：由题设，则直线与直线所成角，即为或其补角， 又为等边三角形，故 ，对； B：由，对； C：由，，则中上的高为， 所以，若到平面的距离为，则， 所以，根据对称性易知点到平面的距离为，错； D：由题设，易知四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球， 而的外接圆半径，且， 所以外接球的半径，故其表面积为，对. 故选：ABD 3．（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是线段，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．正方体的外接球的表面积为，体积为 C．平面截正方体所得截面的形状是五边形 D．若底面内的动点（包含边界）满足平面，则 【答案】BCD 【分析】利用线面垂直的性质定理可判断错误； 根据正方体外接球半径与正方体棱长的关系式可求出半径，再代入球的体积，表面积公式即可判断正确； 根据补截面的方法补出平面截正方体所得的截面，即可判断正确； 由面面平行的性质定理可得正确. 【详解】若平面，则， 正方体的棱长为2，则， ，故与不垂直，则与平面不垂直，则错误； 正方体的体对角线即正方体外接球的直径，根据正方体外接球半径与正方体棱长的关系式，则外接球的表面积为，体积为，故正确； 如图，延长，使，再连接，使， 连接，延长，使，连接，使，连接，则则五边形为平面截正方体所得截面的形状，故正确； 如图，取中点为，连接， 分别为的中点， ，又平面，平面， 平面， 分别为的中点， 又在正方体中，有，且， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，又，平面， 平面平面， 若底面内的动点（包含边界）满足平面， 则点为上任一点，且，故，故正确； 故选：. 4．（多选）（24-25高一下·四川凉山·期末）在正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（    ） A． B．存在点使得平面 C．存在点使得平面 D．平面截正方体所得的两部分体积比为7：17（或17：7） 【答案】AC 【分析】根据直线与所成的角为，可判定A错误；取的中点，取的中点，分别证得平面和平面，得到平面 ，可判定B正确；取的中点，连接和，证得平面，得到， 结合与不垂直，可判定C错误；求得截得的棱台的体积，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，连接，在正方体中，可得， 所以异面直线与与所成的角即为直线与所成的角（或其补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则， 则为平行四边形，则，所以A错误； 对于B中，取的中点，连接， 因为为的中点，可得，又因为，所以， 所以平面即为平面， 再取的中点，分别连接， 在正方体中，由为的中点，且为的中点，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为且平面，所以平面平面， 所以只需点在线段上，则平面，所以B正确； 对于C中，取的中点，连接和，可得， 若存在点使得平面，且平面，所以， 因为，所以 在正方体中，可得平面， 又因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在正方形中，与不垂直，所以不存在点使得平面， 所以C错误； 对于D中，设正方体的棱长为，可得正方体的体积为， 由平面即为平面，所以截得的棱台的体积为： ， 所以两部分的体积比为，所以D正确. 故选：AC. 地 城 考点03 线面垂直的证明与几何体积综合 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先用线面平行判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理即可； （2）先用线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的定义得出，结合，可得； （3）先找到直线与平面所成的角，用余弦定理求出，再根据线面垂直判定定理得出平面，找到棱锥的高，计算底面梯形的面积，最后根据锥体体积公式计算即可. 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 又中平面，平面， 平面，又因为平面， 平面平面， （2）在等边中，为的中点， 侧面为矩形，． 又，平面 平面 平面， 又， . （3）过作的垂线，垂足为， 由（1）（2）可知平面， 平面 又平面， 又，且两直线在平面内， 平面， 又，则就是与平面所成的角， ， 在中由余弦定理可得， 所以，易知，即为的中点， ， 又且，且两直线在平面内， 平面， 四边形为梯形且， 平面， . 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图，平面，，平面.    (1)求证：； (2)若，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的判定，面面平行的性质推理即得. （2）由（1）及已知求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式计算即得. 【详解】（1）由，平面，平面，得平面， 而平面，平面，则平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以. （2）由，平面，平面，得平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 由（1）知平面平面，则平面，即点到平面的距离为， 由已知得平面，平面，得，的面积， 三棱锥的体积, 所以三棱锥的体积为. 3．（24-25高一下·四川德阳·期末）如图，已知平面是圆柱的轴截面，底面直径，母线为底面圆心，为底面半圆弧上的动点（不含端点），为母线上的动点（含端点），． (1)请用的三角函数值表示三棱锥的体积，求的取值范围并求的最大值； (2)若三棱锥的体积为，当最小时，求直线与半圆柱底面所成角的大小． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）过作于，从而得面，再利用等体积法，即可求出结果； （2）利用（1）结果及条件得到或，再由线面角的定义知即与圆柱底面所成的角，在直角三角形中，利用几何关系，即可求解. 【详解】（1）由题意，又，，所以， 过作于，因为，，面， 所以面， 因为 当时，． （2）由，则， ， 当且仅当，即时取得最小值， 此时，又，所以或， 由圆柱性质，底面，即与圆柱底面所成的角， 有 ①当时， ②当时， 综上，直线与半圆柱底面所成角的大小为或． 4．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知四棱锥中， ，且是中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可由线面平行的判定求证. （2）根据线线垂直可得平面，即可由体积公式求解， 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 因为为的中点．所以，且， 因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； . （2）由于, 故， 又平面 故平面， . 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，边长为，，点为侧棱的中点，过，，三点的平面交侧棱于点.    (1)求四棱锥的体积； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，利用棱锥体积公式求解； （2）由PD⊥平面ABCD，得PD⊥DC，又DC⊥AD，得DC⊥平面PAD，则DC⊥PA，又DE⊥PA，可得PA⊥平面CDEF，即可得出结论. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， ∵，，∴， ∴四棱锥的体积. （2）∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC， ∵DC⊥AD，AD∩PD＝D，AD，PD平面PAD， ∴DC⊥平面PAD，又PA平面PAD，∴DC⊥PA， ∵PD＝AD，E为侧棱PA的中点，∴DE⊥PA， ∵DC∩DE＝D，DC，DE平面CDEF，∴PA⊥平面CDEF， ∵CF平面CDEF，∴PA⊥CF． 6．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，点E，F分别在上运动，且，现将四边形沿折起，使平面平面． (1)若E为的中点，求证：平面； (2)求三棱锥体积的最大值，并求出此时点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为；点E到平面的距离为 【分析】（1）根据线段长度由勾股定理可得线线垂直，由面面垂直可得线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理即可证明， （2）根据三棱柱体积公式以及二次函数的性质可知体积最大时点是中点，进而根据等体积法即可求解点到面的距离. 【详解】（1）当E为中点时，， 由勾股定理，得． ∵平面平面，且平面平面,平面． ∴平面，平面 ∴． ∵，平面 ∴平面． （2）设，则． ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时， 设点到平面的距离为， ∵． 由（1）易知， ∴， ∴． ∴点E到平面的距离为． 7．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，△ABC中，，ABED是边长为2的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点． (1)求证：平面ADC； (2)求证：GF⊥平面EBC； (3)求三棱锥F－EBC的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接AE，根据中位线的性质证明即可； （2）根据面面垂直的性质可得BE⊥平面ABC，结合勾股定理证明AC⊥BC，进而得到AC⊥平面EBC．再根据平行的性质证明GF⊥平面EBC； （3）根据求解即可 【详解】（1）证明：连接AE， ∵ADEB为正方形，∴，且F是AE的中点， 又G是EC的中点，∴． 又平面ADC，平面ADC， ∴平面ADC； （2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB， 又∵平面ABED⊥平面ABC，平面平面ABC＝AB， 平面ABED，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC， 又∵平面ABC，∴EB⊥AC． ∵，∴，得AC⊥BC， 又∵，∴AC⊥平面EBC． ∵，∴GF⊥平面EBC； （3）∵AB＝2，∴，． ∴． 地 城 考点04 线面垂直的证明与夹角问题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用线面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点P的具体位置，即可求解． 【详解】（1）因为在等腰梯形ABCD中， ，，E是BC的中点， 所以四边形ABED为菱形，所以， 又，所以，， 又，平面， 所以平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以即为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 所以， 所以； （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点P作交于Q，连接MP，AQ，如下图所示： 所以，即可得A，M，P，Q四点共面， 又因为平面，平面平面， 平面，所以， 所以四边形AMPQ为平行四边形，所以，点P为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且， 易知为正三角形，且，所以， 由勾股定理可得， 所以， 所以 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在正三棱柱中，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与直线所成角的大小． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由是正三棱柱，分别证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据线面平行的判断定理分别证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可证明平面平面； （3）连接交于点，连接，得到，得到（或其补角）就是异面直线与所成的角，通过计算得到，由等腰三角形的三线合一可知，即可求出直线与直线所成角的大小. 【详解】（1）由题意知是正三角形， 是的中点， ， 又 是正三棱柱， 平面，平面， . 又 平面，平面，， 平面； （2） 连接， ， ，且， 四边形是平行四边形， 又 平面，平面， 平面. 又 分别是的中点， ，且， 四边形是平行四边形， 又 平面，平面， 平面. 又 平面，平面，， 平面平面； （3）连接交于点，连接， 分别是的中点， ， （或其补角）就是异面直线与所成的角， 设， ， ， ，， . 又 是的中点， ，即. 直线与直线所成角的大小为. 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据线面垂直判定定理； （2）先根据面面垂直的判定定理的平面平面，从而得到平面，在利用线面夹角的定义找到夹角，计算得出夹角正弦值的取值范围. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，，则 所以四边形是平行四边形． 因为，，，AD，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 作于E，平面平面，平面， 则平面， 连接CE，则为直线与平面所成的角，    由，，，知， 又由（1）知平面ABC， 所以，， ． 则， 由于，所以，所以． 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，底面为平行四边形，平面，直线与底面所成的角为. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意及余弦定理可求出，从而根据勾股定理逆定理可得，从而可得，又易知，进而可得平面； （2）先根据线面角求出，再转化三棱锥的顶点与底面，可得三棱锥的体积为：，再计算即可得解； （3）取中点，则易证平面，从而可得所求角为，再解三角形，即可求解． 【详解】（1）底面为平行四边形，，， 根据余弦定理， 即，解得，， ，又，， 又平面，平面，， 又，平面， 平面； （2）平面，平面，所以， 直线与底面所成的角为，即，又，， 又为的中点，到平面的距离等于到平面的距离的， 三棱锥的体积为： ； （3）如图，取中点，连接，又为的中点， 且， 由（1）知平面，平面， 直线与平面所成角为，又平面，， 又， ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图1，在中，，，，是中点，作于，将沿直线折起到所处的位置，连接，，如图2.    (1)若，求证：； (2)若二面角为锐角，且二面角的正切值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理推得，从而利用线面垂直的判定定理证得平面，由此得证； （2）利用线面与面面垂直的判定定理求得二面角与二面角的平面角，从而利用勾股定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）在图1中，，，，是中点， 所以，，则，，， 则，又，所以，则， 因为，则， 又平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由题意知， 平面平面， 因而平面，则为二面角的平面角（或补角），即为锐角， 又平面，因而平面平面. 作所在的直线于点，如图，      又平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 作于点，连接， 又面，故面， 因为面，则，所以为二面角的平面角（或补角）， 设，则， 在中，，设，则， 因而， 在直角三角形中，，即， 解得或（舍去），此时， 从而. 6．（24-25高一下·四川巴中·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，平面即可得证； （3）由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点，中， 、分别为、的中点，所以，平面， 平面，所以平面； （2）连接，中， 、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，， 所以平面，所以平面； （3）设，并连接， 由（2）可知平面， 所以直线与平面所成的角为， 设正方体边长为，中，，，所以， 所以直线与平面所成的角的大小为. 地 城 考点05 线面垂直的综合证明 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四边形为菱形得到对角线垂直，由线面垂直得到，从而证明线面垂直； （2）设到平面的距离为h，利用等体积法列出方程，求解即可. 【详解】（1）因为底面是菱形，所以， 因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）设点到平面的距离为h， 由题可知PA为三棱锥的高，， 所以三棱锥的体积为， 又因为，且， 所以，解得， 所以点到平面的距离为． 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体是一个刍甍，其中底面是矩形，侧面是直角三角形，.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由线线平行得到平面，再根据线面平行的性质得到线线平行； （2）证明出平面，结合平行关系得到平面，得到结论. 【详解】（1）底面是矩形，， 又平面平面， 平面， 又平面，平面平面， ； （2）由题意，平面平面， 平面， 又，平面， 平面，. 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，，，平面，与交于点，，点为的三等分点（靠近点），点为的中点，连接.    (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论； （2）根据等腰三角形三线合一性质、线面垂直的性质与判定可得平面，进而得到；易证得四边形为矩形，可得；由线面垂直的判定与性质可证得结论. 【详解】（1）连接，   ，，， 点为的三等分点（靠近点），，，， 又平面，平面，平面. （2），为中点，； 平面，平面，   ，平面，平面， 平面，； ，，四边形为平行四边形， 又平面，平面，，四边形为矩形， ，又，平面，平面， 又平面，. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图四边形ABCD是矩形，平面BCE，，点F为线段BE的中点.    (1)求证：平面ABE； (2)求证：平面ACF. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）连接交于点，连接，由中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得答案. 【详解】（1）因为平面BCE，平面BCE，所以， 因为，，平面， 所以平面ABE； （2）    连接交于点，连接，所以点为中点， 因为点F为线段BE的中点，所以，因为平面，平面， 所以平面. 地 城 考点06 证明线面垂直中相关计算 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（2上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m，广为12m，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍甍的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ，证明平面，得到。利用相关条件求出高FO，代入体积公式求可. 【详解】如图， 已知，，， 过点F作于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ， 因为，，平面，所以平面，平面，所以， 因四条斜脊长度相等，则，， 又斜脊与底面所成角均为，则，即该五面体的高度为10m． 所以其体积． 故选：C 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当平面时，取得最小值，在直角三角形中求解即可. 【详解】因为为正四面体， 所以， F为BC的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为是的中点， 所以点关于平面对称， 因为点在平面，故， 所以， 故当平面时，取最小值， 因为是边长为2的正四面体， 所以在中， 当平面时，为等边三角形的重心， 此时 在中，， 故的最小值为， 故答案为： 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】证明线面垂直，得到，，两两垂直，三棱锥的外接球转化为以，，为长宽高的长方体的外接球，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】因为，且，为公共边， 所以≌，故， 取的中点，连接，则⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为E，F分别是PC，AC的中点，所以 因为，即⊥，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 故， ，，两两垂直， 故三棱锥外接球等价于以，，为长宽高的长方体的外接球， 此外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，平面四边形中，，，，，沿将折起成直二面角（折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P点），则折起后四面体的内切球半径为______． 【答案】 【分析】分别求出三棱锥的表面积、体积，结合等体积法即可列方程求解. 【详解】因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，而平面， 从而， 设所求为，三棱锥的表面积、体积分别为，， 而，， 从而，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用等体积法建立关于的方程，由此即可顺利得解. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【答案】B 【分析】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【详解】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 6．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，E，F，M，N分别为棱AB，AD，，的中点，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（    ） A．该截面是六边形 B．平面 C．平面平面 D．该截面过棱的一个三等分点 【答案】D 【分析】先根据已知四个点确定截面判断A,D选项，根据面面平行判定定理判断C,应用线面垂直判断B选项. 【详解】过E，F，M，N四点,确定截面的一条边，延长交 于一点，连接该点与点即可得到与棱的交点，利用公理3确定交线,同样的方法找出其它交线，即可得到截面如图所示： 该截面是六边形,分别是的中点，故A正确，D选项错误； 在正方形中，,平面平面 , 平面,平面,所以平面平面,所以, 同理可得平面平面,所以平面； 因为平面平面,所以平面, 因为平面平面,所以平面, 平面,平面, 所以平面平面,C选择正确； 因为平面，平面平面，所以平面，B选项正确. 故选：D 7．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知直四棱柱的棱长均相等，且，以为球心，为半径的球面与侧面的交线为半圆，且长为，则该四棱柱的体积为__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故以为圆心，为半径作圆，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为半圆，故，从而列出方程，解得，由于，故符合题意，求出各边长，得到该四棱柱的体积. 【详解】由题意得，连接， 因为直四棱柱的棱长均相等，所以为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 设直四棱柱的棱长为，则， 由勾股定理得， 以为圆心，为半径作圆， 以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为半圆，故， 故，解得， 此时，即， 解得，由于，故符合题意， 此时，该四棱柱的棱长为2， 故体积为； 故答案为： 地 城 考点07 求点到面的距离 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法求解，由题意求出，从而可求出，然后利用可求得答案. 【详解】设点到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需分别求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可； （3）由等体积法求解即可. 【详解】（1）折叠前，，折叠后，， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故． （2）由（1）问可知，平面，所以三棱锥的高， 又因为折叠前为，点，分别为，的中点， 所以， 所以； （3）设点到平面的距离为，则有， 又有，故解得． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知可得，再由线面平行的判定可证结论； （2）根据已知可得是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证，并求出相关线段长，应用等体积法有，可求到平面的距离. 【详解】（1）由O是与的交点，又为正方形，则O为的中点， 又D是的中点，在中，可得， 又平面，平面， 故平面. （2）三棱柱中，，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以，， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由，平面，则平面， 平面，所以，而， 又，平面， 则平面，平面，故， 所以，由， 则，又， 若到平面的距离为，则，可得. 4．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接，则为的中点， ∵E为侧棱SC的中点，， 平面EDB，平面EDB； 平面EDB； （2）∵E为侧棱SC的中点， E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半， E到平面ABCD的距离， ， ∵底面，面， ∴， 又，， ， ∵平面， ∴平面， 又平面，， ，， , 设点C到平面EDB的距离为， 由，得，所以， 即点到平面的距离为． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点．若，，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离为__________．    【答案】/0.3 【分析】根据几何体性质结合体积分割求解三棱锥的体积，在根据等体积法可求解点到平面的距离. 【详解】由题可得，当底面时，三棱锥的体积取到最大值 如图，取中点，取中点，连接    因为底面，为的中点．为的中点，所以， 所以底面，则 又由底面，底面，所以 因为矩形，则，又平面，所以平面 又为的中点．为的中点，所以，，则平面 则 又 所以 又，因为平面，，所以平面，又平面，所以， 设点到平面的距离为, 所以，则. 故点到平面的距离为. 故答案为：. 地 城 考点08 求线与面的夹角 1．（24-25高一下·四川成都·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点为正方形的中心，由线面角的定义得直线与平面所成角即为，解直角三角形即可得解. 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，E为的中点，则AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据AE与平面的关系，先找到直线AE与平面所成的角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得AE与平面所成角的正弦值． 【详解】连接、相交于点M，连接， 由题意可知是平行四边形，所以是的中点， 因为E为的中点，所以，所以，同理可， 又，平面，所以平面， 所以即为AE与平面所成的角， 设正方体的棱长为2， 则，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以 故选：D. 3．（24-25高一下·四川自贡·期末）正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面角的定义，确定直线与平面的夹角，利用求其大小． 【详解】因为为正方体，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 设，在中，， 所以， 故选：D． 4．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助平行平面来确定点所在的直线，然后借助正方体的性质，即可得正切值与边的关系，从而可得取值范围. 【详解】 取线段的中点分别为，连接， 由中位线可得，所以四点四点共面， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 因为点为四边形及其内部的动点，所以当，即平面， 所以此时有平面， 由正方体的性质可知平面，所以与平面所成角就是， 又因为，设正方体的边长为2，则， 此时，所以， 故选：D. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）在空间内，若，则直线与平面所成角的余弦值为________. 【答案】 【分析】首先构造线面角，根据直线在平面的射影为的角平分线，结合几何关系，即可求解. 【详解】如图，过点作平面，垂足为点，点在的平分线上， 作，连结， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 设，则，， 所以，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 6．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)证明：平面； (2)若正方形的边长为2，求直线与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知证明，，利用线面垂直的判定定理可得结论； （2）证明平面，可得是直线与平面所成的角，求解即可． 【详解】（1）在正方形中，． 又∵侧面底面，平面平面，平面， ∴平面． 又平面，∴． ∵侧面是正三角形且是的中点，∴． 又∵平面，平面，， ∴平面． （2）由（1）知平面，∵，∴平面，平面故． 由（1）知，平面，平面， ∴平面．∴是直线与平面所成的角． 在正中，，∴，， 在中，，∴． ∴． 7．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方体中，，平面.    (1)证明：四边形为矩形； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可证明； （2）用等体积法求出点到平面的距离，再求出的长度，即可求解. 【详解】（1）长方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， ， 平面平面，同理可得， ，，所以四边形为平行四边形， 平面，平面，平面平面， ，又长方体中平面， 平面，又平面， ， 所以四边形为矩形. （2）设到平面的距离为， ，平面， 平面， 到平面的距离为， ，则， 又， ，， ， ， 所以，解得， ， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 8．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，直三棱柱中每条棱都相等，、分别是、的中点.    (1)证明平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造面面平行，由面面平行的性质证明线面平行即可； （2）根据线面角的定义可得即为直线与平面所成角，再计算长度即可得所成角的正弦值. 【详解】（1）如图，取中点，连接    在直三棱柱， 又为中点，为中点，所以，则 因为平面，平面，所以平面 又为中点，为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面 又平面，所平面平面 因为平面，所以平面； （2）连接    直三棱柱中每条棱都相等设为，即， 又为中点，所以，且 又平面，平面， 所以，，则 因为平面，所以平面 所以即为直线与平面所成角 所以，则直线与平面所成角的正弦值为. 9．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点.    (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）分别取的中点，可证得为平行四边形，则，故直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，由平面，得为直线与平面所成角，在直角三角形求解即可. 【详解】（1）连接，则是，的交点， ∵，分别是，的中点，∴， ∵平面，平面，∴ 平面.    （2）分别取的中点，连接， ∵分别是的中点，∴， 又∵，∴， ∴为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成角与直线与平面所成角相等， ∵平面，∴为直线与平面所成角， ∵在直角三角形中，， ∴，∴， ∴直线与平面所成角为. 地 城 考点09 由线面角的大小求值 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角的大小为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由圆台的母线与底面所成的角求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算求解. 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为1和2， 根据线面角定义圆台的母线与底面所成的角的大小为， 设高为，则母线为， 所以，所以 由圆台的体积公式为. 故选：B. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，直线与平面所成夹角为，是侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、，由线面角的定义可得直线与平面所成夹角为，求出的长，由异面直线所成角的定义可知异面直线与所成角或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理求出的余弦值，即可得解. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示：    因为平面，则直线与平面所成夹角为， 因为、平面，则，， 又因为，且，所以，， 故，同理可得， 因为、分别为、的中点，故且，且， 所以，异面直线与所成角或其补角， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，则， 所以，， 由余弦定理可得. 故选：D. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）长方体中，，设为的中点，直线与底面成角，则异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据线面角求出矩形的高，取的中点，连接、，作出与异面直线所成角相等的角，在中即可求解. 【详解】连接，    由直线与底面成角， 则，所以， 设，则，所以， 所以，所以， 取的中点，连接，， 则，且， 所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角， 即为，， 所以平面，即， 在中，， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明平面，进而可证明为和平面所成的角，则，求出，设，由，解方程即可得出答案. 【详解】因为平面，则平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，且,平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，，所以点是的中点， 又因为，所以是等腰直角三角形， 由平面，所以平面， 所以为和平面所成的角，因为 则， 所以，则， 因为是等腰直角三角形，所以， 设，所以，又， 又因为，所以， 解得：. 故选：A. 地 城 考点10 判断面面是否垂直 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的判定定理分析判断即可. 【详解】对于A，如图，当，时，∥，所以A错误，    对于B，如图，当，时，，所以B错误，    对于C，如图，当，，时，是异面直线，所以C错误，    对于D，因为，，所以∥或， 当时，因为，所以， 当∥时，过直线作平面，，则∥， 因为，所以， 因为，所以， 综上，，所以D正确.    故选：D 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若且，，，则 B．若，则 C．若且，，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质即可判断空间中线线、线面、面面的位置关系. 【详解】对于A，若且，，，则,由面面垂直性质定理得出A正确； 对于B, 若，且，，则或与相交，故B错误． 对于C，若，且，则与相交，可能垂直，也可能不垂直，故C错误． 对于D，两个平面平行，不能证明两个平面里的直线都平行，可能异面, 故D错误; 故选：A. 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末），是空间两条直线，，是空间两个平面，则（    ） A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】A中：，，，则或与相交，故A错误； B中：，，，则或或与相交，故B错误；， C中：，，，则或相交或平行或异面，故C错误； D中：，，则，又，则，故D正确. 故选：D. 4．（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据线面平行及线面平行性质定理及面面垂直性质定理判断各个选项即可. 【详解】若，则或，A选项错误； 由线面平行性质定理，则，B选项正确； 若，则，C选项正确； 若，则可能平行，D选项错误； 故选：BC. 5．（多选）（24-25高一下·四川遂宁·期末）设､为两条不同的直线，､为两个不同的平面，则下列命题中真命题是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则与是异面直线 C．若，则与一定相交 D．若，，，则 【答案】AD 【分析】根据､的法向量互相垂直判断A；根据与平行或者异面直线判断B；与平行或相交判断C；根据线面垂直的性质判断D. 【详解】A，若，，，则，正确； B，若，，，则与平行或者是异面直线，错误； C，若，则与平行或相交，错误； D，若，，则，又，所以，D正确． 故选：AD． 地 城 考点11 面面垂直的证明与夹角综合 1．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线得，再利用线面平行的判定即可； （2）利用线面垂直的性质得，再证明，最后根据面面垂直的判定即可证明； （3）取的中点，连接，，根据线面角定义转化为求的正切值，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】（1）连接，在平行四边形中， 为与的交点， 为的中点，又为的中点，， 又平面平面， 平面. （2）平面平面，， 在中，，，又，， 因为平面平面，所以平面， 又平面，平面平面. （3）取的中点，连接，， 为的中点，，且 由平面，得平面， 是直线与平面所成的角， ， 在Rt中，， ，从而， 在Rt中，， 直线与平面所成角的正切值为. 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在斜三棱柱中，，等腰的斜边，在底面上的投影恰为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求的长； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可得平面，结合面面垂直的判定定理分析证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理可得，结合长度关系分析求解； （3）作辅助线，结合三垂线法分析可知二面角的平面角为，分析求解即可. 【详解】（1）设中点为， 因为在底面ABC上的投影恰为AC的中点，即平面， 且平面，所以平面平面， （2）因为平面平面，且平面平面，， 可得平面， 由平面，则， 且，，平面， 可得平面， 由平面，可得， 可知为菱形，即， 因为等腰的斜边，则， 可得，， 在直角中，，可知， 即为等边三角形，所以. （3）过点作于点，连接，可知， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为， 因为，可得， 所以二面角的余弦值为. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱上一点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在上取点，使，利用条件证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行可证线面平行； （2）由条件先证明平面，再由得到平面，接着利用面面垂直的判定定理可证平面平面； （3）由（2）的结论：平面，可得即直线与平面所成角，在中利用三角函数的定义即得答案. 【详解】（1）    如图，在上取点，使，连接，因，则， 则得，故，因则， 即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，故平面. （2）因平面，平面，则， 因，平面，故平面， 因，故平面，又平面，故平面平面. （3）由（2）已得平面，故即直线与平面所成角， 因，故在中，， 即直线与平面所成角的正切值为. 4．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，则证得线面垂直； （2）设，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行． （3）找出二面角的平面角，在三角形中用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）连接，且，连接 在中，为中点，为中点，所以 平面平面 所以平面． （3）过点作于点，过点作于点， 由知平面 平面，， 又， ，平面，平面 平面，， 又， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，由面积相等得， 即，解得，， 同理在中可求得，， 在中，， 在中，由余弦定理可得 ，， 在中，． 所以二面角大小的余弦值为. 5．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，先证明平面，进而证明平面平面； （2）过点作交于点，即可证明平面，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）设，连接，因为底面为菱形， 所以为的中点，， 又，所以， 平面，， 所以平面.又平面， 所以平面平面. （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中， 因为，所以， 因为所以， 在中，， 又平面，平面，所以， 所以， 所以二面角的正切值为. 地 城 考点12 面面垂直的证明与体积综合 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在五面体中，，，平面 平面,，，，. (1)证明：平面； (2)若点、分别为、的中点，证明：平面 平面； (3)求该五面体的体积. （注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明 ； （2）应用面面垂直判定定理证明即可；   （3）把几何体补形应用柱体体积公式计算即可. 【详解】（1）因为平面平面,所以平面, 又因为平面且平面平面, 所以,又平面,平面,所以平面． （2）因为，所以为正三角形，所以,又, 所以,又，所以在中，由余弦定理，得,解得或（舍去）， 因为,所以,又,且, 所以平面,又平面,所以平面平面． 因为，所以为正三角形， 因为为正三角形，所以， 由梯形中位线，可得,且,所以,所以四边形为平行四边形， 所以,即,所以,又平面平面, 所以平面,所以平面,又平面,所以平面平面． （3）过G作直线,延长与交于点M,与交于点N,连接． 因为G为的中点，所以且,所以四边形为平行四边形， 所以,同理,所以． 又,所以,所以， 所以多面体为三棱柱过M作于H点，因为平面平面,所以平面, 所以线段的长即三棱柱的高，在中， ， 所以三棱柱的体积为． 因为三棱锥与的体积相等，所以所求多面体的体积为． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，为线段上一动点，平面． (1)证明：平面平面； (2)当时，证明：平面； (3)若，四面体的体积等于四棱锥体积的，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设与交于，连接，易得，由已知可证，进而可证，利用线面垂直的判定定可证平面，可证结论成立； （2）连接交于点，连接，连接，则为的中点，利用相似比证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （3）由题意可得，可求得的值. 【详解】（1）设与交于，连接， 因为四边形是正方形，所以，且为的中点， 又平面，又平面，所以， 因为是的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）连接交于点，连接，连接，则为的中点， 因为，所以，因为分别为的中点， 所以为的重心，所以，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面； （3）由平面， 可得， 因为分别为的中点， 所以， 所以，所以 又四面体的体积等于四棱锥体积的， 所以，所以点平面的距离之比为， 所以. 地 城 考点13 面面垂直的综合证明 1．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；为线段的中点； 【分析】（1）根据菱形性质以及等腰三角形性质可证明平面，再由面面垂直判定定理可证明得出结论； （2）利用线面平行判定定理证明可得当为线段的中点时，满足题意. 【详解】（1）取的交点为，连接，如下图所示： 因为菱形，所以，且为的中点， 又，可得， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）存在，为线段的中点，满足平面； 连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因此存在点，当为线段的中点时，满足平面. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥. (1)求证： 平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）根据面面垂直的性质即可求解， （3）利用等体积法，求解点到平面的距离，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接和， 因为，分别为，的中点，所以，且, 又，且, 所以，且． 所以四边形是平行四边形． 所以．平面,平面 故 平面 （2）由于在平行四边形中，分别为的中点， 所以，则， 因此，又，故， 由于二面角为直二面角，所以平面平面且两平面的交线为，又平面， 故平面， 平面，故平面平面. （3）由于平面平面且两平面的交线为，，平面，故平面, 由（2）知平面, 平面，故， 设点到平面的距离为，则，故， 设与平面所成角为，则. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)记直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，求的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平面几何知识推出，再根据线面垂直的判定得平面，最后根据面面垂直的判定定理得平面平面； （2）根据平面，得，，在中，由余弦定理可求出结果. 【详解】（1）在正方形中，设与交于， 因为分别为的中点．所以，， 所以，所以， 所以，即，    在正方体中，因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，所以，， 因为正方体的棱长为，所以，，， 所以 .    4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．    (1)求证：∥平面; (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，则由三角形中位线定理得∥，∥，再结合正方形的性质可得∥，则∥平面，由理∥平面，从而可证得平面∥平面，进而可证得结论； （2）由已知面面垂直可得平面，则，再由结合勾股定理逆定理可得，再由面线垂直和面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，． ，分别是和的中点，∥，∥． 又四边形为正方形， ∥，从而∥． 平面，平面， ∥平面， 同理∥平面，又，平面， 平面∥平面， 平面，则∥平面;    （2）为正方形，． 又平面平面，且平面平面，面， 平面， ∵平面，∴， 设，， ， ∴，∴． 又，，平面， 平面，而平面， ∴平面平面． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）只需证明根据三角形中位线性质证明即可； （2）只需证明平面，进而转化为证明和. 【详解】（1）连接， 底面是菱形，点为线段的中点， 为中点，为的中位线，， 平面，平面，平面； （2）平面，平面，， 底面是菱形，， 平面，，平面， 平面，平面平面． 6．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    地 城 考点14 二面角的相关计算解答题 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．    (1)证明平面PBO； (2)求点P到平面ABCD的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接PO，BO，BD，先证明，，进而求证即可； （2）易得是二面角的平面角，即，过P作的延长线于H，进而证明平面，进而求解即可； （3）取PB中点E，连OE，取PC中点F，连EF，AE，DF，进而得到为二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）连接PO，BO，BD，如图， 因是边长为2的正三角形，则， 在菱形ABCD中，，则为正三角形， 所以，又，平面， 则平面. （2）由（1）知，，， 则是二面角的平面角，， 由平面，平面， 则平面平面，过P作的延长线于H， 因为平面平面，平面， 因此平面， 而在正中，，则， 又，则， 所以点P到平面的距离是. （3）由（1）知，是正三角形，则， 取PB中点E，连OE，由（2）知，， 则，，， 取PC中点F，连EF，AE，DF，则有，且， 又平面，平面，则， 即有，又，则， 从而得为二面角的平面角， 在梯形中，， 中，， ， 所以二面角的余弦值是.      3．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面，再应用线面垂直的性质得出线线垂直即可； （2）应用线面角定义得出即为侧棱与底面所成角，再应用等体积得出，即可求出角的值； （3）应用二面角定义结合面面垂直的性质定理得出即为二面角的平面角，再结合正切函数的值域计算求解. 【详解】（1）取中点，连接、、，    由题知，，则，又，则， ∵平面，∴平面． ∵平面．∴． （2）∵，为中点，∴， ∵，∴点到三顶点距离相等，∴点在底面的射影为的外心． ∵为直角三角形，为斜边中点， ∴平面，∴即为侧棱与底面所成角， 又∵，∴ 由， ∴，又∵，∴． ∴侧棱与底面所成角为． （3）由（1）知平面．平面，    ∴平面平面． ∵平面平面， 过作于，则平面，平面， 过作于，连接， 则即为二面角的平面角． ∵， ∴，，中，，得． ∴． ∵，∴，∴． ∴二面角的正弦值的取值范围． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，. (1)求证：平面； (2)若，. ①证明：； ②求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）通过证明，可得，进而可得，又，所以可证平面； （2）①不妨设，在中，由余弦定理得，在和中，用勾股定理可分别求得，，问题得证； ②过作交于，连接，可得即为二面角的平面角，再分别求出、、，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）设与相交于点，连接，如图所示， 因为，，， 所以. 所以. 又在中，是的中点，所以. 在正方形中，. 又因为平面，平面，且. 所以平面. （2）①在中，，. 不妨设，则. 由余弦定理得，所以. 又在中，，， 故由勾股定理，得. 又在中，，， 所以，所以. 故在中，可得 所以. ②由①知，. 过作交于，连接，由得. 所以即为二面角的平面角， 在中，因为，，所以. 所以. 所以，在直角中，. 同理可得， 又. 在中，. 故二面角的余弦值为. 5．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图，在等腰直角△中，，，为的中点，、分别为、边上一点，满足， ．将△、△分别沿着、翻折成△、△，满足，在平面的同侧，且 ． (1)证明：，，，共面； (2)设几何体的体积为，求的最大值； (3)当取最大值时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形相似即可得故共线，进而可求证，或者利用相似得与重合求解， （2）根据题意可得几何体为三棱台，即可根据体积公式求解， （3）根据体积最大可得，进而根据二面角的定义可知是二面角的平面角，即可利用余弦定理求解. 【详解】（1） 延长，相交于点，连接、． 由题意，，所以，． 因为，所以，且在同一平面内． 所以 ．所以，故共线．即直线，所以共面． （法二）延长，相交于点． 因为，所以∽，且． 延长，相交于点． 因为，所以∽ 因为，，所以，故与重合． 即直线，所以共面． （2）因为，平面，平面，故平面 同理，平面 又，所以平面平面． 由（1）知共面，所以，几何体为三棱台． 由，，平面， 所以平面，从而平面平面．过作，垂足为， 则平面，故平面 易知，． 则． 当且仅当，即取到等号， 故体积的最大值为， （3）由（2）知，当取最大值时， 因为，所以 取的中点，连接，，则， 所以是二面角的平面角． 在三角形中，由余弦定理得． 6．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，四棱锥中，点O，E分别为AC，PD的中点，，，，是边长为2的正三角形． (1)求证：平面BOE； (2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值； (3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理得，结合线线平行性质得，利用线面垂直定理证明线面垂直即可； （2）先证即为二面角的平面角，再由三棱锥体积得出，进而有，利用直角三角形求解正弦值即可； （3）先证直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角，结合正弦定理得出当，即如（2）中平面时正弦值的最大值，即可求解. 【详解】（1） 如图，延长交于G点，是边长为2的等边三角形，则. 在中，已知，且满足. 根据勾股定理的逆定理，.则G为中点. 又为的中点，则.，则. 又平面，，则平面，即平面BOE. （2）因为平面BOE，平面BOE，则，， 因此即为二面角的平面角， 由（1）可知平面，平面，所以平面平面， 则E在平面的射影H在OG上， 因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为， 则，所以，而，， 所以，所以； （3）由，则直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角， 由（1）可知平面，平面，所以平面平面， 因此即为所求角， 在中，，， 由正弦定理：，所以， 当，即如（2）中平面时，， 所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值为． 7．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证； （2）根据面面垂直的性质可得为平面与面所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以 平面， 所以平面. （2）如图，取的中点的中点，连接， 因为是正三角形，所以 又因为平面平面，且平面平面 ，平面， 所以平面 ，平面，故， 由题意可知 平面，故平面 平面故， 故为平面与面所成二面角的平面角， 设 ， 则， ， 所以 . 综上所述：侧面与底面所成二面角的正弦值为. 8．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，取的中点M，连接，则由已知可得，结合可证得是等边三角形，则，从而可得，则，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）延长与交于点E，连接，取中点F，连接，，则可证得是平面与平面所成的二面角的平面角，在中求解即可； （3）设，点A到平面的距离为h，利用表示出，记与平面所成角为，表示出化简后利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：，O点为的中点，． 取的中点M，连接，则 ，， 底面是平行四边形，， ，． ，∴， ，， 是等边三角形，． 在与中，，． ，． 又，平面，平面， 平面． （2）延长与交于点E，连接． 平面，平面，平面平面． 由，，得，， ，， 取中点F，连接，则． ，为等腰直角三角形． 连接，则， 是平面与平面所成的二面角的平面角． ，，，平面， 平面，， 在中，，， ． 平面与平面所成的二面角的正切值为． （3）设，点A到平面的距离为h． ，，， 等腰底边上的高为，， ． ，点C到的距离为，． ． ，即，． 记与平面所成角为． ， 当且仅当，即时，最大，最大， ． 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，考查线面角的求解，第（2）问解题的关键是利用二面角的定义结合已知条件作辅助角找出二面角的平面角，从而进行求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 9．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面．其中． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面圆的面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面可得，由条件易得，根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作于点，连接，由平面可推出即二面角的平面角，在中，利用三角函数定义即可求得答案； （3）先求得球的半径为，设点到平面的距离为，则得点到平面的距离为，利用余弦定理求出相关边与角，根据求得，接着利用球的截面圆性质求出截面圆面积的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）因是圆的直径，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面. （2）过点作于点，连接， 由（1）平面，平面，则， 因平面，故平面， 又平面，则， 即即二面角的平面角， 因在中，由面积相等可得， 则，则. （3）因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，由余弦定理，， 则，则， 在中，，则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则， 则， 因，故当时，. 10．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且． (1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质判断推理即得. （2）令，连接，求出点到平面的距离即可求得线面角的正弦. （3）取的中点，探求二面角的平面角，再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1），理由如下： 由分别是的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以. （2）令，连接，由是菱形，，得都是正三角形， 则，，而平面， 于是平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，由平面平面， 因此平面，连接，则是直线与平面所成的角， 在正中，，， ，则， 于是，， 所以直线与平面所成角的正弦值是. （3）在中，， 即，显然，则有，同理， 取的中点，连接，则，有， 因此是二面角的平面角，而， 则， 所以二面角大小的余弦值是. 【点睛】思路点睛：平面图形翻折问题，在翻折过程中，始终位于同一平面内的点线位置关系和数量关系不变，否则将可能发生变化. 11．（24-25高一下·四川雅安·期末）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点    (1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若直线平面AEF，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值． 【答案】(1)平面平面PBC，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由平面PAB证明，由等腰三角形的性质证明，最后由面面垂直的判定证明即可； （2）作于G，由三角形全等，得出是二面角的平面角，进而由余弦定理求解； （3）由线面平行的性质证明F为线段BC上的中点，再由结合面面垂直的性质证明平面AEF，进而得出线面角的平面角，结合直角三角形的边角关系求解. 【详解】（1）平面平面PBC． 理由如下： 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为，又，平面， 所以平面PAB，故． 在中，，E为PB的中点，所以． 因为平面PBC，平面PBC，， 所以平面PBC．又平面AEF， 所以平面平面PBC． （2）不妨设，计算可得，， 又，，，所以， 则，作于G，连结DG，又，， 可知，所以， 所以是二面角的平面角．    在中，由， 得，则，， 连结BD，知，在中，根据余弦定理， 得， 所以． （3）因为直线平面AEF，平面PBC，平面平面， 所以直线直线EF． 又E为线段PB的中点，所以F为线段BC上的中点． 由（2）知，所以． 设BG与EF交点为H，连结AH， 由（1）知，平面平面PBC，平面平面， 所以平面AEF． 所以直线AB与平面AEF所成角为． 又由EF，F为BC上的中点，可得H为BG的中点， 可知，，又， 所以． 直线AB与平面AEF所成角的正弦值为．    12．（24-25高一下·四川·期末）如图，在三棱锥中，． (1)求证：平面平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可证明平面，从而得证； （2）由（1）可得，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， 即，解得， 所以，即，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）因为平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角， 取的中点，连接，因为，所以， 又，所以， 所以，所以二面角的正弦值为. 地 城 考点15 有二面角的大小求线段长度或距离 1．（24-25高一下·四川遂宁·期末）如图1，在矩形中，已知，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求证：； (3)在翻折过程中，当二面角为时；在平面内有一动点满足：直线与底面所成角正弦值为，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据几何关系证得四边形为平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合勾股定理利用线面垂直的判定定理证明平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可； （3）过作垂足为，利用定义法得为二面角的平面角，设，可得，求出，进而为直线与平面所成的角，求得，，求出动点的轨迹，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又因为为的中点，所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以； 又平面平面，所以平面； （2）在图1中，连接， 所以，因为，所以， 又因为，所以，所以，同理， 又，所以，所以. 由翻折性质得：，因为， 所以平面，平面，所以； （3）过作垂足为， 由（2）知：平面，平面平面， 所以平面，所以； 因为，所以平面， 过作垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，，平面，平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为平面，平面，所以， 所以为等腰直角三角形，设，由题意，知：， 在中，， 所以. 所以，所以分别为的中点， 因为平面，平面，所以，平面，所以为直线与平面所成的角，所以， 所以，所以，且平面， 所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以动点R的轨迹长度为. 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. (1)证明：平面； (2)若，证明：平面； (3)若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点F，连接，利用线面平行的判定定理即可证明结论. （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （3）首先做辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果. 【详解】（1） 如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2） 如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故,    又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，，将沿折起至，使平面 平面.    (1)证明： 平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明：. （注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质证明线面垂直即可. （2）利用定义法找到二面角的平面角，建立方程，求解参数即可. （3）利用定义法将所求角的余弦值表示为一元函数，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以, 又平面平面，平面平面,所以平面， （2）如图所示，在（ii）图中过点S作,垂足为O, 交于点E,连接．由翻折知, 所以二面角的平面角为, 在（ii）图中设,可得， 因为，所以,所以,所以， 解得,即或（舍去），所以．    （3）如图所示，由（2）知,所以平面 平面,所以．由（1）问， 知平面且,所以平面, 又平面,所以,又, 且平面,所以平面, 又平面,所以． 在（ii）图中过点E作交于点H， 过点E作,连接．由（2）知平面, 又平面,所以平面平面, 因为平面平面,所以平面, 所以在平面的射影为, 所以为直线与平面所成角． 注意到,即，解得．又，,所以， 即，所以， 由（2）知,所以 （等号当且仅当时成立）．    【点睛】关键点点睛：本题解题关键是求出线面角和二面角的余弦值，然后表示为一元函数，最后由基本不等式得到所要求的最值即可． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）选择条件①：先证，过点作于，再证，结合，可得平面； 选择条件②：过点作，交于点，先证，再证，结合，可得平面； （2）先证平面，可得平面平面，从而将问题转化为求的底边上的高，再结合勾股定理，余弦定理，求解即可； （3）过点作于点，先证平面平面，可得直线与平面所成角为，再利用，根据锐角三角函数求出的长，即可得解. 【详解】（1）证明：选择条件①， 由平面，且平面， 知，， ，，平面， 平面， 平面，， 过点作于，，则四边形是正方形，，      又，， ，即， ， 又，平面， 平面. 选择条件②：， 过点作，交于点， ，四边形为平行四边形， ， ， ， ，即， ， ，又， ，即， 由平面，且平面， 知，又，， 又，平面， 平面. （2）由平面，且平面，知， ，， 由（1）知， 平面，平面， 平面，平面平面， 点到平面的距离等价于的底边上的高， 由勾股定理知， 在中，由余弦定理知， ， ， ， 所以点到平面的距离为. （3）过点作于点，则，    由（2）知平面， 平面， 平面平面， 在平面上的投影落在上， 直线与平面所成角为， 则，， 在中，， ， 或， 故线段的长为或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $